Жак-Эжен Даллувиль де Лувиль родился в родовом замке де Лувиль в провинции Эр э Луар 14 июля 1671 г. В возрасте 12 лет он самостоятельно познакомился с «Началами» Евклида и с той поры сохранил глубокий интерес к математике. Взрослая жизнь Жака-Эжена началась с военной службы. Снасала на флоте, затем в сухопутных войсках. Служил не только во Франции, но и четыре года в Испании (по протекции его старшего брата, служившего у испанского короля). В 1708 г. он попал в плен и два года провел в Голландии. После возвращения во Францию шевалье дє.Лувиль оставляет военную службу (в чине полковника) и начинает новую — научную карьеру.

Он ведет астрономические наблюдения, участвует в экспедициях по определению географических долгот, конструирует и изготовляет собственные астрономические инструменты. В 1714 г. его избирают членом Парижской академии наук, а позднее и членом Лондонского Королевского общества. Круг его научных интересов был обширен и включал не только математику и механику, но и геодезию, физику, философию, астрономию. Основные его работы опубликованы в «Acta Eruditorium», «Mercure» и «Memoires». Умер Эжен де Лувиль 10 декабря 1732 г. в местечке Карре недалеко от Орлеана.

Из работ по механике наибольший интерес представляют две публикации из «Мемуаров»: «Объяснение одной трудности статики, предложенной в Академии» [232] и «0 теории переменных движений, то есть таких, которые непрерывно ускоряются или непрерывно замедляются. С учетом способа оценки силы тел в движении» [233].

Первая из работ разъясняет парадокс, ранее замеченный Параном, связанный с несогласованностью результатов Галилея и Гюйгенса в задаче о траектории падающих тел. Независимо от Парана и Сорена $^{1}$ Лувиль показывает ${ }^{2}$ согласованность решений Гюйгенса и Галилея, получив при этом важный математический результат. Он нашел разложение функции $F(p, q, x)=\frac{1}{\sqrt{p^{2}-2 q x-x^{2}}}$ в ряд $\sum_{n=0}^{n=\infty} f_{n}(p, q) \cdot x^{n}$, где коэффициенты $f_{n}(p, q)$ являются функциями, позднее введенными в анализ Эйлером и Лежандром и названными сферическими функииями первого рода.

Вторая из названных работ начинается с определения механики. Заметим, что механика уже определяется не как теория механизмов, а как теория движения. «Наука о движении в общем случае является частью Математики, получившей название Механика, которая рассматривает законы, которым следует и которые соблюдает Природа при передаче движений; иначе говоря, тот общий и незыблемый закон, по которому тело, получившее движение, передает его полностью или частично другому телу, которое его уже имело или совсем не имело» [233].

Далее автор определяет основные понятия. Прежде всего он утверждает, что обсуждение причин, приведших в движение изначально покоящиеся тела Вселенной, находится вне рамок механики («c’est une chose hyperméchanique»). В механике əечь идет «только о материи (телах), протяженности и времени». «Так как покоящееся тело не может привести в движение другое тело или само себя, необходимо, чтобы другое движущееся тело передало ему нечто, способное привести его из состояния покоя в движение; и это нечто, каким бы оно ни было, получило название движущая сила ити просто сила» [233].

Основными понятиями считаются сила, тело, пространство (путь) и время. Производным от этих понятий называется понятие скорости, которая определяется либо как отношение силы к массе ${ }^{3}$, либо как отношение пути ко времени. Все общие теоремы механики, лежащие в ее основе, посвящены установлению отношений между этими пятью величинами. Введя обозначения для величин ( $f$ — сила, $m-$ масса или количество вещества в теле, $e$ — пройденный путь, $t-$ за-
1 Член Академии наук с 1707 г., математик, физик, друг Вариньона, Лопиталя, Мальбранша, один из редакторов «Journal des Sçavants».
2 Этому был посвящен и его доклад в Академии в апреле 1720 г.
${ }^{3}$ Геометрические размеры тела в расчет ғе принимаются, и величина тела ассоциируется с его массой.

траченное время, $u$ — скорость), авгор приводит первую теорему: «Чем больше будет сила, приводящая в движение тело, тем больше будет его скорость; и если одна и та же сила заставляет двигаться два тела с разными массами, то чем больше масса движущегося тела, тем меньше будет его скорость, и наоборот, чем меньше будет его масса, тем больше будет скорость…, таким образом. всегда $u=f / m$. .. или иначе $f=$ $=m \cdot u »$. Эту формулу, кажущуюся некоторым известным «геометрам» сомнительной, Лувиль считает несомненной. Заметим, что с момента публикации «Начал» Ньютона уже прошло более 40 лет. И то, что ныне называется вторым законом Ньютона, оказывается, еще не стало общепринятым, несомненным. Трактовка же Лувиля вполне соответствует второму закону [65, с. 40]. А если предположить, что под силой автор подразумевал кратковременное взаимодействие тел (то, что ныне называется импульсом силы), то логика его рассуждений вполне современна.

Далее Лувиль определяет скорость как путь, пройденный в единицу времени $u=\frac{e}{t}$, и его первая теорема принимает вид $f=m \frac{e}{t}$. Для случая равномерного движения $e=t u$. Как следствие первой теоремы, «если скорости двух тел обратно пропорциональны их массам, то силы тел равны; и наоборот, если силы двух тел равны, то их скорости обратно пропорциональны их массам» [233].
«Любое тело, получившее импульс или силу, приведшую его в движение, будет вечно двигаться с той же скоростью, в том же направлении, если не появится какая-либо причина, которая увеличит или уменьшит его скорость или изменит его направление. Это принцип, который все механики считают аксиомой или неоспоримой истиной, не нуждающейся в доказательствах,…». Но, принимая этот принцип, Лувиль утверждает, что для изменения скорости тела, то есть для того, чтобы движение стало ускоренным или замедленным, необходимо последовательное приложение импульсов (сил), которые не могут быть непрерывными, таких, считает он, нет в природе. Отсюда следует, что изменение скорости движущихся тел может быть только дискретным, скачкообразным, а значит, и ускорение нельзя считать величиной непрерывной, оно дискретно. Именно это, утверждает Лувиль, и является причиной того, что иногда скорость убывает, а путь возрастает (пример — тело, брошенное вверх) или того, что скорость и путь изменяются по разным законам (как в случае падения тел по закону Галилея $u \sim t$, $e \sim t^{2}$ ). Кстати, закон Галилея для падающих тел Лувиль доказывает следующим образом. Падающее тело в равные времена получает равное количество импульсов, сообщающих ускорение, то есть изменение (увеличение) скорости. Сумма этих импульсов увеличивается пропорционально их числу и равна скорости. Число импульсов пропорционально времени, тогда скорость также пропорциональна времени, а из $e=u t$ следует, что путь пропорционален квадрату времени, а время — квадратному корню из пройденного пути. Если считать пройденный путь абсциссой некоторой параболы, то сксрость движения и будет этой параболой.

Далее Лувиль, дав высокую оценку взглядов Лейбница на механику, усматривает в них противоречие, содержащееся в выдержках из его работы 1689 г. «О сопротивлении среды …» ${ }^{1}$. В частности, он приводит определение «абсолютного» и «соответствующего» сопротивления среды, физических причин и математических выражений соответствующих сил. В этих пространных цитатах автор усматривает противоречие между результатом рассуждений Лейбница о величине силы сопротивления (пропорциональна скорссти) и его же принципом, выражающем величину живой силы (пропорциональна квадрату скорости). При этом величина силы сопротивления, как причины замедления, торможения движения, у Лувиля ассоциируется с величиной замедления (отрицательного ускорения) скорости. Это отрицательное ускорение он так и называет — сопротивление. И вывод, к которому приходит автор, состоит в том, что ускорение или сопротивление пропорционально величине импульсов и их количеству или произведению этих величин.

Суть же противоречия состоит в том, что «абсолютное» сопротивление у Лейбница пропорционально ке только геометрическим размерам тела, но и вязкости, «липкости» среды, в которой происходит движение, то есть оно (а значит, и сила) пропорционально пройденному пути, в то время как «соответствующее» сопротивление среды пропорционально ее плотности, то есть скорости тела или времени движения.

Для различия этих величин Лувиль вводит понятие «силы каждого импульса», то есть «мгновенной силы или скорости» (forse ou vitesse instantanée), ею сообщаемой в каждый момент времени, и «актуальной силы или скорости» (forse ou vitesse actuelle), являющейся произведением силы каждого импульса на число импульсов, получаемых телом в равные промежутки времени. Эти понятия «мгновенных» и «акту-
${ }^{1}$ См. параграф 3.3.

альных» сил автор отождествляет с «мертвыми» и «живыми» силами Лейбница. Точнее, считая понятие «живой» силы не достаточно ясным, Лувиль предлагает заменить его своей «актуальной силой», которая, по своему математическому выражению, также пропорциональна квадрату скорости. «Актуальной» силой он называет и «соответствующее» сопротивление Лейбница, имеющеє аналогичное математическое выражение.

Для случая движения тела в сопротивляющейся среде Лувиль записывает и дифференциальное уравнение движения
\[
-d u=\frac{u d x}{a},
\]

где $-d u$ — убывание скорости; сила сопротивления среды пропорциональна скорости ( $u$ ) тела и пройденному пути ${ }^{1}(d x)$, $a$ — константа «для соблюдения закона однородности», то есть для приведения в соответствие величин и их размерностей. Ранее это уравнение было получено И. Бернулли ${ }^{2}$. К обсуждению его результатов в «Рассуждении о законах передачи движения» и переходит Лувиль.

Прежле всего автор пытается осмыслить физическую супность, природу, механизм взаимодействия тел. Без этого невозможно ясное определение понятия силы, как меры взаимодействия тел, в частности, твердого тела и упругой пружины. Суть взглядов автора сводится к следующему: движение тела может происходить только как результат действия силы; действие на тело любых сопротивлений (среды, пружины, других тел) аналогично; упругость пружины связана с ускоренным движением в ней некой невидимой жидкости; эта невидимая жидкость «действует в пружине не сразу всей своей массой . . , а как повторяющаяся последовательность импульсов»; эффект от ускоренного движения невидимой жидкости зависит от «скорости или величины каждого импульса и от их количества»; количество импульсов может быть пропорционально времени ${ }^{3}$.
${ }^{1}$ Сила сопротивления пропорциональна количеству встречаемых телом препятствий, то есть частиц среды. А количество частиц (для однородной среды) пропорционально пройденному пути.
${ }^{2}$ Параграф 3.4 данной работы («Рассуждение о законах передачи движения»).
${ }^{3}$ Именно так представляет Лувиль и природу равновесия тела на плоскости: сила веса тела уравновешивается действием импульсов невидимой жидкости, содержащейся в плоскости. В этом, считает он, суть гипотезы Галилея.

Величина импульса, по Лувилю, и есть «мгновенная» сила («мертвая» сила — по Лейбницу и И. Бернулли). А величина, мера взаимодействия тел — это результат последовательного (во времени) наложения «мгновенных» сил. Поэтому сн вводит понятие «актуальной» силы как меры действия на тело за некоторое время $t$ или $d t$. Но, кроме этих двух, автор вводит и третье понятие — «виртуальной» силы или скорости, суть которого можно пояснить следующим образом. Если представить пружину как последовательность одинаковых упругих элементов, то «виртуальная» сила пружины пропорциональна их числу.

Ссылаясь на выдержки из работы Бернулли и умозрительные эксперименты, Лувиль возражает против полученного Бернулли математического выражения величины «живой» силы ${ }^{1}$ и отождествляет ее с двумя (в разных случаях) введенными им силами — «актуальной» и «виртуальной». При этом утверждается, что величина «актуальной» силы определяется величиной и количеством «мгновенных» сил. Общепринятое же мнение о том, что сила олределяется величиной импульса и временем его действия, справедливо только в предположении, что время является мерой количества импульсов. Однако, в отличие от И. Бернулли, Лувиль не подкрепил свои теоретические рассуждения решением каких-либо задач.

Гюйгенс установил сохранение величины $m v^{2}$ при абсолютно упругом ударе. Лейбниц назвал эту величину «живой» силой. И. Бернулли и Декамю использовали ее для построения своей механики. Но физический смысл «живой» силы оставался неясным. Это обстоятельство и послужило причиной появления публикаций их оппонентов — Лувиля и Мэрана. Первая публикация Мэрана на эту тему «Рассуждение об учете и измерении сил, движущих тела» [238] появилась в «Мемуарах» за 1728 г. Именно здесь высказываются сомнения в полезности понятия «живой» силы и критические замечания в адрес работы И. Бернулли. Теория Лувиля стала естественным продолжением дискуссии, начатой Мэраном ${ }^{2}$ в Парижской академии наук. Даже после выступления в защиту И.Бернулли известной в научных кругах маркизы Дюшателе Мэран продолжал отстаивать свою позицию. Этому
${ }^{1}$ Считает, что она должна быть пропорциональна скорости.
${ }^{2}$ Еще раньше теорию «живых» сил не приняли и последователи Ньютона. Повидимому, все это и помешало И.Бернулли получить премию Парижской академии наук за 1724 г.

были посвящены его работы, опубликованные в Париже в 1741 г. («Рассуждение о силах, движущих тела» [239], «Письмо мадам Дюшателе по вопросу о живых силах» [240]).

Многолетняя дискуссия о физической природе и математическом выражении сил, участниками которой были практически все механики XVII — начала XVIII вв., была чрезвычайно актуальной и важной для истории механики. Это был процесс рафинирования понятия силы, без которого невозможно современное построение теории движения и равновесия тел.