§ 3. Что такое сила?

Чтобы пользоваться законами Ньютона, мы должны иметь какую-то формулу для сил; ведь эти законы говорят нам: подумайте о силах. Если тело ускоряется, стало быть, на него что-то действует. А как найти это «что-то»? Нашей программой на будущее должно быть отыскание законов для сил. Некоторые из таких законов были найдены самим Ньютоном. Например, формула для силы тяготения. Часть сведений о силах другого рода содержится в Третьем законе, который утверждает равенство сил действия и противодействия, но об этом более подробно пойдет речь в следующей главе.

Продолжим наш предыдущий пример. Что за силы действуют на тело вблизи поверхности Земли? Это — сила тяжести, направленная вертикально вниз, пропорциональная массе тела и для высот, много меньших, чем радиус Земли , почти не зависящая от высоты; она равна , где  — так называемое ускорение силы тяжести. В горизонтальном направлении тело по-прежнему будет двигаться с постоянной скоростью, однако движение в вертикальном направлении более интересно. По Второму закону Ньютона

                                                           (9.9)

После сокращения массы  получаем, что ускорение в направлении  постоянно и равно . Это хорошо известное движение свободно падающего тела, которое описывается уравнениями

                                                     (9.10)

Рассмотрим другой пример. Представим, что мы смогли создать устройство (фиг. 9.3), в котором сила прямо пропорциональна отклонению от положения равновесия и направлена противоположно ему, — это пружина с грузиком. Действительно, поскольку сила тяжести компенсируется начальным натяжением пружины, то имеет смысл говорить только об избыточной силе. Если потянуть грузик вниз, то пружина растянется и потянет его вверх, если же толкать грузик вверх, то пружина сожмется и будет толкать его вниз. При этом все устроено таким образом, что чем больше сила и чем сильнее мы оттягиваем грузик вниз, тем больше растягивается пружина и тем сильнее она тянет его вверх, и наоборот. Наблюдая за работой этого устройства, мы видим довольно интересное движение: вверх — вниз, вверх — вниз... Возникает вопрос, могут ли уравнения Ньютона правильно описать его? Если применить закон Ньютона (9.7) для такого периодического осциллятора, то получим следующее уравнение:

,                                                                      (9.11)

т. е. здесь мы встречаемся с таким положением, когда компонента скорости изменяется с быстротой, пропорциональной . Нет смысла сейчас вводить многочисленные константы; в целях простоты предположим, что либо изменился масштаб времени, либо что-то произошло с другими единицами измерения, словом, они выбраны так, что  равно единице. Итак, будем пытаться решать уравнение

                                                         (9.12)

Чтобы пойти дальше, нужно сначала разобраться в том, что такое ; то, что это быстрота изменения положения, нам, разумеется, уже известно.

Фигура 9.3. Грузик на пружинке.