3.3. СТРУКТУРИЗАЦИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ И ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ

Теперь мы обсудим новую тему — о формализации предпочтений лица, принимающего решение, относительно многомерных последствий. Мы вначале забудем, как это обычно делается, в экономике, о выделенном множестве достижимых точек в -мерном пространстве последствий (множество введенное в § 3.2), и рассмотрим предпочтения лица, принимающего решение, для последствий во всем этом пространстве, как принадлежащих, так я не принадлежащих к Лишь после того, как формализация этих предпочтений будет произведена, мы вернемся к задаче отыскания в наиболее предпочтительной точки.

3.3.1. Лексикографическое упорядочение. В качестве первой иллюстрации рассмотрим подход, который, как нам представляется, распространен на практике шире, чем он того заслуживает, — лексикографическое упорядочение. Однако он прост и может быть легко осуществлен. Наше возражение состоит в том, что он слишком прямолинеен.

Лексикографическое упорядочение подобно упорядочению, установленному в словаре: тогда и только тогда, когда

или

б) для некоторого

Иными словами, мы полагаем, что критерии упорядочены по важности. Действие а предпочитается действию а", если

оно имеет большее значение по невзирая на то, насколько оно является хорошим или же плохим по другим критериям. Только если значения для них совпадают, вводится в рассмотрение критерий Лишь если имеет место совпадение и по и по вводится в (рассмотрение критерий Естественно, мы можем обобщить эту формулировку, переставляя критерии на другие места. Мы можем, например, считать самым важным, затем поставить и т. д.

Отметим, что если различные точки в пространстве оценок, то они не могут быть одинаковыми по предпочтительности при лексикографическом упорядочении.

Лексикографическое упорядочение легко истолковывать, и в некоторых (очень редких!) случаях оно может отражать «истинное» мнение принимающего решение. Однако мы полагаем, что оно, если не считать «легкости осуществления», редко оказывается подходящим. Но, конечно, легкость осуществления сама но себе является важным свойством, и о ней нельзя забывать. Поэтому мы обратимся к рассмотрению случаев, когда используются лексикографические упорядочения.

Лексикографическое упорядочение с уровнями притязаний, Предположим, что мы упорядочили критерии по важности, и пусть, для удобства, это упорядочение отображается нумерацией критериев Для каждого критерия установим уровень притязаний и введем следующие правила: всякий раз, когда

а) (т. е. из всех критериев только принимается во внимание, пока требования по нему не удовлетворены) или

б) (т. е. если требование по удовлетворено, то из всех критериев принимается во внимание только пока требования по нему не удовлетворены), и т. д.

Бели все уровни притязаний достигнуты, то мы можем уступить немного по для того, чтобы получить подходящую величину приращения по и т. д. В этой системе упорядочения две различные точки могут быть одинаковыми по предпочтительности при условии, что для всех

По-прежнему нам представляется, что такая процедура упорядочения, если ее тщательно проанализировать, редко сможет выдержать проверку на «приемлемость», но ввиду простоты своего осуществления такое упорядочение, конечно, может быть введено.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими структурами предпочтения, которые менее категоричны в следующем смысле: если х является внутренней точкой множества то для достаточно малого уменьшения найдется достаточно большое компенсирующее увеличение В случае двумерного пространства это означает, что каждая точка х лежит на некоторой кривой безразличия.

3.3.2. Кривые безразличия. На рис. 3.6 показан пример того, как лицо, принимающее решение, может структуризовать свои предпочтения для точек в двумерном пространстве оценок. Этот пример подразумевает, что если принимающему решение все равно, достигнет он х или же то это выражается в том, что обе точки лежат на одной и той же кривой безразличия (равноценности). Если же точка предпочтительнее, чем мнению принимающего решение), то расположена на более высокой (предпочтительной) кривой безразличия.

Рис. 3.6. Кривые безразличия

Мы считаем, что через всякую точку х в -мерном пространстве последствий проходит поверхность безразличия, включающая все точки, одинаковые по предпочтительности с х. Эти поверхности безразличия будут кривыми при Мы будем везде полагать, что, по мнению лица, принимающего решение, всякие две точки сравнимы в том смысле, что имеет место одна и только одна из следующих возможностей:

а) безразличны или, что то же самое, одинаковы по предпочтительности (записывается как );

б) предпочтительнее, чем (записывается

менее предпочтительна, чем (записывается Мы пишем подразумевая, что неверно», и полагаем, что все отношения транзитивны.

Будем говорить, что структура предпочтения определена на пространстве последствий, если в этом пространстве всякие две точки сравнимы и нет нетранзитивности. Мы полагаем также, что принимающий решение считает, что в конкретной ситуации принятия решения существует подходящая для него конкретная структура предпочтений.

Как только принимающий решение точно определит структуру своих предпочтений, он может перейти к решению формальной задачи: найти такое, что

где

Или, в другой постановке: найти точку такую, что для всех

На рис. 3.7 дано геометрическое изображение этой задачи максимизации.

3.3.3. Функции ценности. Функция которая каждой точке х пространства последствий ставит в соответствие действительное число называется функцией ценности, представляющей структуру (предпочтений принимающего решение, в том случае, если

Рис. 3.7. Последствие является лучшим в

Рис. 3.8. Монотонно возрастающая числовая функция Т, связывающая две стратегически эквивалентные функции

Некоторые типичные примеры функций ценности для

Если функция ценности, отражающая предпочтения лица, принимающего решение, то рассматриваемая задача может быть сформулирована форме стандартной задачи оптимизации: найти которое максимизирует

Позднее мы увидим, что существует тесная связь построения структуры предпочтения с отысканием соответствующей функции ценности. В частности, мы можем использовать функции ценности для того, чтобы помочь лицу, принимающему решение, четко выразить свои предпочтения.

3.3.4. Кривые безразличия и функции ценности. При заданной функции ценности любые две точки такие, что должны быть одинаковыми по предпочтительности и лежать на одной и той же поверхности безразличия. Следовательно, мы видим, что если задана то в принципе можно найти кривые безразличия. Более того, знание функции позволяет однозначно определить всю структуру предпочтения. Обратное, однако, неверно: структура предпочтения определяет функцию ценности неоднозначно.

Определение. Функции ценности стратегически эквивалентны (это записывается так: если имеют одни

и те же кривые безразличия и приводят к одному и тому же индуцированному упорядочению по (предпочтению.

Предположим, что функция ценности, совместимая с данной структурой предпочтений. Пусть любая монотонно возрастающая числовая функция (действительной (переменной), как, например, показано на рис. 3.8. Если мы теперь определим то для отыскания оптимального будет не существенно, что максимизировать: или Функции ценности стратегически эквивалентны.

Например, если все положительны и

то

и

будут стратегически эквивалентны Все три функции представляют одну и ту же структуру предпочтения. Конечно, если задана функция то в операционных целях мы можем выбрать Т так, чтобы с функцией ценности было легко производить математические манипуляции.