6.3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

Одним из наиболее важных результатов теории полезности в многофакторном случае является установление условий, позволяющих сделать заключение о том, что функция полезности является аддитивной или мультипликативной. Определим сначала свойство взаимной независимости по полезности, которое является достаточным условием для справедливости формулируемого ниже основного результата. После формулировки и доказательства этого результата будет предложено несколько более слабых наборов допущений, выполнение которых влечет за собой оправданность допущения о взаимной независимости по полезности.

Определение. Факторы называются взаимонезависимыми по полезности, если каждое подмножество факторов из множества не зависит по полезности от своего дополнения.

Теорема 6.1. Если факторы являются взаимонезависимыми по полезности, то

где

1. нормализована условиями

— условная функция полезности для фактора нормализованная условиями

4. k - шкалирующая константа определяемая из уравнения

Предварительное замечание. Если то и выражение (6.12) сводится к аддитивной функции полезности вида

С другой стороны, если то и обе части выражения (6.12) можно умножить на и прибавить единицу к обеим частям. Вынося за скобки общие сомножители в правой части, получаем

Когда параметр в выражении (6.14) положителен, функции и являются функциями полезности на соответствующих областях определения и

Если параметр отрицателен, функции являются функциями полезности для факторов соответственно и поэтому

Таким образом, выражение (6.14) можно считать мультипликативной функцией полезности.

Доказательство. Свойство взаимной независимости по полезности по определению подразумевает, что для Следовательно,

Устанавливая все кроме получаем равенство

или

где некоторая константа. Если , то очевидно, что и отсюда следует

Повторно используя выражение (6.15), можно получить

Подстановка выражения (6.17) в (6.18) дает

или, в более краткой записи,

Если выражение (6.19) сводится к аддитивной функции полезности

Если то, умножив обе части равенства (6.19) на прибавив к каждой из них 1 и переставив члены в правой части полученного выражения, приходим к соотношению

Вспомним, что обозначает на самом деле функцию Следовательно, можно определить

так, чтобы диапазон изменения функций был заключен в пределах от до 1. Тогда выражения (6.20) и (6.21) сводятся, соответственно, к выражениям (6.13) и (6.14) и доказательство можно считать законченным.

В § 6.4 было показано, что (в двумерном случае) при взаимной независимости по полезности факторов функция полезности либо мультипликативна, либо аддитивна. Отметим, что этот результат является частным случаем приведенного выше утверждения.

Предположим, что условия теоремы 6.1 выполняются. Тогда важно знать, является ли функция полезности аддитивной или мультипликативной. Одна из процедур заключается в следующем. Возьмем два фактора, например Затем выберем два значения фактора которые не равноценны для лица, принимающего решение. Аналогично выберем два значения фактора Далее, значения всех факторов, кроме зафиксируем на некотором удобном для анализа уровне, который обозначим через Теперь без доказательства сформулируем следующее следствие.

Следствие. Если предположения теоремы 6.1 справедливы и, кроме того, лотерея с равновероятными исходами равноценна для лица, принимающего решение, лотерее с равновероятными исходами

функция полезности должна быть аддитивной. Если эти две лотереи не равноценны, то функция полезности мультипликативна.

Если условие равноценности или неравноценности лотерей выполняется для какого-либо одного значения то можно показать, что оно выполняется и для всех других значений так как Таким образом, при проверке этого допущения можно ее задумываться о значении

6.3.1. Более слабые условия, приводящие к взаимной независимости по полезности. Существует несколько наборов более слабых условий, которые влекут за собой взаимную независимость по полезности. Важность таких условий в том, что они помогают существенно сократить число предпосылок, подлежащих проверке при выяснении возможности использования теоремы 6.1. Если дано множество факторов то существует подмножеств факторов, которые должны быть «независимы по полезности для того, чтобы допущение о взаимной независимости по полезности оказалось справедливым. При и отсутствии более слабых условий, для того чтобы убедиться в справедливости допущения о взаимной независимости по полезности, необходимо проверить 1022 условия. Использование более слабых условий позволяет сократить число проверяемых допущений по крайней мере до .

Теорема 6.2. Пусть имеются факторы тогда следующие условия являются эквивалентными:

1. Факторы взаимонезависимы по полезности.

Заметим, что по определению независимости по полезности из условия 1 следуют условия 2—5. Обратные утверждения доказываются в 6.9. Там же описано образование различных наборов условий, обеспечивающих справедливость допущения о взаимной независимости по полезности. Условия 2—4 являются частными случаями этого общего результата. Доказательство того, что из утверждения следует утверждение 1, связано с установлением основной взаимосвязи между свойствами независимости по предпочтению и по полезности. Эта взаимосвязь будет установлена в § 6.7. В качестве достаточного условия мультипликативности или аддитивности получаемой функции полезности Поллак (1967) использовал условие 2, а Мейер (1970) 1— условие 3. Относительно условий 4 и 5 необходимо заметить, что, как следует из их смысла, они могут использоваться лишь при наличии по крайней мере трех факторов.

При использовании условий 2—5 количество допущений, подлежащих проверке, возрастает линейно по мере роста числа

факторов. Однако проверка условий 2—4 требует от лица, принимающего решение, установления предпочтений относительно лотерей, исходы которых различаются значениями от двух до факторов. Эта задача оказывается очень обременительной. Условие 5 связано с предпочтениями относительно последствий, отличающихся значениями лишь двух факторов, и предпочтениями относительно лотерей с исходами, различающимися только по одному фактору. Это последнее условие представляется приемлемым во многих задачах, и, как было установлено, в практических ситуациях его действительно легко проверить (см. гл. 7 и 8).