Философские и физические воззрения, технические проблемы и формирующиеся математические теории определяют форму и содержание механики на всех этапах еє становления. Это утверждение, вполне очевидное в XX в., показалось бы странным в долагранжевский период истории науки. И странность заключалась бы в искусственности выделения задач и методов механики из общего ансамбля математических проблем и теорий. В Парижской академии наук и тех, кого мы называем основоположниками тесретической механики, и творцов новых разделов современной математики именовали одинаково — геометры ${}^1$. И все они занимались созданием и приложениями новых математических идей и теорий. Поэтому обособление истории теоретической механики от истории математики представляется искусственным и не очень оправданным. Теоретическая, а может, точнее — математическая, механика формировалась параллельно с новыми разделами математики.

Фактически до начала XVIII в. основным математическим инструментом механики была геометрия, достаточно развитая еще в древнегреческий период. И работы по статике, и кинематические исследования движения земных и небесных тел, и первые работы по динамике опирались на достижения геометрии Евклида и Аполлония. Но это была, если так можно выразиться, «статическая геометрия». B XVII в., начиная с Кеплера, Галилея, Декарта, ссновной проблемой натуральной философии становится задача исследования механического движения тел (движение планет, комет, падение тел, влияние на движение тел внешних факторов, удар тел, колебания маятников, движение жидкостей и т. д.). Назрела необходимость в создании «геометрии движения».

Понятие «величина» до XVII в. ассоциировалось с конкретным количеством, размером, числом, постоянной величиной. Поэтому появление в математике «переменной величины» поначалу казалось парадоксальным. Но, развивая известную мысль Ф. Энгельса ${}^2$, можно утверждать, что математика переменных величин стала поворотным пунктом в механике движения тел. И первой предпосылкой новой механики ста-

${}^1$ Академики-механики по сути больше напоминали современных инженеровизобретателей.
${}^2$ Поворотным пунктом в математике былє декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошло движение и диалектика.

ла аналитическая геометрия Р. Декарта и П. Ферма. Понятие переменной величины стало основным в математическом описании движения тел.

Первая из трех книг «Геометрии» Декарта начинается с разъяснений общих принципов и правил составления уравнений геометрических кривых: «Чтобы решить какую-либо задачу, нужно сначала считать ее как бы решенной и обозначить буквами все как данные, так и искомые линии. Затем, не делая никакого различия между данными и искомыми линиями, заметить зависимость между ними, так чтобы получить два выражения для одной и той же величины; это и приводит к уравнению, служащему для решения задачи, ибо можно приравнять одно выражение другому» [32]. Описанная здесь технология построения уравнений становится основой для формирования математического аппарата механики в трудах Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, Вариньона, Бернулли. Это определялось важнейшей ролью геометрических методов в решении задач механики той эпохи.

Второй важнейшей идеей геометрии Декарта стало использование для описания движения координатных осей. Оси у Декарта еще не равноправны: одна ось главная, другая — вспомогательная, расположенная под некоторым (не обязательно прямым) углом к главной оси. Все кривые у Декарта делятся на два класса: 1) описываемые непрерывным движением циркуля или тинейки, или же несколькими такими последовательными движениями, из которых последующие вполне определяются $n$ предшествующими; 2) «механические» кривые, к которым относятся все остальные. «Механические» кривые Декарт исключал из класса допустимых кривых и, таким образом, рассматривал только кривые, которые могут быть построены с помощью некоторого шарнирного механизма. Декарт отмечал, что степень алгебраического уравнения кривой инвариантна относительно выбора системы координат. Но за основу классификации кривых он брал не степень их уравнения, а число звеньев соответствующего шарнирного механизма. Алгебраическая символика Декарта очень близка к современной. Всякое уравнение кривой приводится к виду $P_n(z)=0$, где $P_n(z)$ — многочлен с целыми коэффициентами, расположенными по убывающим степеням неизвестного $z$. Декарт высказал предположение, что алгебраическое уравнение кривой имеет столько корней, какова его степень.

Независимо от Декарта, идеи аналитической геометрии были высказаны другим французским математиком — Пьером Ферма — в небольшом сочинении «Введение в теорию плоских и пространственных мест», написанном в 1636, но опубликованном только в 1679 г. Для прямых линий и конических сечений Ферма впервые приводит привычные ныне уравнения:
$$y=mx,xy=k^2,x^2+y^2=a^2,x^2\pm a^2{y}^2=b^2,$$

записанные относительно, как правило, ортогональных осей [76, с. 134]. Исследования в том же направлении опубликовали англичанин Дж. Уоллис («Трактат о конических сечениях», 1655), голландец Ян де Витт («Основы кривых линий», 1659), француз Г. Лопиталь («Аналитический трактат о конических сегениях», 1707). В 1704 г. Ньютон издал «Перечисление кривых третьего порядка», где введены равноправные и ортогональные оси координат, в основу классификации кривых положена степень их алгебраического уравнения. Для приведения уравнений кривых к каноническому виду автор использовал линейные преобразования координат. Геометрии пространственных кривых была посвящена работа соотечественника Декарта и Ферма — А. Клеро «Исследования о кривых двоякой кривизны» (1731). Наиболее законченный вид аналитическая геометрия приобрела во «Введении в исчисление бесконечно малых» (1748) Л. Эйлера.

Начиная с XVII в. возрастает интерес к алгебре, особенно в связи с внедрением символьных обозначений. Алгебраическая символика формировалась на протяжении многих столетий (Диофант, Лука Пачоли, Никола Шюке и др.), но решающий шаг — введение буквенных коэффициентов — был сделан французом Ф. Виетом в работе «Введение в аналитическое искусство» (1591). В результате алгебра приобрела характер чисто символьного исчисления. Это позволило построить общую теорию алгебраических уравнений, внести вклад в развитие геометрической алгебры (теории операций над отрезками) и теории конических сечений, в которых прежде доказатєльства сводились к построению с помощью циркуля и линейки.

В XVII в. были заложены основь математического анализа, ставшего основой математического аппарата классической механики. По определению С.М.Никольского, «математический анализ — часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический анализ изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых» [57, стр. 591]. Идеи анализа пронизывают всю современную математику, включая ее приложения. Различают математический анализ в широком и узком смысле. Анализ в широком смысле — это вся совокупность математических дисциплин, представляющих непосредственное развитие идей и методов дифференциального и интегрального исчисления: дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, вариационного исчисления, теории функций действительного переменного и так далее. Анализ в узком смысле — это интегральное и дифференциальное исчисление. Его созданию и были посвящены математические исследования Г.Галилея, И. Кеплера, Г.Сен-Венсана, Р.Декарта, Ф.Б.Кавальери, П. Ферма, Ж.П.Роберваля, Э. Торричелли, Дж. Уоллиса, Н. Меркатора, Б. Паскаля, П. Менголи, Х. Гюйгенса, И. Барроу, Дж. Грегори, И. Ньютона, Г.В.Лейбница, Я. и И. Бернулли.

Общие методы дифференцирования и интегрирования функций, как взаимно обратные методы, могли быть открыты только теми, кто владел геометрическими методами древних греков, алгебраическими методами Декарта и Уоллиса, понятиями функции и бесконечно малой величины, кто нуждался в методах анализа для решения своих прикладных проблем. Честь этого открытия выпала на долю англичанина Исаака Ньютона и немца Готфрида Вильгельма Лейбница.

Теория «флюксий» ${}^1$ Ньютона тесно связана с работами его учителя И. Барроу, Дж. Грегори ${}^2$ и Дж. Уоллиса («Арифметика бесконечных», 1655). Ее создание было обусловлено потребностью в решении практических задач, в том числе, проблем небесной механики. Две главные задачи теории «флюксий» состоят в следующем: 1) для данного соотношения между «флюентами» определить соотношение между «флюксиями», 2) для известного соотношения между «флюксиями» найти соотношения между «флюентами». С современной точки зрения, это задачи дифференцирования и интегрирования.
${}^1$ По терминологии Ньютона «флюента» — переменная величина, «флюксия» скорость изменения «флюенты», то есть производная.
2 Джеймс Грегори — профессор университетов Сент-Эндрюса и Эдинбурга (Шотландия). Использовал идею функциональной зависимости, изучил многие виды функций, изложил метод предельного перехода, широко использовал разложение функций в степенные ряды, открыл формулу биноминального ряда, интерполяционную формулу, получил формулы приближенного интегрирования, преобразования координат, вывел уравнения некоторых кривых.

Решение первой из задач Ньютон сводил к замене «флюент» их приближенными значениями. Рассмотрим решение Ньютона на примере уравнения $y=x^2$. Заменяя «флюенты» $x$ и $y$ их приближенными флюент» (бесконечно малые величины) ${}^1$, получим $(y+\dot{y}o)=(x+\dot{x}o{)}^2$, откуда, в силу исходного уравнения, пренебрегая малыми второго порядка и сокращая обе части на значок $o$, приходим к искомому соотношению $\dot{y}=2\dot{x}x$ между «флюксиями».

В решении второй задачи Ньютон столкнулся с трудностью, обнаружив, что даже линейное уравнение $P(x,y)\dot{x}+Q(x,y)\dot{y}=0$ не всегда может быть проинтегрировано в явном виде. Для решения дифференциальных уравнений он пользовался разложением функций в степенные ряды. Эта идея, вошедшая в математику во второй половине XVII в. (Н. Меркатор, Дж. Грегэри, Дж. Уоллис, Г.В.Лейбниц), оказалась весьма эффективной и получила дальнейшее развитие. Она сводила задачу интегрирования функций к задаче обращения (интегрирования) соответствующих рядов. Так, Меркатор в «Логарифмотехнике» (1668) рассматривал логарифм $\ln (1+x)$ как площадь под гиперболой $y=\frac{1}{1+x}$. Действительно,
$$\ln (1+x)=\int \frac{dx}{1+x}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$$

И ряд в правой части можно рассматривать как последовательное интегрирование ряда, получаемого после деления «по правилам алгебры» 1 на $(1+x)$ :
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\dots$$

В 80-90-х гг. XVII в., пытаясь придать своему исчислению более строгую, чем в методе «флюксий» и рядов, логическую форму, Ньютон начал развивать метод «первых» и «последних» отношений, изложенный им в ряде лемм в «Началах». Здесь основным являлось понятие производной, определяемой как «последнее» отношение исчезающего приращения функции $(\mathrm{\Delta }y$ ) к исчезающему приращению аргумента $(\mathrm{\Delta }x)$, или как «первое» отношение возникающего приращения функции к возникающему приращению аргумента.

${}^1$ Аналоги дифференциалов.

Ньютону, как и Барроу, была известна геометрическая интерпретация интеграла функции как площади соответствующей криволинейной трапеции, а также то, что производная этой площади по абсциссе является ординатой этой кривой. Понятия определенного интеграла у Ньютона нет, однако есть, хоть и не полная, но достаточно обширная таблица неопределенных интегралов. Большинство положений своего математического анализа он продемонстрировал в процессе решения конкретных задач, оставив своим последователям возможность построения стройной математической тесрии.

Официальным годом рождения дифференциального исчисления обычно называют 1684 — год выхода в лейпцигском журнале «Acta eruditorum» статьи Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов…», где вводится понятие дифференциала, правила дифференцирования функций (суммы, произведения, отношения), условия их экстремумов и точек перегиба ${}^1$. Через два года Лейбниц опубликовал статью, посвященную основам интегрального исчисления. Новая математическая теория, удачная символика введенных понятий (дифференциала, интеграла) привлекли внимание континентальных ученых, и дальнейшее развитие математического анализа и его приложений в работах Я. и И. Бернулли, Г. Лопиталя, П. Вариньона и их последователей происходило в русле лейбницевой традиции.

Если подход Ньютона был «инематическим», основанным на понятии скорости, то Лейбниц излагал свою теорию на основе геометрических представлений о «характеристическом треулольнике», впервые появившихся в работах Паскаля, Снеллиуса и Барроу («Геометрические лекции», 1670). Поясним подход Лейбница на примере параболы $y=x^2$ (рис. 2.5.1).

Треугольник $ABC$, образованный касательной $BC$, подкасательной $AC$ и отрезком $AB$, параллельным оси $x$, подобен «характеристическому треугольнику»
Рис. 2.5.1
${}^1$ Основные идеи анализа Лейбниц сформулировал между 1673 и 1676 г. под личным влиянием Гюйгенса, в результате изучения работ Декарта и Паскаля.

с катетами $dx$ и $dy$. Таким образом, $dy=\frac{AC}{AB}dx$. Уравнению параболы должна удовлетворять и точка с координатами $(x+dx,y+dy$ ), то есть $y+dy=(x+dx{)}^2=x^2+2xdx+d{x}^2$.

Учитывая, что $y=x^2$, а $(dx{)}^2$ есть величина второго порядка малости, получаем: $dy=2xdx$.

Сравнивая это уравнение с ранее полученным выражением для $dy$, легко получить выражение для подкасательной $AC=AB\cdot 2x=2x^2=2y$.

Таковы основные математические результаты XVII в., имеющие непосредственное отношение к развитию механики.