Пьер-Луи Моро де Мопертюи родился в городке Сен-Мало на атлантическом побережье Франции 17 июля 1698 г. Его образование началось с частных уроков, а в 1714 г. он переезжает в Париж и поступает в коллеж La Marche, где математику преподавал ученик Вариньона академик Гисне. Через два года Мопертюи покидает коллеж и уезжает в Голландию. В 1718 г. он поступает на военную службу, вскоре получает звание лейтенанта, но в 1723 г. выходит в отставку и становится ассистентом академика-геометра Ф.Николя. В 1725 г. он избирается $^{1}$ в Парижскую академию ғаук, через три года едет в Лондон и становится членом Лондонского Королевского общества. Из Англии он переезжает в Швейцарию, где вместе с Клеро и Кенигом слушает в Базельском университете лекции И. Бернулли по интегральному исчислению. Вернувшись в Париж, в 1731 г. он становится академиком² Академии наук.

Первые публикации ${ }^{3}$ Мопертюи были сугубо математическими, но большинство работ 1732-1734 гг. посвящены развитию и популяризации во Франции идей Ньютона, в частности, его теории гравитациu. Одним из итогов научной активности Мопертюи становится назначение его руководителем лапландской (север Швеции) экспедиции 4 (июль 1736 — май 1737 г.) по определению длины градуса меридиана. Публикация в 1738 г. результатов экспедиции значительно повысила
${ }^{1}$ Ассоциированный ассистент (adjoint-associé).
${ }^{2}$ Associé-pensionnaire.
${ }^{3} 1726-1732$ гг.
${ }^{4}$ В ее состав входили Клеро, Камю и другие.

авторитет Мопертюи в научных кругах, у него устанавливаются дружеские отношения с Вольтером, маркизой Дюшателе и ее окружением, его приглашает ${ }^{1}$ прусский король Фридрих, в 1743 г. он избирается членом Французской академии.

Первая публикация Мопертюи о принципе наименьшего действия относится к 1744 г. Именно в этот год он принимает предложение Фридриха Великого занять пост президента Берлинской академии наук и переезжает в Берлин. Это было официальное признание высоких научных заслуг Мопертюи — автора нескольких известных книг и большого количества статей по математике, механике ${ }^{2}$, физике, астрономии, биологии и прикладным проблемам. Публикации по принципу наименьшего действия — это не только новый этап в творчестве Мопертюи, поиск фундаментальных принципов мироздания, но и важнейшее событие в истории классической механики. Начавшаяся после публикации принципа дискуссия, активными участниками которой стали Кениг, Эйлер, Даламбер, Дарси, Куртиврон, Вольтер, Лагранж, Л. Карно и другие видные ученые XVIII-XIX ев., привела к уточнению многих ранее введенных понятий, философскому осмыслению роли механики и ее принципов в системе наук, формированию нового математического аппарата механики, получившей после Лагранжа название аналитической.

Работа 1744 г. была доложена Парижской академии наук и называлась «Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми» $[14,249,252]$. Ссылаясь на публикации Ферма, Декарта и Лейбница, Мопертюи показывает аналогичность законов движения светового луча и твердых тел и формулирует их общий принцип. На примере движения луча света в разных средах он показывает, что движение по кратчайшему пути и движение за кратчайшее время не совпадают. Это наводит его на мысль провозгласить свой принцип, конкретизирующий принцип Ферма: «Природа во всех своих явлениях действует всегда простейшим образом» [252, T. 4, с. 12]. Суть этого принципа — «выбираемый путь таков, что для него количество действия является наименьшим» $[252$, T. 4, с. 17].
${ }^{1}$ Их встреча состоялась в 1740 г.
${ }^{2} \mathrm{~B}$ качестве иллюстрации, в приложении к данной работе приводится перевод статьи «Арифметическая баллистика» [247]. В этом же томе «Мемуаров» опубликованы его статьи, посвященные опытам над скорпионами и исследованию полярного сияния.

Что же следует понимать под количеством действия? «Для перемещения тела из одной точки в другую необходимо некоторое действие: оно зависит от скорости тела и от пройденного пути, но ни от скорости, ни от пути, взятых отдельно. Количество действия, таким образом, тем больше, чем больше скорость и чем длиннее пройденный путь; оно пропорционально сумме пройденных путей, умноженных на скорости их прохождения» [252, Т. 4, с. 17]. Здесь автор делает сноску, где утверждается, что при рассмотреєии одного тела его масса может не учитываться.

Свой принцип Мопертюи демонстрирует на примере прохождения луча света через границу $C D$ (рис. 5.2.1) двух сред. Если $m-$ скорость луча в верхней среде, $n$ — в нижней, то количество действия должно быть наименьшим. Переписывая действие в виде $m \sqrt{A C^{2}+C R^{2}}+n \sqrt{B D^{2}+D R^{2}}$, дифференцируя ( $A C$ и $B D-$ константы) и приравнивая результат нулю, получаем равенство
\[
\frac{m C R d C R}{\sqrt{A C^{2}+C R^{2}}}+\frac{n D R d D R}{\sqrt{B D^{2}+D R^{2}}}=0,
\]

Рис. 5.2.1

из которого при $C D=$ const, то есь $d C R=-d D R$, следует известный закон преломления света:
\[
\frac{C R}{A R}: \frac{D R}{B R}=\frac{n}{m} .
\]

В этом Мопертюи видит надежное подтверждение провозглашенного им принципа, следствием которого является принцип Ферма. Вторым подтверждением этого принципа является разумность Высшего Существа. «Механика слепа, и нужно следовать замыслам наиболее ясного и свободного Разума; и если бы наш рассудок был достаточно обширен, он бы видел причины физических явлений, либо рассчитывая свойства тел, либо изучая то, что они имеют наиболее существенного для их осуществления» [252, Т. 4, с. 21].

Завершается мемуар выдержкой из работы Эйлера, проясняющей разницу между действием по Лейбницу и действием по Мопертюи, а значит, и между их принципами. Эйлер показывает, что принцип «простейшего пути», полученный Лейбницем как следствие той же дискуссии между Декартом и Ферма, является частным случаем принципа Мопертюи, когда сопротивление среды пропорционально скорости движения тела.

Но к сущности законов движения тел Мопертюи приходит через осознание «Законов покоя». Именно так назывался его доклад 20.02.1740 г. в Парижской академии наук [252, Т. 4, с. 45-64]. Доклад был посвящен попытке обобщения, ранее установленного экспериментально, условия равновесия системы тел — принципа наинизшего положения ее центра тяжести. Но как найти функцию, экстремальное значение которой и будет соответствовать этому условию? Мопертюи рассматривает систему трех центральных сил, придает точкам их приложения возможные перемещения и записывает условие равновесия системы тел в виде равенства ${ }^{1}$
\[
\sum_{k=1}^{n} m_{k} f_{k} d r_{k}=0
\]
( $m_{k}, f_{k}, d r_{k}$ — массы, величины сил, перемещения тел), которое считается несомненным. Сама идея формулировки экстремального принципа равновесия системы тел, по своей сути связанная с принципом наименьшего количества действия, была интересной и перспективной. Но ее математическая реализация, предложенная Мопертюи, была недостаточно убедительной. Это подтверждает и приведенный им пример равновесия рычага. В полной мере эта идея была осуществлена Лагранжем в «Аналитической механике» $[53$, T. 1 , отдел $3, \S$ V].

От идеи записи принципов построения научной теории на основе очевидных или экспериментально установленных причинно-следственных связей между явлениями, а в математическом выражении между соответствующими понятиями, Мопертюи предлагает перейти к принципам, выражающим некоторую оптимальность, разумность явлений природы. От ни физически, ни метафизически необъяснимых причинно-следственных взаимосвязей между явлениями (понятиями) он предлагает перейти к принципам, отражающим новый, более глубокий уровень проникновения в тайны природы, из которых причинно-следственные законы получаются простыми математически-
${ }^{1}$ Использованы современные обозначения.

ми преобразованиями ${ }^{1}$. Разумность же природных явлений является следствием разумности Творца. Такова философская, теологическая подоплека метафизического принципа, сформулированного Мопертюи 15 апреля 1744 г. в Парижской Академии наук и опубликованного в «Мемуарах» за тот же год. Подробное изложение принципа и его приложение к задаче удара было доложено в Берлинской академии наук в 1746 г. и опубликовано в трудах этой академии в 1748 г. под заголовком «Законы движения и покоя, выведенные из метафизического принципа» [250]. Фрагмент этой статьи, разъясняющий механикоматематическое содержание принципа, приведен в «Трудах Мопертюи» [252, Т. 4 , с. 31-42].

Мопертюи определяет инерцию как силу, необходимую для сохранения состояния (покоя или движения) тел, пропорциональную количеству содержащейся в них материи. «Непроницаемость тел и их инерция приводят к необходимости установления некоторых законов для согласования этих двух свойств, в каждый момент противоположных одно другому в Природе» [252, Т. 4, с. 31].

Далее формулируется задача о прямом центральном ударе «совершенно твердых» и «совершенно упругих» шаров, в которой по известным скоростям шаров до удара необходимо найти их скорости после удара. «Совершенно твердые тела таковы, что их части неразделимы и несгибаемы и, следовательно, их формы неизменны». «Совершенно упругие» тела (по Мопертюи) ныне называются абсолютно упругими. По предположению автора, твердые тела после удара должны двигаться с общей (одинаковой) скорость-о, что же касается упругих тел, то у них одинаковой должна быть относительная скорость до и после удара. Следует обратить внимание на то, что рассматриваемые Мопертюи тела достаточно нереальны, поэтому полученные им далее законы представляют только теоретический интерес.
«Общий принцип» состоит в следующем: «Когда в Природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим из возможных. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на проходимый ими путь» $[252$, Т. 4 , с. 36$]$.

Рассматривая удар двигающихся в одну сторону друг за другом со скоростями $a$ и $b(a>b)$ твердых шаров $A$ и $B$, Мопертюи считает,
${ }^{1}$ Аналогичную идею можно увидеть в «Динамике» Даламбера.

что тело $A$, двигаясь до удара со скоростью $a$, пройдет путь, пропорциональный $a$; двигаясь после удара со скоростью $x$, оно пройдет путь, пропорциональный $x$. Таким образом, изменение скорости ( $a-x$ ) и пути $(a-x)$ тела $A$, которые можно представить как перемещения тела $A$ «нематериальной плоскостью» назад со скоростью $a-x$ на расстояние $a-x$ и есть те изменения тела $A$, о которых идет речь в Общем принципе. Аналогичные изменения для тела $B$ будут $x-b$ и $x-b$, количеством действия для тел $A$ и $B$ будет сумма
\[
A(a-x)^{2}+B(x-b)^{2},
\]

величина которой должна быть минимальной. Дифференцируя по $x$ и приравнивая результат нулю, Мопертюи получает
\[
x=\frac{A a+B b}{A+B} .
\]

Для случая встречного движения тел
\[
x=\frac{A a-B b}{A+B} .
\]

Рассматривая удар двух упругих тел (шаров), скорости которых после удара автор обозначает $\alpha$ и $\beta$ (для $A$ и $B$ соответственно), он вновь получает сумму изменений количеств действия тел
\[
A(a-\alpha)^{2}+B(b-\beta)^{2},
\]

из условия минимальности которой получаются выражения для послеударных скоростей $\alpha$ и $\beta$, как в случае движения шаров в одну сторону, так и в случае встречного движения. Попутно рассматриваются и ситуации, когда одно из тел неподвижно до удара или когда оно является непреодолимым препятствием, то есть когда оно неподвижно не только до, но и после удара.

Статическую задачу о равновесии двух, лежащих на рычаге тел $A$ и $B$, Мопертюи формулирует нетрадиционным образом: найти точку $^{1} Z$ между телами, относительно которой они покоятся. Если считать, что расстояние между телами (мысленный рычаг) равно $c$, то нарушение равновесия тел приведет к их повороту вокруг точки $Z$,
${ }^{1} z$ — расстояние от тела $A$ до «точки равновесия» $Z$.

то есть к перемещению по дугам радиуса $z$ (для тела $A$ ) и $c-z$ (для тела $B$ ). Скорости этих малых перемещений будут также пропорциональны радиусам, и количество действия тел $A$ и $B$ будет представлено суммой
\[
A z^{2}+B(c-z)^{2},
\]

условие минимальности которой и дает искомое выражение
\[
z=\frac{B c}{A+B} .
\]

Мопертюи демонстрирует свой принцип наименьшего количества действия, как некогда Декарт и Гюйгенс — закон сохранения количества движения, на примере задачи об ударе тел. Для подтверждения справедливости своего принципа он показывает, что как количество движения, так и «живые силы» тел до и после удара сохраняются, то есть эти законы сохранения являются следствием его принципа. Для случая равновесия тел принцип Мопертюи идейно примыкает к принципу виртуальных скоростей И. Бернулли. Но еще более убедительным подтверждением справедливости нового принципа оказалась, вышедшая в конце того же 1744 г., статья ${ }^{1}$ Эйлера «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов» [14].

Пользуясь современными обозначениями ( $m$ — масса, $v-$ скорость, $d s$ — элемент дуги траектории), суть принципа, сформулированного и используемого Эйлером для решения задач о падении тел, сводится к следующему: «…я утверждаю, что линия, описываемая телом, будет такова, что среди всех других линий, содержащихся между теми же пределами, у нее будєт минимум $\int m v d s$ или, так как $m$ постоянна, $\int v s d »[14$, с. 31$]$.

Эйлер иллюстрирует свой принцип, к которому, в отличие от Мопертюи, он пришел не из теологических соображений, а в итоге обобщения результатов решения изопєриметрических задач механики, на конкретных примерах движения точки в поле параллельных и центральных сил. Он отмечает, что выражение принципа, полученное из
${ }^{1}$ Статья была откликом на вопрос Д. Бернулли о возможности решения задачи центральных сил методом изопериметрсв. Она была опубликована как приложение к книге Эйлера «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи …».

количества движения, можно трансформировать к виду, следующему из понятия «живых сил». Действительно, заменяя $d s$ выражением $v d t$, получим
\[
\int v d s=\int v^{2} d t
\]
«так что для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей. Таким образом, ни те, кто полагает, что силы следует оценивать по самим скоростям, ни те, кто — по квадратам скоростей, не найдут здесь ничего неприемлемого» [14, с. 31-32]. Так Эйлер откликается на спор о мерах движения.

По-видимому, Мопертюи и Эйлер пришли к принципу ${ }^{1}$ каждый своим путем. В форме Мопертюи он применим для конечных изменений скорости, в форме Эйлера он охватывает непрерывные движения. Принимая во внимание необычность принципа, его универсальность и научный авторитет его создателей, легко предположить, что он быстро привлек внимание ученых. Начавшаяся в 1750 г. дискуссия ${ }^{2}$, в которой активно участвовали Эйлер, Даламбер, Вольтер, Лагранж и другие, затянулась на несколько десятилетий. Для механики, для развития вариационных методов она оказалась чрезвычайно плодотворной. Она позволила выработать новый взгляд єа физическую сущность законов природы, придала импульс развитию нового математического аппарата — вариационного исчисления и сформировала новый путь построения классической механики в работах Лагранжа, Гамильтона, Якоби, Гаусса. Эта траектория развития механики имела своим истоком законы и принципы Галилея, Декарта, Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, Эйлера, Мопертюи, и ее математическая реализация была адекватна формированию в XVIII-XIX вв. новых разделов математики.

Однако в судьбе самого Мопертюи эта дискуссия сыграла трагическую роль. Эйлер в своих последующих выступлениях по поводу принципа наименьшего действия неизменно подчеркивал идейный приоритет Мопертюи и отмечал его выдающиеся заслуги ${ }^{3}$. Выступления же Кенига, Вольтера, Дарси и некоторых других современников носили
1 Эйлер не дал своему принципу особого названия.
${ }^{2}$ Началом послужило выступление против Мопертюи и его принципа профессора Гаагского университета Самуела Кенига, утверждавшего, что Мопертюи воспользовался принципом, ранее открытым Мальбраншем, Гравесандом, Лейбницем и Вольфом.
${ }^{3}$ Статьи Эйлера [14, с. 56-108].

вызывающий и оскорбительный характер. Это отразилось на состоянии здоровья Мопертюи. В 1756 г. он переехал из Берлина во Францию, и состояние его здоровья стало улучшаться. В сентябре 1758 г. он решил навестить Базель, но дорога оказалась слишком тяжелой, болезнь обострилась, «… и он там скончался ${ }^{1}$ в окружении семейства Бернулли, которое до конца продемонстэировало ему свою самую нежную привязанность и благодарную преданность» [260, с. 309].