1.4. МАТРИЦЫ, ВЕКТОРЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

В этой главе представлены важнейшие сведения и понятия матричной алгебры, которые необходимы для единой трактовки основных положений факторного анализа. Обоснование и развитие методов факторного анализа связано с приведенными далее определениями, утверждениями и правилами вычисления. Факторный анализ практически невозможно провести без применения матричного исчисления. На это иногда не обращают внимания, особенно если пользуются соответствующими программами для электронных вычислительных машин. Работа по расчетной части упрощается. Однако из-за недостаточных предварительных знаний оценка результатов проведенных расчетов затруднительна.

В рамках этой книги невозможно провести доказательства используемых далее утверждений. Поэтому в случае необходимости делаются ссылки на соответствующие учебники по математике. В данной главе рассматривается только тот алгебраический материал, которым позднее придется оперировать. По замыслу она должна служить лишь введением в матричное исчисление для тех, кто не знаком с необходимыми концепциями. При этом не следует ожидать, что начинающий поймет все формулировки при первом же чтении. Но он не должен падать духом из-за этого, следует продолжать работу. В последующих примерах материал станет более понятным.

Определение матрицы.

Оказалось, что рационально и целесообразно давать одно обозначение некоторому расположению определенных чисел, коэффициентов или элементов и рассматривать их как единую математическую величину, хотя она составлена из многих компонентов. Массив чисел заключается в большие скобки и обозначается буквой А:

Такой массив чисел называется матрицей. Она состоит из строк, столбцов и элементов. Кроме численных значений величин играет роль место элемента внутри массива, т. е. номер строки i и номер столбца k. Двойной индекс называют также адресом элемента. Обычно сначала указывается номер строки, а затем — номер столбца. Матрицу А можно назвать упорядоченным массивом чисел. Существует и другое определение: таблица из чисел с строками и столбцами называется матрицей. Пара (читается: на ) называется порядком матрицы, говорят также: «матрица типа . Вместо термина порядок матрицы» часто употребляют термин «размер матрицы», заимствованный из литературы на английском языке. При матрицу называют квадратной или порядка . Все корреляционные матрицы квадратны. Для того чтобы показать размер, или порядок, матрицы, используют следующее обозначение: . Если не хотят так подробно воспроизводить матрицу, как это показано в (1.8), то ее записывают через общий элемент:

Далее матрицы всегда будут обозначаться прямыми прописными латинскими буквами шрифтом жирного начертания, а отдельные их элементы — теми же латинскими буквами, но строчными с соответствующими индексами. Например, матрица В:

состоит из элементов: .

Определение векторов.

Частным случаем матрицы является матрица только с одной строкой или одним столбцом. Такую матрицу порядка или называют -мерным вектором.

Итак, вектором называется расположение элементов в одной строке или в одном столбце. Матрица размером т. е. состоящая только из одного столбца, называется вектор-столбцом матрица размером называется вектор-строкой.

Здесь является примером записи вектор-столбца, — вектор-строки. И далее векторы будут обозначаться строчными латинскими буквами, набранными жирным шрифтом. Для обозначения вектор-столбца будем пользоваться нижним индексом, например а для вектор-строки — верхним индексом, например Часто индексы не проставляются вообще, если ясно, о чем идет речь — о вектор-строке или о вектор-столбце. Матрицу можно представить как систему вектор-строк или вектор-столбцов. Например, вышеприведенная матрица В состоит из трех вектор-строк (2 1), (3 5) и (4 6) или из двух вектор-столбцов

Транспонированные векторы и матрицы.

Каждой вектор-строке можно мысленно противопоставить вектор-столбец , состоящий из тех же самых элементов и записанных в том же самом порядке, с той лишь разницей, что в вектор-строке они расположены горизонтально, а в вектор-столбце — вертикально. Благодаря транспонированию вектор-столбец становится вектор-строкой, и наоборот. Транспонирование обозначается штрихом справа у буквы, обозначающей вектор. Так, например, если

Эту операцию легко распространить на матрицы. Матрице А соответствует матрица А, чьи вектор-столбцы являются соответствующими транспонированными вектор-строками матрицы А, или, иначе, чьи вектор-строки являются соответствующими транспонированными вектор-столбцами.

Определение транспонированной матрицы А можно также произвести с помощью адресов элементов. Матрица переходит в транспонированную матрицу путем перестановки индексов элементов.

Для наглядности приведем пример.

Матрицы А и А' состоят из тех же элементов, но адреса элементов имеют обратный порядок. Элементы с одинаковыми номерами строк и столбцов при транспонировании не меняют индексы. Если матрица А имеет порядок , то транспонированная относительно ее матрица А имеет порядок . Совершенно ясно, что двойное транспонирование приводит к исходной матрице:

Равенство матриц.

Матрицы называются равными другдругу тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны соответствующим элементам матрицы В, т. е.

Из равенства всех соответствующих элементов матриц А и В естественно вытекает равенство числа строк и столбцов обеих матриц.

Сложение и вычитание матриц.

Для двух матриц одинакового порядка имеет место следующее равенство:

Например, если , то

Сложение матриц коммутативно, так как . Оно также ассоциативно, т. е. .

Нулевая, диагональная и единичная матрицы, след, симметрия.

Для каждой матрицы порядка имеется противоположная ей матрица того же порядка, так, что выполняется равенство

Матрица 0 порядка все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Очевидно, что

Элементы квадратной матрицы, которые находятся на линии, связывающей левый верхний угол с правым нижним углом матрицы, называются элементами главной диагонали. Сумма элементов главной диагонали называется следом матрицы. Если все элементы квадратной матрицы, за исключением элементов, лежащих на главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется диагональной. Она обозначается буквой D. Например,

представляет собой диагональную матрицу.

Чтобы не выписывать в матрице все нули, часто используют упрощенный способ записи, указанный в скобках справа.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Она обозначается символом I:

Единичная матрица обладает следующим свойством. При умножении матрицы на единичную того же порядка получается та же самая матрица. Это соответствует умножению обычных чисел на единицу. Квадратная матрица, для которой имеет место равенство при всех t и k, называется симметрической. Тогда элементы верхнего правого угла матрицы являются отражением элементов нижнего левого угла и точно им соответствуют. Все корреляционные матрицы симметрические. Например, корреляционная матрица

является симметрической.