ГЛАВА 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ

§ 11.1. Свободные колебания в контуре

Функции резонансных фильтров, выделяющих необходимый спектр частот при прохождении сигнала в устройствах радиосвязи, выполняют колебательные контуры.

Колебательным контуром называется замкнутая цепь, состоящая из катушки индуктивности L, конденсатора С, малого активного сопротивления и обладающая резонансными свойствами на определенной частоте (рис. 11.1, а).

Колебательный у которого сопротивление ничтожно мало , считают идеальным. При прохождении тока в идеальном контуре энергия не теряется.

Рассмотрим случай, когда колебания в контуре создаются без ломощи переменной ЭДС. Такие колебания называются свободными. Для возбуждения этих колебаний в контуре можно воспользоваться схемой, представленной на рис. 11.1. б.

Предположим, что контур идеален, т. е. .

Если конденсатор с емкостью С идеального контура зарядить (например, установить переключатель в положение 1) до напряжения батареи Е, то в нем запасается энергия электрического поля

При замыкании заряженного конденсатора С на катушку индуктивности (переключатель в положении 2) энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, переходит в энергию магнитного поля. Через катушку протекает нарастающий ток, создающий ЭДС самоиндукцни, которая препятствует нарастанию тока.

При увеличении тока в катушке (а следовательно, и в контуре) конденсатор разряжается и напряжение на нем «с падает. Таким образом, нарастание тока в контуре соответствует спаду напряжения на конденсаторе. В момент времени (рис. 11.2) напряжение становится равным нулю. При этом ток через катушку (контур) максимален, вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки , так как контур по условию идеален. Следовательно,

Рис. 11.1.

Рис. 11.2.

Энергия магнитного поля катушки определяется выражением

где — ток контура в момент , соответствующий его максимальному значению.

Следовательно, равенство (11.2) с учетом выражений (11.1) и (11.3) можно записать так:

После момента времени энергия магнитного поля снова переходит в энергию электрического поля и ток катушки убывает.

ЭДС самоиндукции направлена теперь таким образом, что препятствует убыванию тока. Конденсатор С заряжается. Напряжение на его обкладках возрастает, но имеет полярность, противоположную первоначальной.

В момент времени вся энергия магнитного поля снова переходит в энергию электрического поля. Напряжение на конденсаторе достигает максимального значения Е, а ток в контуре прекращается.

В течение времени конденсатор разряжается и напряжение на нем падает. Ток в контуре возрастает, но в направлении, противоположном первоначальному. С момента времени процесс колебаний повторяется и носит гармонический характер. Так как потерь энергии в идеальном контуре не происходит, то возникшие в нем свободные гармонические колебания являются незатухающими.

Частоту свободных колебаний в контуре можно определить из следующих соображений.

При свободных колебаниях к элементам контура (катушка индуктивности и конденсатор) приложено одно и то же напряжение и через них протекает один и тот же переменный ток .

Следовательно, емкостное и индуктивное сопротивления элементов контура на частоте также должны быть равны между собой, т. е.

где — круговая частота свободных колебаний.

Из этого равенства получим

или

Время за которое протекает один цикл колебаний напряжения и тока в контуре, т. е. период свободных колебаний, является величиной, обратной частоте:

Отсюда с учетом выражения (11.7) будем иметь

Реактивное сопротивление элементов контура на частоте называют характеристическим или волновым сопротивлением контура . Учитывая выражение (11.6), получим

(11.10)

Теперь предположим, что свободные колебания за счет энергии, запасенной первоначально в конденсаторе, происходят в реальном контуре, т. е. активное сопротивление контура не равно нулю.

Рис. 11.3.

В этом случае за счет потерь энергии на активном сопротивлении амплитуда напряжения и тока в контуре уменьшается по экспоненциальному закону, определяемому выражениями (рис. 11.3)

(11.11)

где - максимальные значения напряжения и тока в начале колебаний; - амплитуды напряжения и тока в произвольный момент времени; — коэффициент затухания колебаний, который можно определить из формулы

(11.13)

Затухание колебаний оценивают также с помощью логарифмического декремента затухания , равного натуральному логарифму отношения амплитуд напряжения (тока), разделенных во времени на период , т. е.

Подставляя в формулу (11.14) выражения для из (11.9) и (11.12) и учитывая (11.10), получим

(11.15)

Чем меньше отношение , тем медленнее затухают свободные колебания в контуре. Величина, обратная d, называется добротностью контура:

(11.16)

Добротность является важной характеристикой колебательного контура, определяющей его качество. Добротность -контуров, применяемых в системах радиосвязи, лежит в пределах 20—300.

Рис. 11.4.

В контурах с очень малой добротностью конденсатор не перезаряжается, и свободные колебания не возникают. Такой процесс, называемый апериодическим, будет происходить, если выполняется неравенство

(11.17)

Учитывая выражение (11.16), из (11.17) найдем добротность контура, при которой возникает апериодический процесс:

Кривые изменения напряжения и тока в контуре во время апериодического процесса приведены на рис. 11.4.

Рис. 11.5.

С физической точки зрения апериодический процесс в контуре означает, что электрическая энергия, накопленная в конденсаторе, за время его разряда полностью переходит в тепловую.

Чтобы получить незатухающие колебания в реальном колебательном контуре, необходимо для восполнения потерь подключить к контуру источник переменной ЭДС.

Колебания в контуре, возникшие под действием подключенного к нему источника переменной ЭДС, называются вынужденными. Если источник ЭДС включают последовательно с катушкой индуктивности и конденсатором, то образованный таким образом контур называют последовательным (рис. 11.5, а).

Контур, в котором источник переменной ЭДС включен параллельно с катушкой и конденсатором, называется параллельным (рис. 11.5, б).