Открытие Ньютоном и Лейбницем новых принципов натуральной философии и математического анализа стало поворотным пунктом в истории механики. Дальнейшее развитие идеологии и методологии теоретической механики шло по пута совершенствования, конкретизации и математизации ее понятийного аппарата, принципов построения и анализа математических моделей движения и равновесия тел. Из разряда философских наук механика окончательно переходит в разряд математических.

${ }^{1}$ Полемика Лейбница с С. Кларком описана в [187].

Якоб Бернулли

Фрагмент работы (1703) Я. Бернулли

Значительный вклад в постановку новых и модернизацию уже известных задач, в адаптацию к ним дифференциального и интегрального исчисления внесли известные швейцарские математики и механики братья Якоб ${ }^{1}$ и Иоганн Бернулли. Их решения уже упоминавшихся задач о цепной линии, о брахистохроне, о центре качаний физического маятника, об ударе тел, о движении в сопротивляющейся среде и проблем баллистики, о равновесии тел показали универсальность и эффективность нового математического апшарата, подтвердили и обобщили результаты их предшественников. В первую очередь — Лейбница, чьи идеи и методы получили в их творчестве наибольшее развитие.

Принцип $^{2}$, заложенный Гюйгенсом в решение задачи о центре колебаний, некоторым ученым казался сомнительным, и поэтому Я. Бернулли предложил свое решение, основанное на идее компенсации движущих сил силами инерции, получившей дальнейшее развитие у Германна, Эйлера, в «Динамике» Даламбера и благодаря Лагранжу вошедшей в теоретическую механику под названием «принцип Даламбера» ${ }^{3}$. Решение Якобом Бернулли задачи о центре качаний (колебаний), опубликованное в «Acta eruditorum» за 1691 г. и «Мемуарах» Парижской академии за 1703 г., сводится к следующему.
Рис. 3.4.1
Пусть в точках $a_{1}$ и $a_{2}$ (рис. 3.4.1) жесткого невесомого стержня $A a_{1}$ укреплены две гочечные массы $m_{1}$ и $m_{2}$. Необходимо найти длину изохронного математического маятника или расстояние $l_{0}=A a_{0}$ до точки $a_{0}$, в которой сосредоточена масса $m_{0}=m_{1}+m_{2}$, если $A a_{1}=l_{1}, A a_{2}=l_{2}$. Если бы стержень свободно падал под действиек тяжести грузов $m_{1}$ и $m_{2}$, то за $\Delta t$ тогки $a_{1}, a_{2}, a_{0}$ переместились бы в положения $O, N, Q$, причем $O a_{1}=N a_{0}=Q a_{2}$. Но стержень поворачивается вокруг точки $A$ и через $\Delta t$ займет положение $A N$, точка $a_{1}$ пройдет путь $a_{1} b_{1}>a_{1} O$, точка $a_{0}-$ путь $a_{0} b_{0} \approx a_{0} N$, точка $a_{2}-$ путь $a_{2} b_{2}<a_{2} Q$. Пока точка $a_{1}$ не достигла положения $c_{1}$, все точ-
${ }^{1}$ По мнению К. Трусделла, классическая механика обязана своим созданием Я. Бернулли в той же мере, что и И. Ньютону [296, с. 101].
${ }^{2}$ Гипотеза 1 из $\S 2.8$.
${ }^{3}$ Современный вид принцип Даламбера принял после выхода в 1856 г. «Трактата рациональной механики» Ш. Делоне.

ки «падали» свободно. Но в положении $c_{1}$, как говорит Я. Бернулли, «действие веса точки $a_{1}$ истощилось» [40, с. 139] и она продолжает свое движение к точке $b_{1}$ за счет веса точки $a_{2}$. За время прохождения точкой $a_{1}$ дуги $c_{1} b_{1}$ точка $a_{2}$ пройдет меньшую дугу $c_{2} b_{2}$, то есть точка $a_{1}$ действует на $a_{2}$ замедляющим образом. Таким образом, точка $a_{1}$ своей инерцией (силой инерции) замедляет вращение стержня, а точка $a_{2}$ его ускоряет, точка $a_{0}$ не вносит никакого вклада, оставаясь в данный момент как бы неподвижной. В таком случае стержень $A a_{1}$ можно отождествлять с рычагом второго рода с точкой опоры в $A$, находящимся в равновесии под действием сил инерции $m_{1} c_{1} b_{1}$ и $m_{2} c_{2} b_{2}$ грузов $m_{1}$ и $m_{2}$, направленных в противоположные стороны. Уравнение равновесия рычага
\[
m_{1} l_{1} \cdot c_{1} b_{1}=m_{2} l_{2} \cdot c_{2} b_{2},
\]

из-за малости дуг $c_{1} b_{1}=l_{1}\left(\alpha_{0}-c_{1}\right), c_{2} b_{2}=l_{2}\left(\alpha_{2}-\alpha_{0}\right)$ и углов $\alpha_{1} \sim$ $\sim \operatorname{tg} \alpha_{1}=\frac{O a_{1}}{l_{1}} ; \alpha_{2}=\frac{Q a_{2}}{l_{2}} ; \alpha_{0}=\frac{N a_{0}}{l_{0}}$, после преобразований приводит к искомому выражению:
\[
l_{0}=\frac{m_{1} l_{1}^{2}+m_{2} l_{2}^{2}}{m_{1} i_{1}+m_{2} l_{2}} .
\]

Для случая нескольких масс решение будет аналогичным. Кроме идеи сведения изучения движения тела к изучению его равновесия с учетом сил инерции, Я. Бернулли высказал мысль о возможном определении реакции связи. Истинное движение $a_{1} c_{1}\left(a_{2} b_{2}\right)$ он разложил на свободное $a_{1} O\left(a_{2} Q\right)$ и движение $O c_{1}\left(Q b_{2}\right)$ вдоль стержня. Каждому движению он ставит в соответствие силу. Вертикальному движению $a_{1} O\left(a_{2} Q\right)$, естественно, соответствует сила тяжести, а сила, соответствующая движению вдоль стержня, уравновешивается опорой $A$. По современным представлениям — реакцией связи. Ученик Я. Бернулли — Якоб Германн ${ }^{1}$ дал иную интерпретацию идеи использования сил инерции. В наиболее известном сочинении «форономия или две книги о силах и движениях твердых и жидких тел» [200], peшая задачу о нахождении центра колебаний физического маятника, он разлагает силу тяжести каждой материальной точки на две составляющие: одна направлена по линии подвеса, другая — перпендикулярно

${ }^{1}$ Один из первых академиков Петербургской академии наук.

первой. Первая из сил уравновешивается реакцией связи (опора $A$ ), вторая — силой инерции, равной массе точки, умноженной на касательное ускорение (по закону ускоряющих сил Ньютона). Это рассуждение относится к каждой точке маятника, то есть к маятнику в целом, и приводит к следующему принципу: в каждый момент времени движущие силы (вес), реакции связи и силы инерции уравновешиваются. Воспользовавшись этим принципом для решения своей задачи, Германн не придал ему всеобщего статуса. Это сделал позднее другой академик Петербургской академии наук, ученик И. Бернулли Леонард Эйлер, использовавший сформулированный принцип (в своей интерпретации ${ }^{1}$ ) для решения многих задач, в том числе и не связанных с колебаниями.