ПРИЛОЖЕНИЕ 9А. ПОЛУЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ПРЕДПОЛАГАЕМОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ЖИЗНИ

Нашей целью является построение доказательства того, что выражение (9.32) вытекает из следующих условий:

1. не зависит по полезности от для ,

2. зависит от для любых заданных т. е. мы можем получить по меньшей мере два значения меняя в пределах указанного диапазона и оставляя при этом неизменными.

Во-первых, заметим, что из условия 1 следует, что обе функции существуют и должны быть стратегически эквивалентны для решений относительно если мы придадим какое-либо определенное значение. Отсюда

где не зависят ни от ни от

Во-вторых, мы принимаем на основании соотношения (9.26), что

В-третьих, из условия 1 следует, что не зависит по полезности от для любого заданного откуда по аналогии с выражениями (9.22) и (9.23)

где

Теперь мы готовы доказать соотношение (9.32). Подставим выражение в обе части равенства

Подставим выражение в левую часть и соберем вместе члены, на которые умножаются это дает нам

Но поскольку может меняться независимо от остальных членов, левая часть этого соотношения, а также выражение в скобках справа должны равняться нулю. Отсюда для и для всех получаем

Теперь нам надо подставить выражение Заметим сначала, что

Подставляя это выражение в отделим при суммировании член, соответствующий поскольку выражение справедливо только для После сокращения ряда членов получаем

Далее подставляем выражение и получаем искомый результат

где