Так как уже было много трактатов по баллистике, я надеюсь, что изложение всего этого искусства на одной странице, содержащей, как я осмелюсь утверждать, все имеющееся в более толстых трактатах, не вызовет особого раздражения; и содержащей все более простым образом и более удобно для использования, чем геометрические построения, зависящие от свойств окружности и параболы.
I. Пусть скорость ${}^2$ снаряда будет равна той, которую он приобрел бы, падая с высоты $CA$, т.е. $=\sqrt{a},AQ=s,QM=z$; для снаряда, вылетающего в направлении $AG$ будет $t.2z::\sqrt{a}\cdot \sqrt{z}$, или $tt=$ $=4az{.}^3$ Для отнесения этой параболы к горизонтальной линии $AH$, образующей с $AG$ угол, тангенс которого, при луче равном 1 , равен $n$; пусть $AP=x,PM=y,PQ=nx$; имєем $QM=PQ-PM(z=nx-y)$
${}^1$ [247]. Эта небольшая статья 1731 года хорошо характеризует научный почерк Мопертюи.
${}^2$ Речь идет о начальной скорости снаряда в точке $A$.
${}^3\mathrm{B}$ современных обозначениях $t/2z=\sqrt{a}j\sqrt{z};t^2=4az$.

и $A{Q}^2=A{P}^2+P{Q}^2(tt=xx+nnxx)$. И исключая $z$ и $t$ из первого Уравнения $tt=4az$, получаем $(nn-1)xx=4nax-4ay$.
II. Для поражения данным весом пороха (зарядом — В.Я.) заданной точки $E$.

Пусть $AD=b,ED=c$; необходимо, чтобы когда $x$ станет $b,y$ стало $c$; таким образом, $(nn+1)bb=4nab-4ac$. Откуда получаем направление ствола (пушки) $n=\frac{2a}{b}\pm \frac{1}{b}\sqrt{4aa-4ac-bb}$. Откуда видно, что для поражения $E$ данным зарядом существуют два положения ствола.

След. 1. Чтобы $n$ было возможно, необходимо, чтобы $4aa=$ или > $>4ac+bb$.
След. 2. Если $E$ на горизонтсли, имеем $n=\frac{2a}{b}\pm \frac{1}{b}\sqrt{4aa-bb}$.
III. Для поражения точки $E$ в данном направлении.
Имеем: $a=\frac{nn+1}{4nb-4c}bb$. Что определяет заряд.
След. Этим показано, что при неизменном положении пушки горизонтальная дальность полета пэопорциональна линии $CA$, взятой в качестве силы бросания. Так как $c$ стало $=0$, имеем $b=\frac{4n}{nn+1}a$.
IV. Для нахождения направления наибольшей дальности бросания.

Имеем: $AB=x=\frac{4n}{nn+1}a$ должна быть максимальной. Дифференцируя эту величину или просто $\frac{n}{nn+1}$ и приравнивая нулю, находим $n=1$. Откуда видно, что полупрямой угол дает наибольшую возможную горизонтальную дальность.
V. Для определения наименьшего заряда, который может поразить $E$.

Имеем: $a=\frac{nn+1}{4nb-4c}bb$ должна быть минимальной. Дифференцируя это количество, считая $n$ переменной, или просто дифференцируя $\frac{nn+1}{nb-c}$, получаем $n=\frac{c}{b}\pm \frac{1}{b}\sqrt{bb+cc}$; подставляя положительное значение $n$ в $a=\frac{nn+1}{4nb-4c}bb$, находим $a=\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\sqrt{bb+cc}$.