Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.1. ПОЛУЧЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО И КОСОУГОЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВСамым простым случаем является вращение двух ортогональных факторов на плоскости. В табл. 5.1 приведены два фактора, полученные в результате применения центроидного метода к анализу шести переменных. Рис. 5.1 иллюстрирует процедуру вращения. Обе оси координат Таблица 5.1. Исходная факторная матрица шести переменных
На рис. 5.1 показан поворот исходной системы координат на угол
В справедливости равенств (5.2) легко убедиться. Действительно,
Рис. 5.1. Ортогональное вращение против направления движения часовой стрелки Из рисунка видно, что
С другой стороны,
Имеют место следующие соотношения: В результате получаем, что
Итак, мы получили равенство (5.2). Набору из Если координаты точки в исходной системе известны и установлен угол вращения, то легко вычислить координаты точки при новом положении осей. Положение новых координатных осей относительно старых однозначно определяется косинусами углов между ними. Эти косинусы в аналитической геометрии называются направляющими. Если исходное факторное отображение включает только два фактора, то после осуществления ортогонального вращения считывают значение угла поворота осей 0, определяют по таблице его косинус и синус и подставляют найденные значения в уравнения (5.2). Предположим, что в примере, который графически изображен на рис. 5.1, угол
где Т определяется по формуле (5.5). Координаты первой точки получаются следующим образом:
где В случае двух выделенных факторов размер матрицы Т равен 2x2. При вращении против часовой стрелки матрица преобразования в плоскости и
Результат вращения против часовой стрелки на угол 30° для конкретного примера приведен в (5.3). При вращении по часовой стрелке матрица Т несколько изменяется:
В (5.6) по сравнению с (5.5) изменились знаки перед синусом на противоположные. Если два исходных фактора, приведенных в табл. 5.1, повернуть по часовой стрелке на угол 30°, то получим следующее равенство:
Вращение координатных осей по часовой стрелке изображено на рис. 5.2. После того как факторное отображение представлено на графике и по чертежу считано значение угла поворота, формулы (5.4) и (5.5) или (5.6) позволяют относительно быстро выполнить ортогональное вращение на плоскости. Для приобретения навыков читателю рекомендуется самостоятельно выполнить обе указанные процедуры вращения и сравнить с рис. 5.1 и 5.2. Читатель может ознакомиться со схемой вычислений процесса вращения без применения матричного исчисления, например у Хофстеттера [131; 3] и Линерта [189; 1]. Мы еще не затрагивали вопроса: каким же критерием пользоваться при определении истинного положения системы координат? В приведенном нами упрощенном примере угол поворота осей был принят равным +30 и —30°. При вращении против часовой стрелки было достигнуто такое положение системы, при котором все факторные нагрузки стали положительными, а сами переменные оказались в Так как факторное отображение преимущественно содержит более двух факторов, то возникает вопрос: осуществимо ли ортогональное вращение с несколькими факторами? В принципе при этом употребляется та же самая формула (5.4), но изменяется размер матриц. Можно
Рис. 5.2. Ортогональное вращение по направлению движения часовой стрелки В случае исходного многофакторного решения операцию вращения можно выполнить на плоскости, учитывая каждый раз одновременно только две оси. Полная матрица преобразования состоит из произведения отдельных матриц преобразования для всех комбинаций пар факторов:
где
где
Формулы приведены для случая осуществления вращения в направлении, обратном движению часовой стрелки. При вращении по часовой стрелке знаки у соответствующих элементов изменяются на противоположные (см. формулу (5.6)). Полная матрица преобразования Т, отображающая вращение всех комбинаций пар факторов, ортогональна. При наличии Следовательно, нужно выполнить такое же количество поворотов. Установив для каждой пары угол поворота, вычисляют по (5.7) полную матрицу преобразования. В общем случае нельзя предугадать, как будет выглядеть матрица Т после одновременного осуществления нескольких вращений в различных плоскостях. Также трудно предвидеть, какой вид приобретет в результате ряда преобразований новая матрица А. Итак, выполнений процедуры ортогонального вращения в При осуществлении ортогонального преобразования для матрицы Т выполняется условие (см. также с. 47):
И обратно, если Т ортогональна, т. е. она удовлетворяет условию (5.8), означающему, что при умножении ее на транспонированную матрицу получается тождественная, то с ее помощью можно осуществить ортогональное преобразование. Расстояние между двумя точками не изменяется при ортогональном преобразовании. При ортогональном преобразовании сохраняется прямой угол между координатными осями. Но концепция некоррелированности факторов не всегда выполняется. Уже во вводном разделе данной книги подчеркивалось, что требование ортогональности, хотя и удобно с математической точки зрения, но является прокрустовым ложем, к которому приходится приспосабливать экспериментальный материал. На этот счет в литературе имеются различные мнения. Приверженцы школы Тэрстоуна, которая процветает в США, придерживаются идеи косоугольной системы осей. Действительно, не всегда интерпретацию факторов можно совместить с требованием их некоррелированности. Большинство факторов, оказывающих влияние на измеряемые переменные, взаимосвязано между собой. По-видимому, предполагать каждый раз при любых исследованиях некоррелированность факторов так же неразумно, как требовать некоррелированности между ростом и весом испытуемых. Очевидно, предположение ортогональности факторов следует рассматривать как ограничение, накладываемое в некоторых случаях на факторы. Имеется много примеров, в частности у Каттелла и Дикмана 139] (см. 7.1.2), которые показывают, что косоугольные факторы лучше отражают структуру связи между переменными. Английская школа факторного анализа, представителем которой является Хофстеттер, придерживается принципа нахождения ортогонального решения. Поскольку этот принцип имеет много сторонников, ему также уделяется место в нашей книге. Однако мы считаем, что косоугольному вращению надо отдавать предпочтение. Особенно эффективен он в том случае, когда ортогональное решение оказывается недостаточно адекватным исходному материалу. Вообще косоугольность или ортогональность факторов в финальном решении должна вытекать из природы самого явления, а не заранее предопределяться процедурой расчетов. В описанной далее процедуре вращения показано, как можно достичь ортогонального или почти ортогонального расположения осей (см. гл. 5.3 и 5.6). Теперь обсудим формальные предпосылки косоугольного вращения в пространстве общих факторов. В случае косоугольных факторов нагрузки переменных отличаются от коэффициентов корреляций между этими переменными и факторами. При объяснении формулы (2.29) было введено понятие факторной структуры:
Рис. 5.3. Косоугольная система координат. Объяснение дано в тексте Так же как факторное отображение А, матрица Пусть на координатных осях и Длина вектор-переменной в пространстве общих факторов по формуле (2.33) равна
С другой стороны, если переменные представлены в виде векторов, то существующая между ними корреляция равна скалярному произведению этих векторов. В соответствии с этим коэффициент корреляции между переменной i и фактором
Так как длина, или «общность», любого фактора равна единице, т. е.
Итак, коэффициент корреляции между переменной и фактором в косоугольной системе координат соответствует отрезку (рис. 5.3). Аналогично можно показать, что Первая трудность, с которой приходится сталкиваться при вращении косоугольной системы координат, это необходимость различать факторное отображение и факторную структуру, Вторая, трудность заключается в понимании различия между двумя возможными решениями, так называемыми первичным и вторичным косоугольными решениями. В соответствии с этими решениями вводятся термины — первичные факторы (primary factors) и вторичные оси (reference vectors). Для геометрической интерпретации этих понятий воспользуемся двумерной системой координат на рис. 5.4, 5.6-5.8. На рис. 5.4 в ортогональной системе координат
Рис. 5.4. Первичное и вторичное решение. Оси Изображение точек-переменных в системе координат В дальнейшем, при развитии своей психологической теории, он, однако, ввел дополнительную систему координат
|
1 |
Оглавление
|