История изобретения точных механических часов связана с именами Галилея и Гюйгенса. Галилей высказал идею использования часов для определения долготы места, чсо имело огромное значение для мореплавания. В 1612, 1616, 1630 гг. он пытался вступить в переговоры с испанским правительством о перєдаче своего открытия – измерителя времени. Попытки были безуспешными, и в 1636 г. он обратился с этим предложением к Генеральным штагам Нидерландов, которые приняли предложение и назначили комиссию для его рассмотрения. Комиссия указала на некоторые недостатки часов Галилея (он их признал справедливыми, но преодолимыми) и постановила отправить ему в дар золотое колье стоимостью 500 флоринов. Но по инициативе кардинала Барберини Генеральный инквизитор Флоренции запретил переговоры, и Галилей вынужден был отказаться и от дара, и от продолжения переговоров, которые с голландской стороны поддерживались Константином Гюйгенсом – отцом Христиана. Галилею, – писал Вивиани ${ }^{1}$ в 1641 г., «… пришло в голову, что можно добавить маятник к часам с гирями и с пружиной» $\left[187\right.$, с. $90^{\circ}$. Установлено, что такие часы были построены самим Вивиани.

В 1657 г. о создании собственных часов сообщил Х. Гюйгенс ${ }^{2}$. В его часах обеспечивалась изохронность колебаний маятника и использовался анкерный (у Галилея – крючковый) спуск для передачи движения механизму. Но изохронность была недостаточной, и Христиан продолжил теоретические расчеты. Ему удалось показать, что период маятника будет независим от амплитуды и движения маятника будут равномерными, если он будет двигаться не по окружности, а по циклоиде. Для реализации такого движения Гюйгенс установил вблизи точки подвеса маятника ограничители определенной конфигурации («щеки»). Для расчета формы «щек» и была создана математическая теория эволют.

Трактат Х. Гюйгенса «Маятниковые часы или геометрические доказательства, относящиеся к движению маятников, приспособленных к часам» был издан в Париже в 1673 г. Он сразу привлек внима-

1 Член Флорентийской академии наук, Лондонского Королевского общества и Парижской академии наук, математик велихого герцога Тосканского, ученик Галилея.
${ }^{2}$ Изобретение имело большой успех, было защищено 16 июня 1657 г. патентом Генеральных штатов и описано в книге «Часы» (1658).

ние и практиков, интересующихся конструкцией часов ${ }^{1}$, и геометров. Здесь впервые приводится теория эволют и эвольвент (часть третья – «O развертке и измерении кривых»), формулируются начала теории колебаний весомых тел (часть вторая – «O падении весомых тел и их движении по циклоиде», часть четвертая – «О центре качания») и приводятся (без доказательства) 13 теорем о центробежной силе. Центральные части книги достаточно независимы (это развитие идей предшественников), но все они объединены единой задачей (о колебании маятника) и единым методом исследования (геометрия Евклида).

Гюйгенс был прямым продолжателем работ Галилея и Торричелли, теории которых он, по его собственному выражению, «подтверждал и обобщал» [54, с. 91]. Аксиомы (закон инерции; независимость вертикального движения, вызванного весом, и произвольного равномерного движения, составляющих сложное, тс есть реальное движение) и первые одиннадцать теорем («предложений») второй части «Маятниковых часов» обобщают результаты Галилея в задаче о колебаниях маятника (считается, что колебания происходят в вертикальной плоскости, под действием тяжести, по траектории, являющейся предельным положением ломаной). Следующий шаг в обобщении идей Галилея-Гюйгенса сделал Ньютон, предложив систему понятий и законы ${ }^{2}$, ставшие основой теоретической механики. Остановимся на некоторых из теорем Гюйгенса.

Предложение I. «Скорость свободно падающего тела возрастает в равные времена на одинаковые величины. Равным образом и пути, проходимые в одинаковые времена, начиная от начала движения, возрастают на одинаковые величины» ${ }^{3}[27$, с. 35].

При доказательстве этой теоремы автор предполагает, что вес является единственной причиной падения тел. В этом случае любые два тела постоянного веса в равные промежутки времени (от начала дви-

${ }^{1}$ Первая и пятая части трактата посвящены детальному описанию конструкции часов.
${ }^{2}$ Своим предшественником по первым двум законам Ньютон считал Галилея, по третьему – Гюйгенса, использовавшего эту гипотезу при построении теории удара.
${ }^{3}$ Вторая часть Предложения I нуждается в комментарии. Из дальнейшего текста следует, что здесь речь не идет о том, что пройденный путь пропорционален времени. Двусмысленность неудачного перевода гозволяет предполагать, что либо речь идет о сравнении путей разных тел, либо о возрастании путей тела на одинаковые по выражению величины $(v \Delta t)$.

жения) будут проходить равные пути. Обобщая эту мысль ГалилеяГюйгенса, мы приходим к заключению Ньютона – сила является единственной причиной неравномерного движения тел. По Ньютону вес одна из движущих сил, падение – одно из движений, в процессе которого меняется количество движенля. Падение (изменение количества движения) является следствием действия силы (причины движения), а всякое следствие пропорционально его причине. Таким образом, обобщение Ньютона, ставшее его вторым законом, становится не просто логичным, а очевидным: «изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует» [65, с. 40].

Предложение III. «Если при свободном падении взять два произвольных промежутка времени (оба от начала движения), то пути, пройденные за эти промежутки времени, относятся как квадраты времен или так же, как квадраты приобретенных конечных скоростей» [27, с. 38$]$.

Предложение IV. «Если тело начнет подниматься вверх со скоростью, приобретенной в конце свободного падения, то оно в одинаковые времена будет проходить вверх те же пути, которые проходило раньше в обратном направлении, и тело поднимется до той же высоты, с которой оно падало; кроме того, в равные времена скорость будет убывать на равные величины» $[27$, с.40].

При доказательстве этой теоремы использовался «энергетический принцип», ранее встречавшийся в работах Торричелли ${ }^{1}$ и Роберваля, который Гюйгенс обобщил на систему тел: «Система весомых тел, движущихся под влиянием силы тяготения, не может двигаться так, чтобы общий центр тяжести тел поднялся выше первоначального положения» $[27$, с. 308$]$.

Предложение VI. «Скорости, приобретаемые весомыми телами при падении по наклонным плоскостям разного наклона, одинаковы, если высоты наклонных плоскостей равны» [27, с. 47].

Предложения VII-X посвящеєы адаптации полученных результатов на случай движения по ломаной или произвольной кривой, расположенных в вертикальной плоскости.

${ }^{1} \mathrm{C}$ принципом Торричелли Гюйгенс познакомился в ранний период своего творчества, когда он занимался чисто статическими проблемами. Этот принцип был опубликован Торричелли в «De Motu gravium» (1644) и касался только двух тел.

Предложение XI. «Если тело падает вдоль какой-нибудь поверхности и потом меняет направление движения и поднимается по той же или по симметричной и симметрично расположенной поверхности, то при падении и поднятии одинаковыє пути проходятся в одинаковые времена» [27, с. 51].

Итак, для равномерности часового хода траектория движения маятника должна быть некоторой криєой, симметричной относительно вертикальной оси. Далее Гюйгенс рассматривает циклоиду, образованную точкой окружности катящегося по прямой колеса. Доказав в предложениях XII-XX свойства циклоиды и движения по ней, автор устанавливает, что искомая траектория движения маятника – это циклоида с вертикальной осью и вершиной, обращенной вниз (предложения XXV-XXVI).

Третья часть «Маятниковых часов» излагает теорию эволют и эвольвент, четвертая часть «О центре качания» посвящена изложению начал теории колебаний, механики системы точек и тел. Гюйгенс начинает с истории ${ }^{1}$ возникновения проблемы центра качания и определений:
«1. Под маятником мы будем понимать любую, обладающую весом фигуру (линию, плоскость или тело), гак подвешенную, что она может совершать колебательные движения вокруг некоторой точки или, вернее, вокруг горизонтальной оси.
2. Горизонтальную ось, вокруг которой надо мыслить колебания маятника, мы будем называть осью колебаний.
3. Под простым маятником мы будем понимать нить или линию, не гнущуюся и невесомую и несущую на нижнем конце прикрепленный груз. Вес этого груза как бы сосредоточен в одной точке.
4. Под сложным маятником мы будем понимать тело, состоящее из нескольких грузов, сохраняющих неизменное расстояние как друг от друга, так и от оси колебаний. Таким образом, всякое подвешенное тяжелое тело может быть названо сложным маятником, так как оно может быть мысленно разделено на любое число частей.
5. Изохронными назовем маятники, совершающие колебания через подобные дуги ${ }^{2}$ в одинаковые времена.

${ }^{1}$ Задача была сформулирована Мерсенном, ее пытались решить Декарт, Оноре Фабри и другие.
2 Это означает – при равных амплитудах. В этом случае центральные углы равны, и дуги подобны независимо от длины маятника (радиуса). Фактически речь идет о движении разных точек совершающего колебания стержня.

6. Под плоскостью колебаний будем понимать плоскость, проходящую через центр тяжести подвешенной фигуры перпендикулярно к оси колебаний.
7. Линией центра фигуры будем называть прямую, проведенную через центр тяжести фигуры и через ось колебаний, перпендикулярно к этой оси.
8. Отвесной линией будем называть линию, проведенную от оси колебаний в плоскости качаний перпендикулярно к плоскости горизонта.
9. Центром качаний любой фигуры назовем ту точку оси фигуры, расстояние от которой до оси колебаний равно длине простого маятника, изохронного с подвешенной фигурой.
10. Любую линию, проходящую через центр тяжести фигуры, назовем осью тяжести.
11. Назовем колебания плоской фигуры или плоской кривой плоскими, если ось колебаний лежит в плоскости фигуры или линии.
12. Назовем колебания плоской фигуры или плоской линии боковыми, если ось колебаний расположена перпендикулярно к плоскости фигуры или кривой.
13. Єсли говорят, что надо веса помножить на прямые линии, то это означает, что перемножаются числа или отрезки прямых, которые выражают величину весов или их отношение друг к другу» [27, c. 120-122].

Легко заметить, что далеко не все из введенных понятий ${ }^{1}$ вошли в современную теорию колебаний, некоторые получили иное название. Простой и сложный маятники ныне называются, соответственно, математическим и физическим, иначе олределяются плоские колебания, нет необходимости в понятиях боковых колебаний, линии центра фигуры. Но именно здесь начинается формирование языка одного из важнейших разделов теоретической механики. Понятийный аппарат теории Гюйгенса продолжают две гипотезы.
1. «Если любое число весомых тел приходит в движение ${ }^{2}$, благодаря их тяжести, то общий центр тяжести этих тел не может подняться выше, чем он был в начале движения» [27, с. 122].
2. Сопротивление воздуха и другие помехи движению отсутствуют.

${ }^{1}$ Далее по тексту еще вводится понятиᄅ клина (часть цилиндрической поверхности, расположенной между двумя пересекающимися плоскостями) и его субцентрики (расстояние между проекцией центра тяжести клина и касательной к цилиндру).
${ }^{2}$ Подразумевается, что из положения устойчивого равновесия.

Первая из гипотез уже использовалась при доказательстве «Предложения IV» второй части и здесь поясняется на уровне человеческого опыта и здравого смысла. Гюйгенс считает эту гипотезу чрезвычайно важной и перспективной: «Эта моя гипотеза применима также и к жидкостям. И при помощи ее можно доказать не только все теоремы Архимеда о плавании тел, но и много других теорем механики. И если бы изобретатели новых машин, напрасно пытающиеся построить вечный двигатель, пользовались этой моей гипотезой, то они легко бы сами сознали свою ошибку и поняли, что такой двигатель нельзя построить механическими средствами» $[27$, с. 124$]$.

Теория включает 24 теоремы-предложения, посвященные способам нахождения центра качания, и две теоремы, позволяющие определить единицу длины и ускорение свободного падения тел. Это есть первая попытка строгого геометрического изложения механики системы тел применительно к задаче о колебаниях. Здесь впервые используются (но не определяются) понятия связи, осевого момента инерции, доказывается теорема о моменте инерции отногительно оси, параллельной данной, вычисляются осевые моменты инерции и центры качаний круга, прямоугольника, равнобедренного треугольника, параболы, кругового сектора, окружности, правильного мнэгоугольника, пирамиды, конуса, шара, цилиндра, параболического и гдперболического коноидов, половины конуса, находится ускорение свободного падения ${ }^{1}$.

Предложение I устанавливает правило нахождения координат центра тяжести системы тел. Следующее предложение уточняет это правило для случая $n$ равных тел. Третья теорема, говоря современным языком, доказывает, что при перемещении тел системы сумма работ их весов равна работе общего веса всех тел на соответствующем перемещении центра тяжести. Четвертое предложение устанавливает, что наибольшая высота центра тяжести системы тел не изменится, если тела будут в какой-то момент освобождены от связей между ними. Центральное место в теории занимает предложение V, дающее формулу для определения положения центра качания или приведенной длины физического маятника.

В современных курсах теоретической механики эта формула получается из сравнения дифференциальных уравнений колебаний матема-

${ }^{1}$ Обозначение $g$ для ускорения свободного падения введено И. Бернулли. Для широты Парижа из расчетов Гюйгенса получается $g=9,799 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$ (нынешнее значение $-g=9,809 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$ ) [27, с. 362].

тического
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \sin \varphi=0
\]

и физического
\[
\ddot{\varphi}+\frac{m l g}{J} \sin \varphi=0
\]

маятников ( $\varphi$ – угол отклонения от вертикали, $g$ – ускорение свободного падения, $l$ – расстояние от оси вращения до центра тяжести, $m$ масса, $J$ – осевой момент инерции). Сопоставляя равенства (1) и (2) легко заметить, что физический маятник будет вести себя как математический маятник длиной
\[
l_{0}=\frac{J}{m l} .
\]

Это и есть формула для определения приведенной длины $\left(l_{0}\right)$. Если воспользоваться теоремой Гюйгенса-Штейнера ${ }^{1} J=J_{0}+m l^{2}$, где $J_{0}$ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести, то легко установить, что $l_{0}=l+\frac{J_{0}}{m l}$, то есть $l_{0}>l$.

По аналогии с математическим, период мальх колебаний физического маятника будет определяться равенством
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{l_{0}}{g}} .
\]

Результат, сформулированный Гюйгенсом в «Предложении V», полностью совпадает с равенством (3), но пришел он к нему далеко не так просто и не очень быстро. Эту задачу он получил от Мерсенна в письме его отцу в сентябре 1646 г. В ответном письме (26.10.1646) Христиан благодарит знаменитого Мерсенна за внимание и делится своими соображениями о решении задачи. Мерсенн, отвечая на послание Христиана (8.12.1646), поддерживает его намерения, но советует в поисках решения следовать не Галилею, а Декарту – «… наиболее выдающемуся мыслителю мира…» [187, с. 301]. Называя Христиана Аполлонием и Архимедом тех лет, Мерсенн тем не менее, указывает и на недостатки его решения. По свидетельству самого Гюйгенса,

${ }^{1}$ Якоб Штейнер – член Берлинской академии наук (с 1834), профессор Берлинского университета – более чем чеңез 150 лет повторил результат Гюйгенса и придал ему современную форму.

до 1665 г. ни он сам, ни Мерсенн, ни Декарт, ни Роберваль не дали удовлетворительного решения этой проблемы, ставшей актуальной в связи с работами по конструированию часов. С 1661 г. колебаниями маятника (в том числе сложного) заинтересовались представители Лондонского Королевского общества. Правда, их интерес был связан не с созданием маятниковых часов, а с идеей установления с помощью маятника «естественного стандарта» – универсальной меры длины и с намерениями определить силу сопротивления воздуха. К этому времени Гюйгенс окончательно определился со своими естественно-научными принципами ${ }^{1}$, стал одним из искуснейших геометров Европы, и ему нужно было предложить способ регулирования кслебаний маятника. Чисто инженерная проблема требовала математического решения – «самого элегантного и самого точного, какое только было возможно» $[187$, с. 304].
Это прекрасное доказательство зас.ужживает воспроизведения ${ }^{2}$ хотя бы для того, чтобы показать, как в механику вошло понятие момента инериии. Пусть физический маятник – невесомый стержень $O A$ с тремя грузами, расположенными на заданных расстояниях $r_{k}$ (рис. 2.8.1), $m_{k}$ – масса груза $r_{k}$, $v_{k}$ – скорость груза $r_{k}, r_{c}$ – положение центра тяжести грузов, $h_{k}, h_{c}$, $h$ – «одновременные» отрезки перРис. 2.8.1 пендикуляров к хордам в сегментах траекторий. Стержень $O A$ совершает колебания, грузы и их центр тяжести описывают дуги радиусов $r_{k}$ и $r_{c}$. Допустим, что существует математический маятник, длиной $l_{0}$ и массой $m=m_{1}+m_{2}+m_{3}$, совершающий колебания, изохронные с нашим стержнем. Пересечем все дуги произвольной прямой, проходящей через $O$. Все грузы, их центр тяжести и математический маятник окажутся на этой прямой в один и тот же момент $t$, и у них будут

${ }^{1}$ Аксиоматика работ Гюйгенса убедительно доказывает, что он не воспользовался советом Мерсенна во всем следовать Декарту.
${ }^{2}$ Приводимое здесь доказательство не копирует, но в точности следует идеологии Гюйгенса. При этом используются современные обозначения.

скорости $v_{k}, v_{c}, v$ ( $v_{c}$ и $v$ – скорости центра масс и математического маятника).
Все сегменты подобны, поэтому
\[
\frac{h_{k}}{h}=\frac{r_{k}}{l_{0}} ; \quad \frac{h_{c}}{h}=\frac{r_{c}}{l_{0}} .
\]

Точки движутся по окружностям, то есть
\[
\frac{v_{k}}{v}=\frac{r_{k}}{l_{0}} ; \quad \frac{v_{c}}{v}=\frac{r_{c}}{l_{0}} .
\]

В соответствии с предложением III второй части,
\[
\frac{h_{k}}{h}=\frac{v_{k}^{2}}{v^{2}} ; \quad \frac{h_{c}}{h}=\frac{v_{c}^{2}}{v^{2}} .
\]

Третье предложение-теорема четвертой части с точностью до замены весов массами приводит к равенству:
\[
\sum_{k=1}^{3} m_{k} h_{k}=m h_{c} .
\]

Подставляя в полученное равенство $h_{c}=\frac{r_{c}}{l_{0}} h$ (из (5)) и $h_{k}=\left(\frac{r_{c}}{l_{0}}\right)^{2} h$ (из (7) и (6)), получим:
\[
\frac{\sum_{k=1}^{3} m_{k} r_{k}^{2}}{l_{0}^{2}} h=m \frac{r_{c}}{l_{0}} h,
\]

а после преобразований и выражение для приведенной длины:
\[
l_{0}=\frac{\sum_{k=1}^{3} m_{k} r_{k}^{2}}{m r_{c}} .
\]

Числитель этой формулы позднее (у Эйлера) получил название момента инерции.

Следующие предложения-теоремы развивают полученный результат для конкретных примеров тел. В том числе доказывается и аналог уже упоминавшейся теоремы Гюйгенса-Штейнера (Предложение IX), показывается, что $l_{0}>r_{c}$, устанавливаются правила вычисления разности $l_{0}-r_{c}$ (Предложение XVIII) и возможности перемены мест подвеса и центра качания (Предложение XX), используется понятие периода и частоты ${ }^{1}$ колебаний (Предложение XXV).