5.2. НЕЗАВИСИМОСТЬ ПО ПОЛЕЗНОСТИ

Одним из основных «понятий теории принятия решений при многих критериях является независимость по полезности. Это понятие играет в теории принятия решений при многих критериях такую же роль, как и вероятностная независимость в теории вероятности. Здесь и в следующей главе понятию независимости по полезности и его применениям будет уделено большое внимание по следующим причинам:

1. Различные условия независимости по полезности обусловливают существование определенных видов многомерных функций полезности. Эти виды содержат большое многообразие конкретных форм функции полезности, в том числе и для случаев взаимозависимости факторов по предпочтению. Тем не менее эти допущения о независимости в значительной мере упрощают построение самой функции полезности.

2. Допущения о независимости по полезности действительно могут быть практически проверены в реальных задачах и оказываются справедливыми для многих из них.

3. Функции полезности для независимых по полезности факторов были использованы при решении ряда важных проблем. Е гл. 8 подробно рассмотрена одна из таких проблем, связанная с развитием наземных служб аэропорта в городе Мехико. В гл. 7 и 9 менее подробно обсуждаются другие проблемы, для решения которых использовалась независимость по полезности.

4. Независимость по полезности может помочь структуризовать проблему и, таким образом, облегчить проведение анализа чувствительности.

5. В случаях, когда независимость по полезности установлена, лицо, принимающее решение, может с успехом поручить отдельные части задачи квантификации различным группам консультантов.

6. Систематизированный анализ приемлемости допущений о независимости по полезности является полезным этапом при исследовании сложных, противоречивых проблем и поиске путей их разрешения. В проблемах, связанных с групповыми решениями, различные лица, участвующие в процессе принятия решения, могут иметь несовпадающие функции полезности, однако они могут прийти к соглашению относительно справедливости тех или иных допущений о независимости по полезности. Эти допущения позволяют лицам, принимающим решения, сконцентрировать свое внимание на тех важных аспектах задачи, относительно которых у них имеются расхождения во взглядах, и рассмотреть возможные способы устранения этих расхождений. Кроме того, понимание сути расхождений во взглядах лицами, принимающими решение, иногда приводит их к нахождению новых, более приемлемых альтернатив.

Понятие независимости по полезности может рассматриваться как особый случай понятия независимости по предпочтению, которое было рассмотрено в гл. 3.

5.2.1. Определение независимости по полезности. Начнем с определения независимости по полезности для случая двух факторов. Пусть пространство факторов X разбито на такие, подпространства что Обозначим произвольную точку в оцениваемом пространстве факторов через Предположим, что

В процессе анализа проблем такого рода естественно сначала рассмотреть различные условные функции полезности для одного фактора. Исследованию может быть подвергнута, например, условная функция полезности различных значений у при фиксированном т. е. функция полезности для точек, располагающихся на жирной линии на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Предпочтительности точек, расположенных на жирной линии, могут интерпретироваться как условные предпочтения значений У при заданном

Попытаемся выяснить, существенно ли изменяется функция полезности лица, принимающего решение, если заданное значение z отличается от Для этой цели могут быть использованы вопросй следующего типа: «Если значение z зафиксировано на уровне , то какое значение у Вы с уверенностью можете считать равноценным лотерее, построенной, скажем, равновероятных исходах Предположим, что ответом является значение такое, что

Теперь зададим второй вопрос: «Если z зафиксировано на другом определенном уровне, например сместится ли указанное значение детерминированного эквивалента . В очень многих случаях оно остается прежним.

Значение детерминированного эквивалента у тогда будет зависеть только от и не будет зависеть от выбранного значения Если это оказывается справедливым для любых фиксированных значений то условные функции полезности стратегически эквивалентны. Таким образом, из. теоремы 4.1 следует, что все условные функции полезности вдоль горизонтальных отрезков на рис. 5.2 связаны между собой положительными линейными преобразованиями. В данном случае получаем

для всех у и где функции зависят только от не зависят от у и удовлетворяют неравенствам Несомненно, функциональный вид и будет зависеть от выбранного конкретного значения Заметим, что, если выражение (5.7) выполняется для какого-либо одного значения то оно будет выполняться и для всех остальных значений

Определение. Будем называть У независимым по полезности от Z в том случае, когда условные предпочтения между лотереями с исходами из У при фиксированном значении z не зависят от самого значения

Из этого определения непосредственно следует, что У не зависит по полезности от Z тогда и только тогда, когда справедливо выражение (5.7). Если У не зависит по полезности от то условная функции полезности, заданная на У при определенном значении 2, в стратегическом отношении не зависит от самого значения Во всех случаях, когда имеется независимость по полезности, можно говорить просто о функции полезности на У, не указывая при этом значение параметра И без таких усложнений трудность предмета исследования достаточно велика!

Аналогично представляется естественным исследовать, является ли Z независимым по полезности от У. Пусть уровень У зафиксирован, например для него выбрано значение у, и рассматриваются предпочтения между лотереями с исходами из тогда возникает вопрос, зависят ли эти предпочтения от значения у. Бели нет, то Z не зависит по полезности от У и можно говорить просто о функции полезности на Z безотносительно к значению у.

В практических ситуациях выяснение вопроса о том, является ли У независимым по полезности от от У, очевидно, должно проводиться на ранних стадиях. Отметим, что при этом возможны следующие случаи: имеют место обе независимости, выполняется лишь одна из них, ни одна из независимостей не имеет места. Для того чтобы показать математическую возможность всех указанных случаев, рассмотрим следующие функции полезности:

Если предпочтения описываются первой функцией, ни один из факторов не является независимым по полезности от другого. При описании предпочтений с помощью второй функции У не зависит по полезности от но обратное утверждение не является справедливым. Когда предпочтения характеризуются третьей функцией, Z не зависит по полезности от У, однако обратное утверждение неверно. И, наконец, в (последних трех случаях факторы не зависят друг от друга. Ниже исследуются теоремы представления. Это исследование проводится таким образом, что на основе чисто качественных соображений для каждого конкретного случая удается установить соответствующую ему функциональную форму. Очевидно, различия в функциональных формах в значительной мере влияют на процедуры построения конкретных функций.

Независимость по полезности оказывается важным свойством, поскольку оно является необходимым и достаточным условием существования функций полезности, зависящих только от одного фактора. В случае, когда У не зависит по полезности от существует функция полезности только от У. Предпочтения между различными значениями У тогда могут оцениваться при установленном значении Z на любом удобном уровне. В случае, когда У не является независимым по полезности от бессмысленно говорить о функции полезности на У и построение функции значительно усложняется. При этом условные функции полезности от У при и при т. е. соответственно, не являются стратегически эквивалентными. Каждая из них должна быть построена полностью отдельно от другой, так как знание одной дает мало информации о другой.

5.2.2. Раскрытие понятия независимости по полезности. Прежде чем продолжить изложение, попробуем выяснить, жаким образом понятие независимости по полезности позволяет значительно облегчить построение функций полезности. Если нас, например, интересуют предпочтения между векторами для компонент которых справедливо тогда при отсутствии каких-либо упрощающих допущений функция полезности должна быть построена непосредственно на заштрихованной области на рис. 5.3, а.

Теперь предположим, что У не зависит по полезности от Тогда в общем случае условные функции полезности , аргументом которых является переменная у, при различных уровнях 2 должны представлять собой положительное линейное преобразование одной и той же функции от у. Следовательно, как будет показано дальше, знание полезностей последствий, лежащих на жирных линиях рис. 5.3, б, может предоставить достаточное количество информации для полного определения и. Это означает, что нам достаточно будет построить и согласованно шкалировать три условные функции полезности, каждая из которых зависит только от одного фактора.

Пусть теперь Z не зависит по полезности от У, но У не является независимым по полезности от Z. В этом случае функция

полезности и может быть полностью определена в результате построения трех условных функций полезности (рис. 5.3, в), каждая из которых зависит только от одного фактора. При этом условные функции полезности и описывающие изменение и по Z при различных уровнях у, связаны между собой положительными линейными преобразованиями.

Рис. 5.3. Упрощение построения функции полезности с помощью независимости по полезности

С учетом обозначений, указанных на рисунке, в иллюстративных целях можно считать, что

Условная функция полезности и известна, поскольку она уже была найдена, а константы могут быть вычислены при подстановке в выражение (5.8) последствий полезности которых известны. Получаемые таким образом простые уравнения легко решить. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены ниже.

Теперь предположим, что не зависят по полезности друг от друга. Это условие будем называть взаимной независимостью по полезности. Тогда, взяв в качестве отправной точки рис. легко увидеть, что две условные функции полезности зависящие от должны быть связаны между собой положительными линейными преобразованиями. Следовательно, вместо нахождения значений функции и для всех z необходимо установить значения полезности лишь в двух точках и на их основе определить подходящее преобразование. Таким образом, если взаимонезависимы по полезности, то для полного определения функции и необходимо лишь построить две условные функции полезности (с согласованными значениями) и найти значение полезности последствия Последствия, значения полезности которых требуется найти, выделены на рис. 5.3, г жирным цветом.

Действительно, в тех случаях, когда факторы взаимонезависимы по полезности, мы свободны в выборе любых произвольных условных функций полезности а также

полезности любого последствия Этого нам достаточно для определения значений функции и от всех Благодаря этому можно выбрать такие значения которые позволят упростить для лица, принимающего решение, построение его функции полезности. Другими словами, ему может оказаться удобнее построить функцию чем поскольку с последствиями вида он имел дело значительно чаще. Рисунок 5.3, д показывает, что необходимо оценить в этом случае.

В тех случаях, когда факторы взаимонезависимы по полезности и, кроме того, справедливо допущение об аддитивности, которое будет описано ниже, полное нахождение функции от всех может быть осуществлено при помощи всего лишь двух условных функций полезности для тех последствий, которые выделены на рис. 5.3, е. Такие функции полезности для двух факторов являются простейшими из всех тех, которые могут быть получены без упрощения формы условных функций полезности для одного фактора, а также в отсутствие различных допущений о возможностях замещения, аналогичных допущению о постоянстве коэффициента замещения, рассмотренному в гл. 3. Таким образом, на рис. 5.3, е выделено то, в некотором смысле минимальное, количество последствий, полезность которых действительно требуется оценить для определения значений функции и во всех точках

В следующих параграфах будет проведено обсуждение различных видов функций полезности, обусловленных соответствующими наборами допущений, начиная с простейшего случая (рис. 5.3, е). После полученных в этом направлении результатов будет предложена процедура проверки используемых допущений и построения соответствующих функций полезности. В конце для иллюстрации будет приведен пример прикладного характера.