6.9. ДЕКОМПОЗИЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Грубо говоря, чем больше можно использовать свойств независимости по полезности, тем проще становится установление численных значений функции полезности. Важно определить такой простейший, функциональный вид функции полезности в многофакторном случае, который был бы согласован с широким кругом различных допущений относительно независимости по полезности. Помня об этом, попытаемся обобщить результаты § 6.8 в виде соответствующей «теоремы о цепях», используя в качестве

конструктивной основы теорему 6.7. Проиллюстрируем это простым примером.

Пример 6.3. Пусть и предположим, что каждый из факторов Тогда, последовательно применяя теорему 6.7, можно показать, что возможные объединения также являются независимыми по полезности. В частности, имеет место

Теперь дополнительно предположим, что было установлено Это утверждение может оказать существенную помощь при оценке функции полезности. Но поскольку фактор нельзя считать перекрывающимся ни с одним из имеющихся множеств факторов, обладающих свойством (так как он содержится в «их), следствия из не могут быть никак использованы далее. Можно также обнаружить, что но поскольку этот фактор также не перекрывается ни с одним из факторов, обладающих свойством отсюда нельзя получить дополнительные условия независимости по полезности.

Однако если будет дополнительно обнаружено, что то из теоремы 6.7 вытекает ряд следствий. Поскольку то и каждый из Можно показать, что если факторы то всякое возможное объединение факторов также

Пусть задана некоторая совокупность допущений о независимости по полезности (например, при Попытаемся использовать эту информацию для получения максимально возможной степени структуризации результирующей функции полезности. Если существуют три возможности, связанные с :

1) перекрываются,

2) не имеют общих элементов,

3) какой-либо из факторов или содержится в другом.

В предыдущем параграфе был рассмотрен первый случай: Здесь проведем обобщение этого случая на Следствия для случаев 2 и 3 при так же, как и для комбинаций всех трех случаев, будут рассмотрены в оставшейся части этой главы.

Определение. Независимой по полезности цепью называется совокупность в которой: 1) и 2) существует такое упорядочение от до что каждый фактор (отличающийся от первого члена) перекрывается по крайней мере с одним из предшествующих ему факторов в этом упорядочении.

Попытаемся найти независимые по полезности цепи, которые состоят из возможно большего числа множеств факторов. Это позволит в полной мере использовать свойство независимости по полезности для упрощения соответствующего вида функции полезности.

Определение. Пусть представляет собой такое множество, в котором и пусть

является независимой по полезности цепью. Эта цепь будет максимальной независимой по полезности цепью, если ни один не перекрывается ни с одним из

Для того чтобы пояснить это определение, построим максимальную независимую по полезности цепь из совокупности множеств в которой каждое Пока мы будем использовать верхние индексы, так как вскоре эти наборы будут перегруппированы и обозначены заново с помощью нижних индексов. Выберем некоторое У», которое не содержится ни в одном другом Обозначим такое множество через Затем в оставшейся совокупности множеств найдем такое которое перекрывается с Если такого У не существует, тогда представляет собой максимальную независимую по полезности цепь. Если же такое множество удалось найти, обозначим его Тогда является независимой по полезности цепью. Потом процесс повторяется.

Предположим, что такой процесс был продолжен и из исходной совокупности выделено множеств. Пусть эти множеств обозначены и образуют независимую по полезности цепь. В оставшейся совокупности множеств найдем такое множество которое перекрывается с одним из множеств Если такого У не существует, то является максимальной независимой по полезности цепью. Если же такое найдено, обозначим его Но тогда является независимой по полезности цепью и т. д. Отметим, что из исходной совокупности в принципе может быть выделено и более одной максимально независимой по полезности цепи.

Определение. Пусть представляет собой максимальную независимую по полезности цепь. Каждое из разбивает на Существует возможных подмножеств из X, оторые создаются пересечениями, образуемыми либо либо для каждого Таким образом, например, если получаем и т. д. Каждое пересечение, если оно не является пустым, за исключением называется элементом максимальной независимой по полезности цепи

Для иллюстрации предложенного определения приведем следующий пример.

Пример 6.4. Рассмотрим множество и предположим, что , где

Отметим, что перекрывается с и, следовательно, независимая по полезности цепь. Далее, содержится в но перекрывается с Таким образом, добавляется к образуя еще одну независимую по полезности цепь

Рассматривая множество замечаем, что оно полностью содержится в и полностью отличается как от так и от Таким образом, фактор не перекрывается ни с одним из факторов и поэтому он не входит в конструируемую максимальную независимую по полезности цепь. Фактор также не перекрывается ни с одним из факторов это означает, что совокупность множеств является максимальной независимой по полезности цепью на Кроме того, фактор представляет собой другую максимальную независимую по полезности цепь на

Для того чтобы найти элементы максимальной независимой по полезности цепи заметим, что пусты. Таким образом, существует четыре элемента цепи. Это Для максимальной независимой по полезности цепи существует лишь один элемент

Вернемся к общему случаю и сформулируем важный результат.

Теорема 6.8. Каждое возможное объединение элементов максимальной независимой по полезности цепи, определенной на является независимым по полезности от своего дополнения до

[Предварительное замечание. Доказательство состоит из трех частей. Допустим, что существует элементов максимальной независимой по полезности цепи Определим множество которое может рассматриваться либо как совокупность факторов являющихся членами какого-либо произвольного либо как множество элементов Покажем сначала, что множество Z не зависит по полезности от своего дополнения. Затем покажем, что каждое подмножество из элементов также не зависит по полезности от своего дополнения. Далее, из теоремы 6.7, в которой идет речь о пересечении множеств факторов, следует, что каждое объединение элементов не зависит по полезности от своего дополнения до Доказательство связано с максимальными независимыми по полезности цепями с тремя или более элементами. Единственный остающийся возможный случай — это цепи с одним элементом. Но тогда теорема верна по определению.]

Доказательство. Часть 1. Пусть максимальная независимая по полезности цепь. Из способа построения цепи ясно, что пересекается с и отсюда, используя ту часть теоремы 6.7, где речь идет об объединениях, следует, что По индукции, легко видеть, что и

Часть 2. Для доказательства того, что каждое объединение из элемента цепи обладает свойством перенумеруем У так, чтобы типичный элемент цепи (обозначим его определялся следующим образом: и непусто. Такая перенумерация всегда возможна; это следует из способа построения Надо доказать, что не зависит полезности от своего дополнения.

Пересечение должно быть эквивалентно либо либо где через обозначены остальные элементы. Допуская возможность существования среди также нулевых множеств, общим случаем следует признать Рассмотрим два случая: .

Для определим для Согласно той части теоремы 6.7, в которой рассматриваются симметрические разности, каждое Из способа определения этих множеств следует, что каждое из перекрывается с Г. Таким образом, согласно той части теоремы 6.7, в которой рассматриваются объединения, получаем, что

Если все являются нулевыми множествами, тогда очевидно Поскольку ни одно из не перекрывается с эквивалентно для всех

Используя такие последовательные объединения и ту часть теоремы 6.7, где рассматриваются объединения, находим, что построенное множество не зависит по полезности от своего дополнения, поскольку перекрывается с

Если не является нулевым множеством, надо снова рассмотреть последовательные объединения, используя и начиная с исходного построения

Ни один из факторов не может перекрываться Однако в совокупности должно содержать поскольку

Отсюда следует, что не содержит Используя последовательные объединения и действуя аналогичным образом, как и ранее, снова получаем, что

Для имеем а поскольку множество по построению цепи должно содержать по крайней мере два элемента, в общем случае Каждый элемент должен содержаться в некотором . С другой стороны, например, должен находиться только в

поэтому а это означает, что не является элементом.

Таким образом, каждый элемент содержится по крайней мере в двух а раньше для этого случая было показано, что Согласно той части теоремы 6.7, где рассматриваются пересечения,

Далее, поэтому из той части теоремы 6.7, в которой рассматриваются симметрические разности, находим, что так как

Часть 3. Согласно части 2, каждое подмножество элементов из не зависит по полезности от своего дополнения до Таким образом, любое собственное подмножество из этих совпадает с пересечением соответствующих множеств размера Поэтому согласно той части теоремы 6.7, где рассматриваются пересечения, все подмножества элементов не зависят по полезности от своих дополнений.

В следующем параграфе будет показана возможность использования теоремы 6.8 для структуризации многомерных функций полезности. Для иллюстрации эффективности теоремы 6.8 воспользуемся ею для доказательства теоремы 6.2. Для удобства еще раз приведем формулировку теоремы.

Теорема 6.2. Пусть даны факторы тогда следующие утверждения являются эквивалентными.

1. Факторы являются взаимонезависимыми по полезности.

Доказательство. По определению, из утверждения 1 следуют утверждения 2—5. Для доказательства эквивалентности в обратную сторону покажем, что если выполняется любое из условий 2—6, то все факторы из являются элементами максимальной независимой по полезности цепи, содержащей в себе множество В этом случае доказываемый результат непосредственно следует из теоремы 6.8.

(2) . Заметим, что тогда является элементом цепи .

(3) . Совокупность множеств , и множество образуют максимальную независимую по полезности цепь. Отметим, что

является ее элементом. Элементами этой цепи также являются

(4) . Положим Тогда является максимальной независимой по полезности цепью. Далее, очевидно, что

являются ее элементами

(5) . Согласно теореме 6.6 . Положим Множество является максимальной независимой по полезности цепью. Тогда являются элементами этой цепи.