19.8.2. Вычислительная томография и прикладная статистика.

Термин «томография» (томо — сечение, слой; графия — описание) возник впервые в рентгенографии в начале нашего века и относился к восстановлению плотности сечения по ее проекциям аналоговым способом.

В общих чертах схема рентгеновской томографии следующая [162]. Пусть В — некоторое тело, например голова пациента, и — плотность этого тела в точке Если на В вдоль прямой 1 направить тонкий пучок рентгеновских лучей, то измеряемую величину можно с приемлемой точностью считать равной интегралу от вдоль прямой , где — интенсивности пучка до его попадания на тело В и после его выхода из В соответственно.

Заставив источник рентгеновского излучения и детектор двигаться так, чтобы соединяющая их прямая находилась все время в плоскости , получаем возможность измерить проекцию плотности сечения тела В плоскостью , где — направление, ортогональное в плоскости . Технические возможности рентгеновского томографа позволяют для фиксированной плоскости П получить достаточно большой набор проекций . Ясно, что на самом деле измеряется не функция а набор ее значений . Основная задача томографии: восстановить плотность сечения , по ее проекциям точнее, восстановить по массиву данных

Аналоговый способ давал такую оценку , которая не всегда позволяла с необходимой точностью решить основную задачу. Только соединение устройства для получения проекций с ЭВМ и создание соответствующего математического обеспечения позволило решить эту задачу с нужной для прикладных целей точностью. Рождение вычислительной рентгеновской томографии относится к началу 70-х годов. В настоящее время вычислительная томография — область научной и прикладной деятельности, в которой, с одной стороны, изучаются способы получения проекции на основе того или иного способа взаимодействия проникающего излучения (не обязательно рентгеновского) с телом, а с другой стороны, развиваются методы и программно-алгоритмическое обеспечение решения задачи (19.56).

Рассмотрим следующую статистическую задачу: пусть имеется набор выборок одномерных наблюдений. Восстановить плотность если известно, что Y — выборка из распределения для каждого , где

Задача (19.57) тесно связана с задачей томографии (19.56). Действительно, если дана выборка -мерных наблюдений, то, положив оказываемся в условиях задачи (19.57) для любого набора направлений .

С другой стороны, если даны выборки , то, восстановив по выборке плотность оказываемся в условиях задачи (19.56).