§ 11.4. Вынужденные колебания в связанных контурах

Два контура называются связанными, если между ними существует электрическая связь, благодаря которой часть энергии из первого контура может передаваться во второй и наоборот (рис. 11.11). Контур, отдающий энергию, называется первичным, а потребляющий ее от связанного с ним первичного контура — вторичным. Различают следующие виды связи: трансформаторную, автотрансфорйатурную (рис. 11.11, б) и емкостную (рис. 11.11, в, г).

При трансформаторной связи (рис. 11.11, а) протекающий в первичном контуре переменный ток создает в катушке индуктивности магнитный поток, который наводит ЭДС взаимоиндукции в катушке индуктивности вторичного контура.

ЭДС взаимоиндукции

(11.63)

где М — коэффициент взаимоиндукции; — сопротивление связи.

Рис. 11.12.

Под действием ЭДС во вторичном контуре протекает ток , который наводит в катушке L, первичного контура ЭДС взаимоиндукции

(11.64)

Предположим, что каждый из контуров настроен в резонанс на частоту сор источника ЭДС (такой резонанс называется полным). Тогда сопротивления контуров имеют активный характер и ток , протекающий в первичном контуре, совпадает по фазе с напряжением . ЭДС взаимоиндукции отстает по фазе от тока на 90°. Ток совпадает по фазе с ЭДС и равен

(11.65)

ЭДС отстает по фазе от тока на 90° и равна

(11.66)

Векторная диаграмма токов и напряжений связанных контуров Для рассмотренного случая приведена на рис. 11.12, а. Из временной диаграммы рис. 11.12, а видно, что ЭДС направлена в сторону, противоположную направлению ЭДС Ей Следовательно, в первичном контуре при резонансе будет определяться выражением

С учетом (11.66) выражение (11.67) можно записать как

(11.68)

Подставляя (11.68) в выражение (11.65), будем иметь

Из выражения (11.68) можно сделать вывод, что при резонансе обоих контуров влияние ЭДС на ток можно рассматривать как внесение в цепь первичного контура активного сопротивления

Таким образом, систему связанных контуров, настроенных в полный резонанс, можно представить как эквивалентный контур, изображенный на рис. 11.13.

Тогда мощность, выделяемая во вторичном контуре, определяется из выражения

(11.70)

Записав выражение для мощности, расходуемой в первичном контуре:

найдем КПД системы связанных контуров:

(11.71)

Настройка контуров в полный резонанс производится в такой последовательности. Сначала при разомкнутом вторичном контуре (связь отсутствует) настраивают в резонанс первичный контур, создавая . Очевидно, условием резонанса несвязанного первичного контура является . Затем осуществляют связь между контурами и настраивают вторичный контур. Так как при реактивное сопротивление не вносится во вторичный контур, то условием резонанса вторичного контура будет . При поступает полный резонанс в связанных контурах.

Рис. 11.13.

Если вторичный контур не настроен в резонанс с частотой источника , то вид векторных диаграмм зависит от характера сопротивления вторичного контура.

На рис. 11.12, б приведена векторная Диаграмма в случае индуктивного сопротивления вторичного контура. На векторной диаграмме ток отстает по фазе от ЭДС на некоторый угол . Вектор можно разложить на две составляющие — активную и реактивную , а влияние на рассматривать как внесение в цепь первичного контура комплексного сопротивления имеющего активную и реактивную составляющие.

Найдем значение сопротивления

Записав , где - сопротивление вторичного контура, активная и реактивная составляющая , с учетом (11.63), будем иметь

Умножив числитель и знаменатель выражения на сопряженное комплексное число , получим выражение

в котором первый член представляет собой активную составляющую вносимого сопротивления

(11.73)

а второй — реактивную составляющую

(11.74)

Из выражения (11.72) следует, что при индуктивном сопротивлении вторичного контура вносимое им сопротивление в цепь первичного контура имеет емкостный характер.

Внесение сопротивления в первичный контур нарушает условие резонанса в нем на частоте . Теперь резонанс, называемый частным, наступает при условии

или

(11.75)

где — реактивное сопротивление первичного контура.

Заменяя в (11.75) его выражением из (11.74), будем иметь

(11.76)

Полагая, что контуры имеют одинаковые параметры можно записать

(11.77)

Тогда условие частного резонанса (11.76) будет иметь вид

(11.78)

Полагая теперь, что при расстройке контура выполняется неравенство , выражение (11.78) можно записать как

или

(11.79)

Разделив левую и правую части выражения (11.79) на и учитывая, что , получим уравнение

(11.80)

Решая уравнение (11.80) относительно , найдем две резонансные частоты первичного контура, обусловленные внесением в цепь контура сопротивления:

(11.81)

где — коэффициент связи, характеризующий степень взаимного влияния двух контуров.

Из формул (11.81) и (11.82) следует, что резонансная частота лежит ниже, а частота — выше собственной частоты контура

Определим характер резонансных кривых системы двух связанных одинаковых контуров. На резонансной частоте этих контуров будем иметь . Тогда ток можно определить из выражения (11.69). При увеличении коэффициента связи, например за счет увеличения М, ток сначала возрастает, достигая максимального значения , а затем уменьшается. Значение коэффициента связи при называется критическим.

Математически можно доказать, что максимум тока в формуле (11.69) получается при условии

(11.83)

При этом же условии достигается и максимальное значение выделяемой во вторичном контуре мощности. Из формулы (11.70) имеем

Максимальный коэффициент полезного действия найдем из формулы (11.71) с учетом равенства (11.83):

На частоте , отличной от резонансной, при значениях коэффициента связи, меньших критического значения , вносимое реактивное сопротивление мало и не может скомпенсировать собственное реактивное сопротивление контура X. Поэтому резонансные кривые в данном случае соответствуют кривым 1 и 2 (рис. 11.14) и имеют такой же вид, как и для одиночного контура. Резонансная кривая при соответствует кривой 3.

Рис. 11.14.

резонансные кривые связанных контуров соответствуют двугорбым кривым 4, 5 на рис. 11.14, у которых ток на частоте меньше своего максимального значения , а на частотах и равен значению Действительно, на частоте при условие (11.83) не выполняется, поэтому

На частотах частного резонанса и активная составляющая вносимого сопротивления согласно выражению (11.73) с учетом условия (11.78) равна собственному активному сопротивлению, т. е.

(11.84)

Так как , то можно записать при двугорбые резонансные кривые становятся несимметричными (рис. 11.15).

Рис. 11.15.

При емкостном характере собственного сопротивления вторичного контура ток контура опережает вектор ЭДС Векторная диаграмма для этого случая приведена на рис. 11.12, в, из которой видно, что вносимое в первичный контур сопротивление имеет индуктивный характер.

Условие частного резонанса (11.76), выведенного для случая индуктивного сопротивления вторичного контура, сохраняется и при емкостном характере сопротивления контура.

В пределах форма резонансных кривых контуров с трансформаторной связью приближается к прямоугольной, что позволяет получить высокую избирательность устройства связи при заданной полосе пропускания. Таким образом, связанные контуры можно использовать в качестве полосовых фильтров. Прямоугольность резонансной кривой оценивают с помощью коэффициента прямоугольности, равного отношению полосы пропускания к ширине резонансной кривой на уровне 0,1, т. е.

(11.85)

Кроме трансформаторной применяется автотрансформаторная и емкостная связь.

При автотрансформаторной связи (см. рис. 11.11, б) взаимодействие между контурами осуществляется с помощью общей катушки индуктивности . Напряжение , питающее вторичный контур, прямо пропорционально числу витков между точками катушки. Следовательно, с увеличением в связь между контурами возрастает.

При емкостной связи между контурами напряжение , питающее вторичный контур, зависит от емкости конденсатора связи. Емкостную связь можно разделить на внутреннюю и внешнюю. При внутренней (см. рис. 11.11, в) с уменьшением связь между контурами возрастает, так как в этом случае увеличивается сопротивление связи и, как следствие, напряжение .

При внешней связи (см. рис. 11.11, г), наоборот, связь возрастает с увеличением емкости конденсатора .

При разработке монтажных радиотехнических схем следует учитывать, что между близко расположенными катушками индуктивности может возникнуть паразитная связь, которая бывает индуктивной (трансформаторной) и емкостной. Для устранения индуктивной связи катушку экранируют от соседней металлическим экраном. Магнитное поле экранированной катушки не проникает за пределы экрана, так как этому препятствуют вихревые токн, создаваемые полем катушки. Однако близко расположенный экран может существенно изменить параметры катушки, в частности уменьшить добротность. Поэтому экраи располагают на расстоянии не меньше 5 мм от катушки.

Для устранения емкостной паразитной связи используют металлические экраны, заземленные на корпус схемы. При этом емкость связи заменяется двумя последовательно соединенными емкостями, общий вывод которых заземлен (рис. 11.16).

Рис. 11.16.