19.8.3. Алгоритм восстановления плотности по ее проекциям на основе принципа минимальной вариабельности.

Опишем теперь и шестный оритм из математического обеспечения томографии как алгоритм восстановления многомерной плотности но ее одномерным проекциям

В томографии, естественно, рассматриваются только плотности, сосредоточенные в ограниченных областях, поэтому будем считать, что обращается в вне шара Обожачим через гильбертово пространство функции со скалярным произведением и через подпространство функций, таких, что

(19.58)

Так как является плотностью распределения, то из (19.58) следует, что для всех .

Обозначим через ортогональный проектор из в Напомним, что, по определению,

Оператор задается формулой

(19.59)

где — равномерное распределение в шаре D радиуса .

Используя операторы можно для любого построить последовательность

(19.60)

где если делится на М, которая будет сходиться к решению следующей задачи:

найти

(19.61)

Решение задачи (19.61) и берется в качестве оценки плотности с данными проекциями .

Используя явную формулу (19.59) для проектора получаем из (19.60) описание алгоритма построения оценки . В качестве начального приближения , если нет дополнительной информации, обычно берется равномерное распределение . В этом случае получается оценка , которая среди всех имеет наименьшую вариабельность, т. с. доставляет минимум функционалу на

Из (19.59) и (19.60) следует

где

Таким образом, можно испольювать аргументы целенаправленного проецирования для получения более быстрой модификации оппсанпого алгоритма.

Положим

(19.62)

Пусть уже построены приближения . Взяв функционал в качестве критерия выразительности проекции относительно приближения найдем

и зададим следующее приближение формулой .

Замечание. Функционал (19.62) можно использовать в рашедочном анализе для нахождения выразительных проекций данной выборки -мериых наблюдений, считая но важности выразительной проекцией проекцию для которой оценка функционала достигает своего максимального значения.

Таким образом, решая задачу восстановления плотности по выборке указанным выше алюритмом, по ходу получения оценок плотности будем получать и соответствующие выразительные проекции