3.4. СТРУКТУРЫ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ

Для удобства записи мы будем обозначать критерии через вместо Напомним, что как X, так и У считаются положительно ориентированными: при фиксированном значении одного критерия большие значения другого критерия считаются более предпочтительными.

3.4.1. Предельный коэффициент замещения. Предположим, что Вами рассматривается конкретная проблема выбора решения, обозначают используемые критерии, и Вас спрашивают: «Если У увеличен на единиц, то насколько нужно уменьшить X, чтобы компенсировать данное увеличение У?». Ясно, что во многих случаях Ваш ответ будет зависеть от уровней значений х критерия X и у критерия У. Если в точке Вы согласны уступить единиц критерия X за единиц У, то мы будем говорить, что предельный коэффициент замещения X на У в равен Я. Другими словами, X примерно равен тому «количеству» X, которое Вы согласны «заплатить» за единицу У, если Вы имеете значение по критерию по У (см. рис. 3.9). Строго говоря, мы должны были бы перейти пределу при стремлении к нулю.

Напомним, что мы всюду считаем, что находимся в «хорошем мире», где все функции имеют гладкие вторые производные.

Предельный коэффициент замещения в том виде, в каком мы его используем, равен взятому с обратным знаком тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия в точке Таким образом, если у нас есть кривые безразличия, то мы можем вычислить локальные коэффициенты замещения. В этом (параграфе мы изложим несколько методов для решения обратной задачи: как при помощи предельных коэффициентов замещения построить кривые безразличия.

Рис. 3.9. Предельный коэффициент замещения X на У в точке равен

3.4.2. Общий случай. Теперь рассмотрим, каким образом предельные коэффициенты замещения могут зависеть от значений , т. е. от Простейший способ состоит в том, чтобы: 1) зафиксировать и рассматривать коэффициент замещения как функцию от и 2) зафиксировать и рассматривать коэффициент замещения как функцию от

Например, предположим, что коэффициент замещения в т. е. в точке а на рис. 3.10, равен Если мы зафиксируем то, как легко видеть, в данном случае коэффициенты

Рис. 3.10. Предельный коэффициент замещения как функция от X и У

замещения увеличиваются при уменьшении У и уменьшаются при увеличении У (это показано в точках 6 и с на рис. 3.10). Эти изменения в коэффициенте замещения означают, что чем больше мы имеем по У, тем меньше мы согласились бы уступить по X за данное дополнительное количество по У. На рис. 3.10 мы видим, что за одно и то же увеличение по У уступка по X меньше в точке с, чем в точке

Аналогично, если мы фиксируем сможем обнаружить, что коэффициенты замещения увеличиваются при увеличении X и уменьшаются при уменьшении X (это показано в точках на рис. 3.10). Таким образом, мы видим, что дополнительные единицы X становятся тем менее важными относительно У, чем больше значение х, и мы, следовательно, согласны уступить больше по X за дополнительную единицу по У. Такое поведение характерно для кривых безразличия, имеющих форму, представленную на рис. 3.6.

Во многих приложениях в качестве критерия X часто выступает денежный доход. В этом случае, если то мы можем сказать, что принимающий решение согласен заплатить сумму за изменение У с на у", если денежная «компенсация» начинается с Если положительная сумма, то из сказанного не следует, что в общем случае влечет за собой Иными словами, сумма, которую принимающий решение согласен заплатить за замену на у", зависит от количества денег, которые у него есть вначале. Говорить об «оплате» замены у на у" обычно можно лишь после того, как установлено начало отсчета для

Следующие два пункта посвящены тем специальным случаям, когда изменения по У могут быть «оплачены» независимо от начального положения по Более общее обсуждение соображений, относящихся к «готовности оплатить», приведено в § 3.8.

3.4.3. Постоянные замещения: случай прямых безразличия. Специальный крайний случай замещения возникает тогда, когда коэффициент замещения в точке не зависит от значений т. е. коэффициент локального замещения оказывается также коэффициентом глобального замещения (не меняющим своего значения в любой точке и при заменах в любых количествах). В этом случае кривые безразличия имеют вид

и подходящей функцией ценности для такой структуры предпочтений может служить

Поскольку в этом случае коэффициент локального замещения является коэффициентом глобального замещения, то при определении величины Я аналитик, выясняя мнение лица, принимающего решение, не обязан ограничиваться лишь относящимися к определенной точке малыми изменениями в х и у. В подобной ситуации

принимающий решение может при определении А рассматривать достаточно большие, психологически выразительные изменения в X и у.

Иногда лицо, принимающее решение, имея все основания полагать, что в анализируемой проблеме коэффициент замещения остается постоянным, испытывает тем не менее затруднение при установлении величины А. Однако на практике может оказаться, что определять точное значение А нет необходимости. Например, в задаче выбора одного из нескольких действий принимающий решение может определить интервалы для А, такие, что действие является лучшим, если действие лучшим, если и т. д. На рис. 3.11 изображены такие интервалы.

Рис. 3.11. Оптимальное действие как функция коэффициента замещения X

Например, по смыслу задачи может быть очевидно, что, хотя точное значение А и неизвестно, но А лежит в интервале поэтому лучшее действие. Если значение к близко к но неизвестно, к больше, чем или же меньше, то неясно, выбрать ли «2 или Однако в этом случае почти одинаковы, так что, может быть, и не нужно излишне беспокоиться о том, какое именно из них выбрать, но несомненно, могут быть исключены из рассмотрения.

3.4.4. Постоянные коэффициенты замещения и преобразование переменных. Предположим, что предельный коэффициент замещения А в точке зависит от но не от Иными словами, предположим, что сумма, которую принимающий решение согласен заплатить в единицах за дополнительные единицы У, зависит от уровня но не X (Даже если это предположение точно не выполняется, оно может быть приближенно верно для значений х в интересующей нас области, поэтому такая «невинная ложь» будет простительна.) Четыре типичных коэффициента замещения для этого случая изображены на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Коэффициенты замещения, зависящие от у, но не от х

Примером составной функции ценности, которая создает подобную структуру локальных коэффициентов замещения, является функция

где через обозначена функция одной переменной у.

Если принимающий решение считает, что коэффициент замещения зависит от у, но не от х, то как эта качественная информация может помочь при построении подходящей функции ? Мы сейчас покажем, что в этом случае может быть представлена в виде (3.11).

Если Вы находитесь в точке то сколько единиц X Вы согласились бы заплатить за увеличение У от до . Для того чтобы ответить на этот вопрос, обозначим через предельный коэффициент замещения в точке Такое обозначение указывает на зависимость X от у, но не от х. Допустим, что в первом приближении за малое увеличение А по У Вы согласились бы заплатить единиц X, следовательно, за переход из Вы согласились бы заплатить

единиц Пусть минимальное значение У для нашей задачи. Определим функцию

Функцию можно считать функцией глобального замещения между , функция показывает, что принимающему решение безразлично, что выбрать

т. е. увеличение У от значения до (стоит) единиц

В итоге мы приходим к следующему важному результату.

Теорема 3.1. Предельный коэффициент замещения между зависит от у, но не от х тогда и только тогда, когда существует функция ценности вида

где функция ценности по критерию У.

Несколько иначе этот же результат был изложен Прузаном и Джексоном (1963).

Построение Проблема измерения в случае справедливости выражения (3.13) сводится к соответствующему построению функции Людям обычно трудно дать осмысленные количественные ответы об их отношении к малым изменениям значений критериев. Следовательно, в большинстве случаев аналитик не смог бы построить вначале определив а затем используя выражение (3.12). Но если он сможет получить каким-то другим путем, то для нахождения можно воспользоваться выражением, обратным к (3.12), вычислив

Один из путей отыскания состоит в том, чтобы произвольно принять При таком выборе начала отсчета мы можем интерпретировать как сумму (в единицах X), которую принимающий решение согласен заплатить за переход от Таким образом, аналитик может в принципе непосредственно получить значения выбранных точках и провести через них «на глаз» плавную кривую. Однако аналитику более целесообразно вначале постараться узнать побольше о качественной структуре прежде чем заниматься количественными деталями. Например, часто оказывается, что принимающий решение согласился бы платить все меньше и меньше за фиксированное увеличение A по У по мере того, как растет у. Иначе говоря, он считает, что

т. е. дешевле перейти из у в чем из в у, какими бы ни были значение у и положительная величина А. Качественное определение приемлемости (3.15) влечет за собой строгую вогнутость а это указывает, говоря языком классической экономики, на уменьшение маргинальной ценности (заметим, что мы избегаем выражения «уменьшение маргинальной полезности», так как используем термин «полезность» в другом смысле (см. § 4.4)). Если аналитик выяснит, что подходящей формой для является вогнутая функция (рис. 3.13), то он может получить с приемлемой точностью, установив ее численные значения в небольшом числе точек.

Рис. 3.13. Вогнутая функция ценности для критерия

Рис. 3.14. Функция ценности, не являющаяся вогнутой

Для того чтобы не создалось впечатление, будто должна быть обязательно вогнутой, рассмотрим другой распространенный тип качественной структуры Представим, что принимающий решение считает, что существует некоторый небольшой интервал в районе, например, значения где положение оказывается «критическим». Переход от может быть намного более существенным, чем переход от к или от Проводя качественное исследование, аналитик смог бы прийти к заключению, что функция для такого лица,

принимающего решение, в какой-то мере похожа на функцию, изображенную на рис. 3.14.

Изменение шкалы в целях линеаризации. Если предельный коэффициент замещения зависит от у, но не от х, то кривые безразличия будут получаться в результате сдвига по горизонтали друг относительно друга. Одна кривая безразличия может породить другую простым перемещением по горизонтали, как показано на рис. 3.15, а. Кривые безразличия можно «выпрямить», заменив переменную У «а Z через функцию Так, если мы определим

то точка на рис. 3.15, а становится точкой на рис. 3.15, б, где и у связаны соотношением (3.16). Кривая безразличия С на рис. 3.15, а преобразуется в прямую с угловым коэффициентом —1 на рис. 3.15, б.

Рис. 3.16. Изменение шкалы для линеаризации кривых безразличия

В преобразованных координатах кривые безразличия оказываются параллельными прямыми. Если коэффициент замещения между не являлся постоянным, то теперь имеет место постоянство коэффициента замещения (равного 1) между , где В пространстве оценок соответствующей функцией ценности является

3.4.5. Условие соответственных замещений: аддитивная функция ценности. В общем случае предельный коэффициент замещения в точке зависит от уровня и уровня Допустим, однако, что можно преобразовать шкалу X в шкалу и шкалу У в шкалу Z так, что коэффициент замещения в не будет зависеть от уровней Тогда мы будем иметь случай постоянного коэффициента замещения, разобранный в п. 3.4.3.

Аддитивная функция ценности. Рассмотрим четыре точки А: изображенные на рис. 3.16. Предположим, что справедливо следующее:

1. В точке за увеличение У на мы согласны заплатить а единиц

2. В точке за увеличение У на с может быть заплачено с единиц

3. В то же время в точке за увеличение на мы согласны заплатить единиц

Сколько единиц X мы согласимся заплатить за увеличение на с в точке Если цена составляет единиц X (т. е. на рис. 3.16 вместо вопросительного знака следует поставить ) и если это справедливо при любых значениях то мы говорим, что удовлетворяется условие соответственных замещений. Этот критерий дает нам необходимые и достаточные условия справедливости одного важного вывода. Но вначале определим понятие аддитивности, которое облегчит формулировку приведенной ниже теоремы.

Рис. 3.16. Коэффициенты замещения согласуются с аддитивной функцией ценности, когда равен

Определение. Структура предпочтения аддитивна, если существует отражающая эту структуру функция ценности, которую можно представить в виде

Если, например, анализируемая структура предпочтений описывается функцией ценности

то данная структура предпочтений также будет аддитивной, так как

и аддитивная функция может быть определена как

Теорема 3.2. Структура предпочтений аддитивна и, следовательно, описывается функцией ценности вида

где функции ценности, тогда и только тогда, когда выполняется условие соответственных замещений.

Ясно, что если задана аддитивная функция ценности, то условие соответственных замещений удовлетворяется. Однако обратное утверждение, установленное Льюсом и Тьюки (1964), доказать значительно сложнее. В следующем пункте, в котором с целью иллюстрации построения аддитивной функции ценности изложена процедура совместного измерения, дано нестрогое доказательство теоремы 3.2. Строгое доказательство здесь не приводится.

3.4.6. Совместное шкалирование: поэтапная процедура. Предположим, что условие соответственных замещений, влекущее за собой существование функций удовлетворяется. Как можно было бы действовать, чтобы найти эти функции? Одна из процедур, которую мы могли бы применить, состоит в следующем.

Пусть наименьшие значения критериев , которые целесообразно рассмотреть.

1. Полагаем

Этим устанавливается начало дтсчета для измерения.

2. Выберем и положим Этим устанавливается единица измерения.

3. Попросим лицо, принимающее решение, указать значение критерия У (т. е. такое, чтобы где символ означает «одинаковы по предпочтительности». Положим

4. Попросим лицо, принимающее решение, указать значения критериев X (т. е. ) и У (т. е. ), такие, чтобы Полагаем

5. Необходимое условие для оправданности этой процедуры состоит в том, чтобы имело место Но, как легко усмотреть из рис. 3.17, это условие выполняется, если справедливо условие соответственных замещений. Сравните рис. 3.17 с рис. 3.16 и отождествите точки, обозначенные на них буквами . Из условия соответственных замещений следует, что на рис. 3.17 расстояние в единицах X от В до должно быть равным и, следовательно, точки должны быть одинаковыми по предпочтительности.

Рис. 3.17. Совместное шкалирование при аддитивной структуре предпочтений

6. Предполагая, что шаг 5 сделан, попросим принимающего решение выбрать точки так, чтобы выполнялось

Полагаем

7. Как и на шаге 5, необходимое условие для оправданности данной процедуры состоит в том, чтобы имело место

При желании можете проверить, что сказанное вытекает из условия соответственных замещений.

8. Продолжаем действовать подобно тому, как действовали ранее.

9. Нанесем на график полученные таким образом точки (рис. 3.18) и проведем через них «на глаз» гладкие кривые Тогда согласно сделанным предположениям

10. В качестве меры предосторожности проведем проверку для нескольких пар точек «приемлемости» полученных результатов. С этой целью определим так, чтобы Теперь мы можем, например, проверить, верно ли, что Если нет, можно изменить на кривых точки

Рис. 3.18. Согласованно шкалированные функции ценности для критериев

Обратите внимание, как существенно взаимосвязаны функции мы не можем полностью использовать ни одну из них без привлечения другой.

Вышеописанный метод построения дает конструктивное эвристическое (почти) доказательство того, что из справедливости условия соответственных замещений следует существова? ние аддитивной структуры предпочтений. Построение было показано только на дискретном наборе точек, а для завершения доказательства мы должны были бы дробить интервалы (т. е. применять «метод половинного деления») и использовать свойство непрерывности.

Отметим также неявное использование «условия разрешимости», которое не было формально сформулировано. Мы выбирали, например, затем априорно допускали, что существует значение являющееся решением уравнения безразличия Подобным же образом, в качестве решения уравнений безразличия, мы получали

3.4.7. Другая процедура совместного измерения: метод половинного деления по ценности. Для облегчения изложения иной процедуры построения дадим вначале два определения. Будем полагать, что условие соответственных замещений выполняется.

Определение. Пара называется эквивалентной по, разности ценности паре где если, согласившись перейти из точно в за определенное увеличение У, мы согласились бы перейти из точно в за то же самое увеличение по У. Или, в иной формулировке, если для любого исходного значения у критерия У мы согласны «заплатить» то же самое количество единиц У за увеличение по X как от до так и от до то пара эквивалентна по разности ценности паре

Определение. Средней по ценности точкой интервала значений критерия X называется такая точка, что пары эквиваленты по разности ценности.

Сделаем два замечания по поводу этих определений. Во-первых, для определения средней по ценности точки интервала мы привлекаем второй критерий У. Во-вторых, если принимающий решение, исходя из значения у, согласен уступить то же количество единиц У за переход из что и за переход из то это же условие на рис. 3.19) должно выполняться для любого другого значения у", если только справедливо условие соответственных замещений.

Рис. 3.19. Существование средней по ценности точки влечет за собой выполнение условия соответственных замещений

Доказательство легко усмотреть из рис. 3.19. Мы специально выделяем точки А, В, С, D, чтобы помочь читателю установить необходимое соответствие с рис. 3.16.

Пусть областью изменения X будет а для У будет Примем, что условие соответственных замещений выполнено. Тогда мы можем искать функцию ценности в виде

где

Процедура построения состоит в следующем:

1. Построим следующим образом: 1) находим среднюю по ценности точку интервала обозначаем ее и полагаем 2) находим среднюю по ценности точку интервала и полагаем ; 3) находим среднюю по ценности точку интервала и полагаем ; 4) для проверки согласованности удостоверяемся, что средняя по ценности точка интервала [0,25, 0,75]; если это не так, —

изменяем эти точки до получения согласованности; 5) проводим «на глаз» кривую через точки для и, возможно, дополнительные точки, полученные методом половинного деления по ценности.

2. Повторяем ту же самую процедуру для

3. Находим шкалирующие коэффициенты Выбираем любые две одинаковые по предпочтительности пары например Тогда имеем

или

Так как теперь известны, а мы можем определить

3.4.8. Пример построения функции ценности. Для того чтобы продемонстрировать интерактивный процесс между аналитиком и лицом, принимающим решение, мы ниже приводим воображаемый диалог между «спрашивающим» и очень охотно с ним сотрудничающим «отвечающим».

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Если мы принимаем, что (60, —10) и (0, 10) одинаковы по предпочтительности, то имеем

или

Так как

А поскольку то Иначе говоря, мы сказали бы: приблизительно равно 0,54» Построенную с помощью этой процедуры функцию можно рассматривать в качестве приемлемой в первом приближении функции ценности Возьмем теперь несколько пар значений наших переменных, отвечающих одному и тому же значению ценности и спросим лицо, принимающее решение: может ли оно рассматривать эти пары как примерно одинаковые по предпочтительности? Тем самым мы «проверяем настройку» кривых и величины и Более того, если величина (вспомним, что представляется «слабейшим звеном цепи», может оказаться целесообразным провести анализ чувствительности или характера зависимости результатов от величины Важно заметить, что без предварительной структуризации задачи было бы невозможно исследовать чувствительность к Это — типичная ситуация: для того чтобы провести исследование чувствительности к некоторым критическим переменным, мы вынуждены строго структуризовать наименее чувствительную часть задачи.

Когда принимающий решение имеет четко сформированные суждения, то на практике часто может оказаться, что функция ценности в действительности не принадлежит к рассмотренному нами виду

Тем не менее и в этом случае аддитивная функция ценности может быть использована в качестве первого приближения. В других случаях может оказаться целесообразным построить функцию ценности в этой форме для облегчения анализа. Принимающий решение может приступить к процедуре совместного шкалирования и в ходе ее посмотреть, выполняются ли проверочные условия.