5.4. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ МАТРИЦАМИ, ПРИМЕНЯЕМЫМИ ПРИ РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМЫ ВРАЩЕНИЯ

В предыдущей главе речь шла о получении некоторого вторичного факторного решения и в рамках найденной новой системы координат осуществлялся поиск простой структуры. Выше мы пояснили различие между первичными факторами и вторичными осями (см. с. 186). Обе системы координат в отношении выполнения принципа простой структуры являются альтернативными решениями. В обеих системах координат следует отличать факторную структуру от факторного отображения. Если наряду с матрицами преобразования учитывать корреляцию между факторами, то мы будем иметь восемь матриц. Следует помнить об их различии и знать соотношения между ними. В некоторых публикациях по факторному анализу часто не указывается, о каких матрицах идет речь. Это усложняет восприятие материала. Приводимые далее в табл. 5.9 обозначения важнейших матриц частично заимствованы у Каттелла, так как они отличаются наглядностью.

Таблица 5.9. Обозначения матриц, используемых в косоугольных решениях

Ортогональная исходная матрица обозначается либо А, либо . Матрица преобразования, переводящая исходное ортогональное отображение в соответствующую факторную структуру, для первичного факторного решения обозначается через Т, для вторичного факторного решения — через А. Все неортогональные матрицы, которые отражают связь между факторами и переменными, обозначаются буквой V. Индексы при этой букве указывают вид факторного решения и принадлежность матрицы к факторному отображению либо к факторной структуре.

Так, является матрицей факторного отображения в первичном факторном решении. Первая буква индекса, связана с английским термином primary factor solution (первичное факторное решение), вторая буква, , происходит от английского термина pattern (факторное отображение). Через обозначается матрица факторной структуры для первичного факторного решения. На это указывает первая буква индекса f. Вторая буква индекса происходит от термина structure. Для вторичных осей (reference vectors) применяется индекс . Так, означает матрицу факторного отображения, — матрицу факторной структуры вторичного факторного решения (reference vector structure). Матрица коэффициентов корреляции между факторами обозначается символом С. Индекс при этом символе указывает, к первичным факторам или ко вторичным осям () относится данная матрица.

Простая структура устанавливается либо по матрице либо по матрице не пригодны для нахождения простой структуры. Большей частью финальным результатом процедуры вращения является матрица метод получения которой описан в гл. 5.3. В большинстве публикаций по факторному анализу речь идет именно о ней, хотя для установления простой структуры также пригодна матрица Но недостаточно в качестве финального результата при косоугольном вращении указывать только одну матрицу. Чтобы ясно представить себе картину вращения, необходимо по крайней мере указать , матрицу преобразования . Вместо матрицы преобразования, а еще лучше — в дополнение к ней нужно привести матрицу коэффициентов корреляции между факторами, а именно или С; в зависимости от того, о первичном или вторичном факторном решении идет речь.

Для вторичного факторного решения имеют силу следующие соотношения между матрицами:

Вторая часть этого равенства была использована для определения факторной структуры (см. (2.29)), а первая часть — в итеративной процедуре вращения при поиске простой структуры в соответствующей плоскости. При этом матрица определяется путем нормализации произведения матрицы поворота и матрицы преобразования предыдущего цикла вращения (см. гл. 5.3). Матрица коэффициентов корреляции между факторами вычисляется по следующей формуле (повторяем еще раз формулу (5.15)):

Используя (5.17) и (5.18), получим

Аналогичную систему равенств имеем для первичного факторного решения:

Все эти равенства в принципе уже упоминались и здесь собраны вместе для наглядности. Они отражают взаимосвязь между матрицами различных систем координат при косоугольном вращении. Связь между двумя системами координат можно записать в виде приводимых далее равенств. При переходе от первичных факторов ко вторичным осям особую роль играет диагональная матрица D. Элементы диагональной матрицы являются обратными величинами из квадратных корней диагональных элементов матрицы Эти величины являются коэффициентами корреляции между соответствующими первичными факторами и вторичными осями.

Обычно матрицу D составляют по первой части этого равенства, так как редко случается, что известны одновременно и Т, и Л.

Итак, с помощью матрицы D устанавливаются точные соотношения между двумя типами косоугольных решений.

Первое равенство из (5.24) используется для определения матрицы первичного отображения по матрице факторной структуры, соответствующей вторичным осям (факторам). Формула (5.26) служит для определения корреляции между первичными факторами по корреляции между вторичными факторами.

Формулы (5.17)-(5.26) выявляют связи, существующие между матрицами косоугольного вращения. На практике применяются не все эти формулы. Если в результате вращения получают матрицу вторичной факторной структуры то одновременно получают матрицу преобразования Л и матрицу коэффициентов корреляции между вторичными факторами . Тогда, вычислив диагональную матрицу D по 5.23, имеем возможность по 5.24 определить а по 5.26 — матрицу . При косоугольном факторном решении все эти матрицы должны указываться,