§ 11.2. Вынужденные колебания в последовательном контуре

Под действием переменной ЭДС в последовательном контуре протекает переменный ток

(11.18)

где

(11.19)

— полное сопротивление контура); — реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора. Полное реактивное сопротивление контура

(11.20)

Амплитуда тока в контуре определяется выражением

(11.21)

где

(11.22)

— модуль полного сопротивления.

По закону Кирхгофа, напряжение , приложенное к контуру, складывается из напряжения на конденсаторе , катушке индуктивности и активном сопротивлении . Амплитуды этих напряжений соответственно равны

(11.23)

Наглядное представление о характере изменений напряжений и токов в контуре может дать векторная диаграмма (рис. 11.6), построенная на основании следующих положений. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, на конденсаторе оно отстает от тока на 90°, а на индуктивности опережает ток тоже на 90°. Вектор напряжения Е равен геометрической сумме векторов .

При изменении частоты со источника переменной ЭДС, приложенного к контуру, меняется реактивное сопротивление X контура.

На низких частотах реактивное сопротивление контура имеет емкостный характер, потому что в формуле (11.19) можно пренебречь членом , а на высоких частотах — индуктивный, так как в этом случае можно пренебречь членом .

На некоторой частоте , называемой резонансной, реактивное сопротивление контура

(11.24)

а полное сопротивление в соотпетствии с формулой (11.19)

(11.25)

Тогда амплитуда резонансного тока в контуре будет максимальной

(11.26)

Идеальный последовательный контур при резонансе можно считать цепью, замкнутой накоротко.

Из уравнения (11.24) легко найти выражение для резонансной частоты

(11.27)

Сравнивая формулы (11.6) и (11.27), видим, что резонансная частота вынужденных колебаний в последовательном контуре равна частоте собственных колебаний, т. е.

(11.28)

Запишем уравнение (11.24) в виде равенства

(11.29)

Равенство (11.29) показывает, что при резонансе индуктивное сопротивление последовательного контура по величине равно емкостному.

Умножая левую и правую части равенства на ток , получим

(11.30)

или, учитывая выражения (11.23), будем иметь

(11.31)

Таким образом, при резонансе в последовательном контуре амплитуды напряжений на конденсаторе контура и катушке индуктивности равны между собой.

Рис. 11.6.

Разделив обе части равенства (11.31) на , с учетом выражений (11.16), (11.23) и (11.26) получим

(11.32)

Выражение (11.32) показывает, что напряжение на катушке индуктивности или конденсаторе последовательного контура при резонансе превышает в Q раз ЭДС источника вынужденных колебаний.

Рис. 11.7.

Векторная диаграмма напряжений и токов в последовательном контуре при резонансе приведена на рис. 11.7. Векторы напряжений равны по величине и противоположны по направлению. Последнее означает, что переменные напряжения сдвинуты по фазе друг относительно друга на 180°. Вектор напряжения Е совпадает по направлению с вектором тока .

Рис. 11.8.

Резонансные свойства последовательного контура часто оценивают с помощью коэффициента избирательности по току , показывающего, во сколько раз уменьшается ток в контуре при отклонении частоты на величину от резонансного значения .

Учитывая выражения (11.21), (11.22) и (11.26), можно записать

или, разделив числитель и знаменатель на , получаем

(11.34)

Подставляя в формулу (11.34) выражения для Q и из (11.16) и (11.27), находим

или после несложных преобразований

(11.35)

При небольших отклонениях частоты от резонансного значения можно записать

(11.36)

С учетом принятого допущения выражение (11.35) будет иметь вид

(11.37)

где — так называемая расстройка контура.

На основании выражения (11.37) можно построить резонансную кривую контура, характеризующую относительное изменение тока в контуре при его расстройке.

На рис. 11.8 приведено семейство резонансных кривых последовательного контура при различных значениях добротности Q. По этим кривым можно определить полосу пропускания контура , т. е. диапазон частот, в пределах которого ток в контуре превышает значение . Из рисунка видно, что полоса пропускания расширяется с уменьшением добротности. Действительно, положив в формуле и выразив , получаем

(11.38)