14.2.2. Вопросы идентификации модели факторного анализа.

Будем в дальнейшем предполагать, что имеется по меньшей мере одно решение уравнений (14.2). При исследовании вопроса единственности решения системы (14.2) относительно (при задалных ) следует различать два аспекта проблемы. Во-первых, надо понять, при каких дополнительных условиях на искомую матрицу нагрузок Q и на соотношение между не может существовать двух различных решений таких, чтобы одно из них нельзя было бы получить из другого с помощью соответствующим образом подобранного ортогонального преобразования С (единственность с точностью до ортогонального преобразования или с точностью до вращения факторов).

Оказывается [180], достаточным условием единственности такого рода является требование к матрице Q, чтобы при вычеркивании из нее любой строки оставшуюся матрицу можно было бы разделить на две подматрицы ранга , откуда автоматически следует требование

Можно показать, что для это условие является одновременно и необходимым, откуда, в частности, следует, что случаи не допускают идентификации модели факторного анализа в указанном выше смысле (более подробное исследование идентификации этого типа можно найти в [180]).

Будем предполагать далее, что имеется по меньшей мере одно решение системы (14.2) и что оно единственно с точностью до ортогонального преобразования.

Вставляя в уравнения (14.2) вместо найденного решения другую пару матриц , где С — матрица (размера любого ортогонального преобразования, легко убедиться, что и она (эта пара матриц) удовлетворяет данной системе уравнений. Следовательно, возвращаясь к модели (14.1), получаем, что наряду с общими факторами можно рассмотреть (при тех же нагрузках ) общие факторы Поскольку, как известно, ортогональное преобразование координат F геометрически означает вращение осей около начала координат на некоторый угол, то получается, что при отсутствии дополнительных условий на природу искомой матрицы нагрузок Q общие факторы могут быть определены лишь с точностью до вращения системы координат в соответствующем -мерном пространстве. Существует несколько вариантов дополнительных условий на класс матриц в котором следует искать решение системы (14.2), обеспечивающих уже окончательную однозначность решения . От конкретного содержания этих условий зависит и способ численного выявления структуры искомой модели и соответственно способ статистического оценивания неизвестных параметров и факторов Поэтому остановимся на них параллельно с описанием методов статистического исследования модели факторного анализа.