20.2. Радиальные распределения

20.2.1. Основные понятия.

Общие свойства радиальных распределений и их проекций. Рассмотрим класс многомерных распределений, смеси которых дают запас модельных законов распределения, достаточный для решений большинства практических задач многомерного статистического анализа методами теории одномерных случайных величин

Плотность распределения называется радиальной, если , где — одномерное симметричное распределение. Из свойств проекции распределения следует, что — радиальное распределение тогда и только тогда, когда для любых единичных векторов а, и Заметим, что является плотностью распределения случайной величины у, задаваемой ограничением радиального случайного вектора X на прямую для некоторого фиксированного Далее будем рассматривать только ортогональные проекции, поэтому для радиальных распределений можно положить . Важные примеры радиального распределения дают -мерное нормальное распределение ; где и равномерное распределение в шаре с центром в начале координат и радиуса , где если когда

Лемма 20.1. Формула задает радиальное распределение в тогда и только тогда, когда — одномерное симметричное распределение с конечным центральным моментом

Заметим, что ковариационная матрица радиального распределения есть где

Согласно формуле (20.3) для любого невырожденного преобразования и радиального распределения имеет место формула

где — ковариационная матрица случайного вектора

Лемма 20.2. Одномерная проекция радиальной плотности задается формулой

(20.18)

или

(20.19)

где - бета-функция

Пример 20.2. Пусть . Тогда . Следовательно,

(20.20)

Пример 20.3. Рассмотрим случай равномерного распределения в шаре радиуса . Имеем , где

Следовательно,

20.2.2. Важные модели радиальных распределений.

Механизмы формирования случайных векторов с модельными радиальными распределениями. В качестве моделей распределений, сосредоточенных в шаре удобно использовать представителей семейства распределений, описываемого следующей теоремой.

Теорема 20.1. Для каждого формула

(20.22)

задает двупараметрическое семейство (по ) радиальных распределений, сосредоточенных в шаре радиуса где — дисперсия

Одномерная проекция распределения имеет вид:

(20.23)

Заметим, что представляет собой равномерное распределение в шаре радиуса , а при фиксированной дисперсии распределение а переходит в -мерное нормальное распределение Таким образом, формула (20.23) в качестве частных случаев содержит формулы (20.20) и (20.21) Она показывает, что семейство при фиксированном замкнуто относительно оператора проецирования, который на этом семействе в явном виде показывает свои сглаживающие свойства. при натуральном а и нечетном он переводит раз дифференцируемую функцию в функцию дифференцируемую раз

Отметим, что и в случае общего -мерного распределения необходимо учитывать это свойство оператора проецирования при подборе модели одномерного распределения , если из каких-либо соображений уже выбран класс гладкости модели -мерного распределения .

Опишем схему (механизм) формирования случайных векторов с плотностью распределения для где I — натуральное число.

Пусть — случайные независимые векторы, распределенные по нормальным законам соответственно.

Положим и

где

Ясно, что вектор распределен по радиальному закону, поэтому для вычисления закона распределения ею одномерной проекции достаточно вычислить проекцию на одну из координатных осей, скажем Имеем

Известно, что случайная величина где распределена по закону -

Так как получаем, что случайная величина распределена по закону

т. е.

Следовательно, для любого

Используя теперь, что многомерное распределение полностью определяется своими одномерными проекциями, из формулы (20.22) получаем:

где . В частности, согласно формуле (20.22) случайный вектор имеет равномерное распределение в шаре радиуса Для распределение является невырожденным

Заметим, что при распределение стремится к вырожденному распределению, которое представляет собой равномерное распределение, сосредоточенное на сфере радиуса о Это распределение имеет случайный вектор

Опишем теперь радиальные распределения, связанные с распределением Стьюдента. Имеет место следующая теорема.

Теорема 20.2. Для каждого формула

(20.24)

задает двупараметрическое семейство (по ) радиальных распределений, где — дисперсия.

Одномерная проекция распределения имеет вид:

(20,25)

Заметим, что представляет собой распределение Коши. Из условия следует, что не существует радиальных распределений при Для натуральных задает распределение Стьюдента с степенями свободы и для всех существует радиальное распределение Отметим также, что при и фиксированной дисперсии

Опишем схему формирования случайных векторов с плотностью распределения для целых . Известно, что случайная величина

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы

Пусть — случайные независимые векторы, распределенные по нормальным законам соответственно.

Рассмотрим -мерный случайный вектор распределен по радиальному закону, а, как следует из механизма формирования закона Стьюдента, его одномерная проекция распределена по закону

Используя теперь формулу (20.25), получаем, что -мерный случайный вектор распределен по закону . В качестве следствия получаем:

если то -мерный вектор где распределен по закону

а одномерная его проекция распределена по закону Коши:

20.2.3. Экстремальные многомерные распределения.

Пусть — совокупность всех плотностей -мерных случайных векторов с фиксированными вектором средних и невырожденной ковариационной матрицей .

Известно, (см. например, [129, с. 476]), что интеграл энтропии

для достигает максимального значения, только когда

причем

Покажем, что аналогичный результат имеет место для рассмотренного выше семейства плотностей

Пусть — некоторая непрерывная строго возрастающая функция при Тогда для любых имеет место неравенство Юнга

(20.26)

где причем равенство достигается только при . Рассмотрим случай, когда где Тогда и из (20.26) получаем: для любых имеет место неравенство

(20.27)

причем равенство достигается только при

Положим Тогда из (20.27) получаем неравенство

Ясно, что (20.28) эквивалентно неравенству

(20.29)

Используя теперь, что при получаем из (20.29) неравенство лежащее в основе доказательства экстремальности многомерного нормального закона.

Положим

Например, для целых

в частности,

Заметим, что при Так как то для каждого задачи на экстремум для функционалов эквивалентны

Полагая в и интегрируя его по получаем после умножения на что имеет место следующая теорема 20.3, Функционалы и достигают максимальные значения, только когда , причем

Положим

Заметим, что для любого невы рожденного линейного преобразования

Следствие 20.1.

Функционал на множестве всех плотностей -мерных случайных векторов с невырожденной ковариационной матрицей является инвариантным относительно невырожденных линейных преобразований, ограничен сверху константой с и достигает максимальное значение на радиальной плотности

где