Глава 13. Работа и потенциальная энергия (I)

§ 1 Работа падающего тела

В гл. 4 мы разобрали вопрос о сохранении энергии. При этом законами Ньютона мы не пользовались. Интересно теперь посмотреть, как возникает сохранение энергии из-за того, что действуют эти законы. Для ясности мы начнем с самых простых примеров и постепенно будем их усложнять.

Простейший пример сохранения энергии — это тело, падающее вниз, т. е. тело, движущееся только в вертикальном направлении. Если оно меняет свою высоту под влиянием только тяжести, то из-за движения оно обладает кинетической энергией  (или ) Кроме того, у него есть потенциальная энергия  (сокращенно , или ). Их сумма постоянна:

,

или

.                         (13.1)

Мы хотим показать, что это утверждение правильно. Что значит доказать его правильность? Второй закон Ньютона говорит, как движется тело, как со временем изменяется его скорость (а именно, что в падении она растет пропорционально времени, а высота падения меняется как квадрат времени). Если поэтому отмерять высоту от нулевой точки (где тело покоилось), то не будет ничего странного в том, что она окажется равной квадрату скорости, умноженному на какие-то постоянные. Однако все же рассмотрим это повнимательней.

Попробуем вычислить прямо из второго закона Ньютона, как обязана меняться кинетическая энергия; мы продифференцируем кинетическую энергию по времени и потом применим закон Ньютона. Дифференцируя  по времени, получаем

,                               (13.2)

потому что  считается  постоянной. Но по второму закону Ньютона  так что

.                                 (13.3)

В общем случае получается , но для нашего одномерного случая лучше оставить просто произведение силы на скорость.

Сила в нашем простом примере постоянна, равна —  и направлена вниз (знак минус именно это и показывает), а скорость есть степень изменения положения по вертикали (высоты ) со временем. Поэтому степень изменения кинетической энергии равна . Взгляните: что за чудо! Перед нами снова чья-то скорость изменения — скорость изменения со временем величины ! Поэтому выходит, что с течением времени изменения в кинетической энергии и в величине  остаются равными и противоположными, так что их сумма остается неизменной. Что и требовалось доказать.

Мы только что показали, пользуясь Вторым законом Ньютона, что для постоянных сил энергия сохраняется, если только прибавлять потенциальную энергию  к кинетической . Исследуем этот вопрос дальше; посмотрим, можно ли его обобщить, можно ли еще продвинуться в его понимании. Действует ли этот закон только для свободно падающих тел или является более общим? Из того, что мы знаем о сохранении энергии, можно ожидать, что он будет верен для тела, движущегося из одной точки в другую по кривой без трения и под действием одной лишь тяжести (фиг. 13.1). Когда тело, начав двигаться с высоты , достигает высоты , то опять должна быть верной та же формула, хотя бы скорость уже не была направлена по вертикали. Нам надо понять, почему она все еще правильна. Проведем тот же анализ; отыщем скорость изменения кинетической энергии во времени. Опять будет получаться  — скорость изменения величины импульса, т. е. сила в направлении движения — касательная сила  Итак,

Фигура 13.1. Тело, движущееся под действием тяжести по кривой без трения.

Скорость—это скорость изменения расстояния вдоль кривой , а касательная сила  теперь оказывается меньше  в отношении, равном отношению расстояния  вдоль пути к вертикальному расстоянию . Иными словами,

так что

( выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину  равную скорости изменения .

Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохранение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые полезные понятия.

Во-первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергии в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения, равна

.

Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена:

.                         (13.4)

Но ведь  — это сила , действующая на тело в направлении . Значит, в правой части формулы (13.4) стоит . Призвав на помощь векторный анализ, вспоминаем, что это . Итак,

.                               (13.5)

А можно это вывести и быстрей: если  и  — два вектора, зависящих от времени, то производная от  равна

.                             (13.6)

Подставим сюда :

.                         (13.7)

Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, то различным величинам в этих уравнениях присвоены разные имена:  называется, как известно, кинетической энергией;  называется мощностью: сила, действующая на тело, умноженная («скалярно») на скорость тела,— это мощность, сообщаемая телу этой силой. Получается великолепная теорема: скорость изменения кинетической энергии тела равна мощности, затраченной силами, действующими на тело.

Но для изучения сохранения энергии анализ следует продолжить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время . Умножив обе части уравнения (13.7) на , найдем, что изменение кинетической энергии равно силе, скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния

                               (13.8)

А интегрируя, получаем

.                           (13.9)

Что это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траектории ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в  при переходе от одной точки кривой к другой равно интегралу от компоненты силы вдоль кривой, умноженной на дифференциал смещения  (интегрирование от первой точки до второй). И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над телом. Немедленно мы обнаруживаем, что мощность — это работа за секунду. И еще мы замечаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения. В нашем первом простом примере участвовали только вертикальные силы с одной-единственной составляющей  равной . В этих обстоятельствах совершенно неважно, как тело движется, прямо вниз или но параболе, все равно от  (которое можно написать как ) остается только , потому что прочие составляющие силы — нули. Значит, в этом случае

,                            (13.10)

так что в потенциальную энергию входит только высота, с которой тело падает.

Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется в ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстояние, то работу измеряют в единицах ньютон метр, но большинство людей этого названия не любит, предпочитая название . Это только другое слово, а единица та же. Итак, работу измеряют в джоулях. Мощность же — в джоулях в секунду; эту единицу называют . Если умножить ватты на время, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших квартирах (в техническом смысле), оценивается в ваттах, умноженных на время. Например, киловатт-час — это , т.е. .

Приведем еще несколько примеров работы и сохранения энергии. Рассмотрим тело, которое вначале имеет кинетическую энергию и быстро двигается, скользя по полу с трением. Оно останавливается. В начале кинетическая энергия не равна нулю, а в конце она равна нулю; существует работа, произведенная силами, потому что раз есть трение, то есть и составляющая силы в направлении, противоположном направлению движения, и энергия постепенно теряется. Теперь рассмотрим массу на конце маятника, который качается в вертикальной плоскости в поле тяжести без трения. Здесь наблюдается нечто другое, потому что, когда масса опускается, сила направлена тоже вниз, а когда подымается, сила направлена в обратную сторону, так что у  на спуске и па подъеме разные знаки. В соответствующих точках спуска и подъема значения  равны по величине, но противоположны по знаку, так что в итоге интеграл есть чистый нуль. Поэтому кинетическая энергия в конце спуска в точности такая же, какой она была в начале подъема; это и есть принцип сохранения энергии. (Заметьте, что в присутствии сил трения сохранение энергии на первый взгляд не выполняется. Значит, нужно искать другую форму энергии. И действительно, оказывается, что когда два тела трутся друг о друга, то возникает тепло, мы же сейчас делаем вид, что об этом не знаем.)