§ 3. Импульс все-таки сохраняется!

Можно экспериментально проверить наши предположения о том, что, во-первых, покоящиеся два тела с равной массой, разорванные взрывом, полетят в разные стороны с равной скоростью и, во-вторых, что два тела, обладающие равными скоростями и массами, при соударении и слипании останавливаются. Такую проверку можно сделать с помощью замечательного устройства — воздушного желоба (фиг. 10.1). В этом устройстве нет никаких трущихся деталей — вопрос, который очень беспокоил Галилея. Он не мог поставить эксперимента со скользящими телами, ибо они не скользили свободно, но с помощью чудесного желоба мы можем теперь избавиться от трения. Наши тела будут лететь без помех, а скорость их, согласно предвидению Галилея, будет оставаться постоянной. Ото достигается тем, что тело поддерживается воздушной подушкой, а поскольку трение о воздух очень мало, то тело планирует практически с постоянной скоростью, если на него но действуют никакие силы. Возьмем сначала два скользящих бруска, вес или массы которых с большой точностью равны друг другу (практически измеряется вес, но он, как вы знаете, пропорционален массе), и поместим между ними небольшой взрыватель в закрытом цилиндре (фиг. 10.2). Всю эту систему устанавливаем в центре желоба и электрической искрой поджигаем взрыватель. Что же произойдет? Если массы брусков одинаковы, то они, разлетевшись в стороны, одновременно достигнут концов желоба. Там они отскакивают от ограничителей, сталкиваются и слипаются в центре, точно в том же месте, откуда разлетелись (фиг. 10.3). Это интересный опыт. И в действительности происходит все так, как мы рассказали.

Фигура 10.1. Воздушный желоб (вид с торца).

Фигура 10.2. Продольный разрез скользящего бруска, скрепленного со взрывным цилиндром.

Фигура 10.3 Схема эксперимента с равными массами.

Теперь па очереди проблема посложнее. Допустим, мы имеем две массы, причем одна движется со скоростью у, а другая стоит на месте. Затем первая ударяет по второй и они слипаются. Что произойдет дальше? Образуется одно тело с массой , которое как-то будет двигаться. Но с какой скоростью? Вот в чем вопрос. Чтобы ответить на него, предположим, что мы едем вдоль желоба на автомобиле. Все законы физики должны при этом выглядеть точно так же, как и прежде, когда мы стояли на месте. Мы начали с того, что если столкнуть два тела с равными массами и одинаковыми скоростями  то после слипания они останавливаются. А теперь представьте, что в это время мы катим на автомобиле со скоростью . Какую же картину мы увидим? Ясно, что одно из тел, поскольку оно все время летит рядом с автомобилем, будет казаться нам неподвижным. Второе же, которое движется навстречу со скоростью  покажется нам несущимся с удвоенной скоростью  (фиг. 10.4). Наконец, образовавшееся после соударения и слипания тело будет казаться нам летящим со скоростью . Отсюда мы делаем вывод, что если тело, летящее со скоростью  ударяется о покоящееся тело той же массы и прилипает к нему, то образовавшееся тело будет двигаться со скоростью  или (что математически то же самое) тело со скоростью , ударяясь о покоящееся тело тон же массы и прилипая к нему, образует тело, движущееся со скоростью . Заметьте, что если умножить массы тел на их скорости и сложить их, то получим одинаковый результат как до столкновения , так и после . Вот как обстоит дело, если тело, обладающее скоростью , столкнется с телом, находящимся в покое.

Фигура 10.4. Неупругое соударение равных масс.

Точно таким же образом можно определить, что произойдет, когда сталкиваются два одинаковых тела, каждое из которых движется с произвольной скоростью.

Пусть одно тело летит со скоростью , а другое — со скоростью  в том же направлении . Какова будет их скорость после соударения? Давайте снова сядем в машину и поедем, скажем, со скоростью . Тогда одно из тел будет казаться нам стоящим на месте, а второе — налетающим на него со скоростью . Эта ситуация уже знакома нам, и мы знаем, что после соударения скорость нового тела по отношению к машине будет равна . Что же касается действительной скорости относительно земли, то ее можно найти, прибавив скорость автомобиля:  или  (фиг. 10.5). Обратите внимание, что снова

                                        (10.6)

Фигура 10.5. Другой случай неупругого соударения равных масс.

Таким образом, принцип относительности Галилея помогает нам разобраться в любом соударении равных масс. До сих пор мы рассматривали движение в одном измерении, однако на основе его становится ясным многое из того, что будет происходить в более сложных случаях соударения: нужно только пустить автомобиль не вдоль направления движения тел, а под каким-то углом. Принцип остается тем же самым, хотя детали несколько усложняются.

Чтобы экспериментально проверить, действительно ли тело, летящее со скоростью  после столкновения с покоящимся телом той же массы, образует новое тело, летящее со скоростью , проделаем на нашей замечательной установке следующий опыт. Поместим в желоб три тела с одинаковыми массами, два из которых соединены цилиндром со взрывателем, а третье находится вблизи одного из них, хотя и несколько отделено от него. Оно снабжено клейким амортизатором, так что прилипает к тому телу, которое ударяет его. В первое мгновение после взрыва мы имеем два объекта с массами , движущимися со скоростью  каждое. В последующее мгновение одно из тел сталкивается с третьим и образует новое тело с массой , которое, как мы полагаем, должно двигаться со скоростью . Но как проверить, что скорость его действительно ? Для этого мы вначале установим тела таким образом, чтобы расстояния до концов желоба относились как 2:1, так что первое тело, которое продолжает двигаться со скоростью , должно пролететь за тот же промежуток времени вдвое большее расстояние, чем скрепившиеся два других тела (с учетом, конечно, того малого расстояния , которое второе тело прошло до столкновения с третьим). Если мы правы, то массы  и  должны достичь концов желоба одновременно; так оно и происходит на самом деле (фиг. 10.6).

Фигура 10.6. Экспериментальная проверка того факта, что масса , ударяя со скоростью  массу , образует тело с массой  и скоростью .

Следующая проблема, которую мы должны решить: что получится, если тела имеют разные массы. Давайте возьмем массы  и  и устроим между ними взрыв. Что произойдет тогда? С какой скоростью полетит масса , если масса  летит со скоростью ? Фактически нам нужно повторить только что проделанный эксперимент, но с пулевым зазором между вторым и третьим телом. Разумеется, что при этом мы получим тот же результат — скорости тел с массами  и  должны быть со ответственно равны  и . Итак, при разлете тел с массами  и  получается тот же результат, что и при симметричном разлете двух тел с массами  с последующим неупругим соударением одного из этих тел с третьим, масса которого тоже равна . Более того, отразившись от концов, каждое из этих тел будет лететь с почти той же скоростью, но, конечно, в обратном направлении, и после неупругого соударения они останавливаются.

Перейдем теперь к следующему вопросу. Что произойдет, если тело с массой  и скоростью  столкнется с покоящимся телом с массой ? Воспользовавшись принципом относительности Галилея, можно легко ответить на этот вопрос. Попросту говоря, нам нужно опять садиться в машину, идущую со скоростью  (фиг. 10.7), и наблюдать за только что описанным процессом. Скорости, которые мы при этом увидим, будут равны

Фигура 10.7. Неупругое соударение между телами с массами  и

После соударения масса  покажется нам движущейся со скоростью . Таким образом, мы получили, что отношение скоростей до и после соударения равно 3:1, т. е. образовавшееся тело с массой  будет двигаться в три раза медленней. И в этом случае снова выполняется общее правило: сумма произведений массы на скорость остается той же как до, так и после соударения:  равно . Вы видите, как постепенно шаг за шагом устанавливается закон сохранения импульса.

Итак, мы рассмотрели столкновение одного тела с двумя. Используя те же рассуждения, можно предсказать результаты столкновения одного тела с тремя телами, двух тел с тремя телами и т. д. На фиг. 10.8 как раз показан случай разлета масс  и  из состояния покоя.

Фигура 10.8. Разлет тел с массами  и .

В каждом из этих случаев выполняется одно и то же правило: масса первого тела, умноженная на его скорость, плюс масса второго тела, умноженная на его скорость, равны произведению полной массы на скорость ее движения. Все это — примеры сохранения импульса. Итак, начав с простого случая симметричных равных масс, мы установили закон сохранения для более сложных случаев. В сущности это можно сделать для любого рационального отношения масс, а поскольку любое число может быть со сколь угодно большой точностью заменено рациональным, то закон сохранения импульса справедлив для любых масс.