Метод главных компонент.

В то время как дисперсионный и дискриминантный анализ имеют лишь немного общего с факторным анализом, метод главных компонент очень тесно связан с факторным анализом. Этот метод разработан Хотеллингом [144; 1]. Он позволяет при заданной -мерной корреляционной матрице найти новую ортогональную -мерную систему координат и именно так, чтобы максимум полной дисперсии лежал в направлении первой главной оси, а максимум оставшейся дисперсии — в направлении 2-й главной оси и т. д. Соответствующие формулы и процедура вычислений приведены в гл. 3.1. Метод главных компонент является важнейшим методом выделения факторов. Однако его следует строго отличать от факторного анализа как такового.

Метод главных компонент заключается в нахождении последовательности ортогональных осей координат, вдоль которых каждый раз в убывающем порядке определяется максимум полной дисперсии. Процедуру вычисления можно прекратить в любом месте и, например, выбрать только первые две главные компоненты, которые воспроизводят лишь 80% полной дисперсии. Проекции индивидуумов на главные компоненты можно определить точно. Существенное отличие от факторного анализа заключается в том, что диагональные элементы матрицы R, используемой в компонентном анализе, каждый раз равны единице. Это означает, что общности равны единице, т. е. характерные факторы отсутствуют. Этим модель компонентного анализа отличается от модели факторного анализа.

Единичная дисперсия всех переменных в компонентном анализе рассматривается в совокупности как общая дисперсия. Хотя это приводит к однозначному решению, однако это нереально почти во всех практических ситуациях. Пожалуй, никогда не проводится анализ переменных, при котором имела бы место гипотеза, что полная дисперсия равна общей, т. е. что она определяется только наблюдаемыми переменными. Лишь в том случае, когда эта гипотеза подтверждается критерием, можно применять модель компонентного анализа.

Разумеется, главные компоненты можно рассматривать лишь как возможные математические описания измерений полной дисперсии и им нельзя приписать никакого другого эквивалента в действительности. Сообразно с этим метод главных компонент позволяет определить ортогональную систему координат с определенными «стоящими» свойствами, которой в действительности чрезвычайно редко могут соответствовать какие-либо условия. Это находится в прямом соответствии с тем, что главные компоненты ортогональны и дальше не вращаются. В действительности влияющие факторы большей частью коррелированы, и поэтому могут Лишь рассматриваться как полезные описания измерений, которые исчерпывают максимум дисперсии.

В противоположность этому модель факторного анализа позволяет отыскать весь комплекс взаимосвязанных дисперсий. При этом вычислительная операция по определению главных компонент используется в качестве одного из этапов.

Размежевание факторного и компонентного анализа связано с различием решаемых вопросов. Специалисты по факторному анализу со времени существования метода главных компонент рассматривали его в качестве возможного и весьма полезного этапа в расчетах внутри факторного анализа. Статистики, напротив, все время пытались факторный анализ рассматривать как частный случай метода главных компонент. Мы здесь придерживаемся того мнения, что нерационально факторный анализ втискивать в модель метода главных компонент. Метод главных компонент рассматривается лишь как средство решения проблемы факторов и более подробно обсуждается в соответствующем месте.

Описанное в этом вводном разделе разграничение факторного анализа от четырех других многомерных методов имело целью облегчить понимание дальнейшего материала, но оно было рассчитано на такого читателя, который уже знаком хотя бы с одним или двумя приведенными методами.

Факторный анализ относится к многомерным статистическим методам, являясь одним из них. Он пригоден только для решения определенных задач. Имеется целый ряд таких задач, для решения которых более эффективны другие методы. Выбор соответствующей методики при конкретных исследованиях зависит от многих обстоятельств, разработка какого-либо простого правила невозможна. Остается довериться опыту практического работника и специалиста-статистика, которые должны суметь выразить в статистических терминах задачу, адекватную требованиям проводимого исследования, и правильно выбрать статистический метод.