1.18. Частотный анализ реактивных схем

Для начала рассмотрим конденсатор, на который подается синусоидальное напряжение источника питания (рис. 1.47). Ток в схеме определяется следующим образом:

Из этого уравнения следует, что ток имеет амплитуду 7 и опережает входное напряжение по фазе на 90°. Если не принимать во внимание соотношение фаз, то

Рис. 1.47.

Рис. 1.48.

(Напомним, что ) Конденсатор ведет себя как резистор, сопротивление которого зависит от частоты и определяется выражением , и, кроме того, ток, протекающий через конденсатор, сдвинут по фазе на относительно напряжения (рис. 1.48). Например, через конденсатор емкостью , подключенный к силовой сети с напряжением 110 В (эффективное значение) и частотой 60 Гц, будет протекать ток, эффективная амплитуда которого определяется следующим образом: (эффективное значение).

Замечание: сейчас нам необходимо воспользоваться комплексными переменными; при желании вы можете пропустить математические выкладки, приводимые в последующих разделах, и принять на веру полученные результаты (они выделены в тексте). Не думайте, что подробные алгебраические преобразования, приводимые в этих разделах, необходимы для понимания всего остального материала книги. Это не так - глубокое знание математики похвально, но совсем не обязательно. Следующий раздел, пожалуй, наиболее труден для тех, у кого нет достаточной математической подготовки. Но пусть это вас не огорчает.

Определение напряжения и тока с помощью комплексных чисел.

Только что вы убедились в том, что в цепи переменного тока, работающей с синусоидальным сигналом некоторой частоты, возможен сдвиг по фазе между напряжением и током. Тем не менее если схема содержит только линейные элементы (резисторы, конденсаторы, индуктивности), то амплитуда токов на всех участках схемы пропорциональна амплитуде питающего напряжения.

В связи с этим можно попытаться найти некоторые общие выражения тока, напряжения и сопротивления и обобщить тем самым закон . Очевидно, что для того, чтобы определить ток в какой-либо точке схемы, недостаточно задать одно значение - дело в том, что ток характеризуется как амплитудой, так и сдвигом фазы.

Конечно, можно определять амплитуды и фазовые сдвиги напряжений и токов явно, например но оказывается, что проще это делать с помощью комплексных чисел. Вместо того чтобы тратить время и силы на сложение и вычитание синусоидальных функций, можно легко и просто складывать и вычитать комплексные числа. Так как действующие значения напряжения и тока представляют собой реальные количественные величины, изменяющиеся во времени, следует вывести правило для перевода реальных количественных величин в комплексное представление и наоборот. Напомним еще раз, что мы имеем дело с частотой синусоидального колебания , и сформулируем следующие правила:

1. Напряжение и ток представляются комплексными величинами U и I. Напряжение представляется комплексным числом . Напомним, что где

2. Для того чтобы получить выражение для действующего напряжения и тока, нужно умножить соответствующие комплексные представления на и выделить действительную часть. Это записывается следующим образом: Иначе говоря,

(В электронике символ j используется вместо принятого в алгебре для комплексной переменной символа , с тем чтобы избежать путаницы с током, который также обозначают символом i). Итак, в общем случае действующие напряжения и токи определяются следующим образом:

Например, комплексному напряжению соответствует реальное напряжение

Реактивное сопротивление конденсаторов и индуктивностей.

Принятое соглашение позволяет применять закон для схем, содержащих как резисторы, так и конденсаторы, и индуктивности. Определим реактивное сопротивление конденсатора и индуктивности. Нам известно, что . Так как в случае конденсатора справедливо выражение , получим

т. е. для конденсатора

- это реактивное сопротивление конденсатора на частоте со. Конденсатор емкостью , например, имеет реактивное сопротивление Ом на частоте 60 Гц и — Ом на частоте 1 МГц. Для постоянного тока реактивное сопротивление равно бесконечности.

Аналогичные рассуждения для индуктивности дают следующий результат:

Схема, содержащая только конденсаторы и индуктивности, всегда обладает мнимым импедансом; это значит, что напряжение и ток всегда сдвинуты по фазе друг относительно друга на -схема абсолютно реактивна. Если в схеме присутствуют резисторы, то импеданс имеет и действительную часть.

Под реактивным сопротивлением подразумевается при этом только мнимая часть импеданса.

Обобщенный закон Ома.

Соглашения, принятые для представления напряжений и токов, позволяют записать закон Ома в следующей простой форме:

означающей, что напряжение U, приложенное к схеме с импедансом Z, порождает ток I. Импеданс последовательно и параллельно соединенных элементов определяется по тем же правилам, что и сопротивление последовательно и параллельно соединенных резисторов:

(для последовательного соединения),

(для параллельного соединения).

И в заключение приведем формулы для определения импеданса резисторов, конденсаторов и индуктивностей:

Полученные зависимости позволяют анализировать любые схемы переменного тока с помощью методов, принятых для схем постоянного тока, а именно с помощью закона Ома и формул для последовательного и параллельного соединения элементов. Результаты, которые мы получили при анализе таких схем, как, например, делитель напряжения, сохраняют почти такой же вид. Так же как и для схем постоянного тока, для сложных разветвленных схем переменного тока справедливы законы Кирхгофа; отличие состоит в том, что вместо токов I и напряжений U здесь следует использовать их комплексные представления: сумма падений напряжения (комплексного) в замкнутом контуре равна нулю; сумма токов (комплексных), втекающих в узел, равна сумме токов (комплексных), вытекающих из него. Из последнего правила, как и в случае с цепями постоянного тока, вытекает, что ток (комплексный) в последовательной цепи всюду одинаков.

Упражнение 1.16. Используя формулы для импеданса параллельного и последовательного соединения элементов, выведите формулы (разд. 1.12) для емкости двух конденсаторов, соединенных (а) параллельно, (б) последовательно. Подсказка: допустим, что в каждом случае конденсаторы имеют емкость и . Запишите выражение для импеданса параллельно и последовательно соединенных элементов и приравняйте его импедансу конденсатора с емкостью С. Найдите С.

Попробуем воспользоваться рекомендованным методом для анализа простейшей цепи переменного тока, которая состоит из конденсатора, к которому приложено напряжение перменного тока. После этого кратко остановимся на вопросе о мощности в реактивных схемах (это будет последний кирпич в фундаменте наших знаний) и рассмотрим простую, но очень полезную схему -фильтра.

Представим себе, что к силовой сети с напряжением 110 В (эффективное значение) и частотой 60 Гц подключен конденсатор емкостью . Какой ток протекает при этом через конденсатор? Воспользуемся обобщенным законом . Следовательно, ток можно определить следующим образом: . Фаза напряжения произвольна, допустим , где амплитуда , тогда . Искомый ток имеет амплитуду (эффективное значение составляет ) и опережает напряжение по фазе на 90°. Результат соответствует полученным ранее выводам. Отметим, что если бы нас интересовала только амплитуда тока, то можно было бы не прибегать к комплексным числам: если , то , где А, В, С-амплитуды комплексных чисел. То же самое справедливо и для произведения (см. упражнение 1.17). Для нашего случая

Иногда этот прием очень полезен.

Как ни странно, конденсатор в нашем примере мощность не рассеивает.

Его подключение к сети не приводит к увеличению показаний счетчика электроэнергии. Разгадку этой «тайны» вы узнаете, прочитав следующий раздел. А затем мы продолжим анализ схем, содержащих резисторы и конденсаторы, с помощью обобщенного закона Ома.

Рис. 1.49. При использовании синусоидального сигнала ток через конденсатор опережает напряжение по фазе на 90°.

Упражнение 1.17. Докажите, что , то , где А, В, С-амплитуды комплексных чисел. Подсказка: представьте каждое комплексное число в форме .

Мощность в реактивных схемах.

Мгновенное значение мощности, потребляемой любым элементом схемы, определяется произведением . Однако в реактивных схемах, где напряжение U и ток I связаны между собой не простой пропорциональной зависимостью, просто перемножить их нельзя. Дело в том, что могут возникать странные явления, например, знак произведения может изменяться в течение одного периода сигнала переменного тока. Такой пример показан на рис. 1.49. На интервалах А и С на конденсатор поступает некоторая мощность (правда, скорость ее изменения переменна), и благодаря этому он заряжается: накапливаемая конденсатором энергия увеличивается (мощность - это скорость изменения энергии). На интервалах В и D потребляемая мощность имеет отрицательный знак - конденсатор разряжается. Средняя мощность за период для нашего примера равна нулю; этим свойством обладают все реактивные элементы (индуктивности, конденсаторы и всевозможные их комбинации). Если вы знакомы с интегралами от тригонометрических функций, то следующее упражнение поможет вам доказать это свойство.

Упражнение 1.18. (дополнительное). Докажите, что схема в среднем за полный период не потребляет мощности, если протекающий через нее ток сдвинут по фазе относительно питающего напряжения на .

Как определить среднюю потребляемую мощность для произвольной схемы? В общем случае можно просуммировать произведения UI и разделить сумму на длительность истекшего интервала времени. Иными словами.

где - полный период времени. Практически так мощность почти никогда не определяют. Нетрудно доказать, что средняя мощность определяется следующим выражением:

где U и I - эффективные комплексные значения напряжения и тока.

Рассмотрим пример. Допустим, что в предыдущей схеме конденсатор питается синусоидальным напряжением, эффективное значение которого равно 1 В. Для простоты будем выполнять все преобразования с эффективными значениями. Итак: . Мы получили, что средняя мощность, как и утверждалось, равна нулю.

А теперь рассмотрим схему, показанную на рис. 1.50. Выполним ряд преобразований:

Рис. 1.50.

В третьей строке преобразований при определении тока I мы умножили числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, для того чтобы получить в знаменателе действительное число. Полученная величина меньше, чем произведение амплитуд U и I; ее отношение к этому произведению называют коэффициентом мощности:

Коэффициент мощности - это косинус угла, определяющего сдвиг фаз напряжения и тока, он лежит в диапазоне от 0 (для реактивной схемы) до 1 (для резистивной схемы). Если коэффициент мощности меньше 1, то это значит, что в схеме присутствует реактивный элемент.

Упражнение 1.19. Докажите, что вся средняя мощность предыдущей схемы рассеивается на резисторе. Для того, чтобы решить эту задачу, нужно определить величину отношения . Определите, чему будет равна эта мощность в ваттах, если цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью и резистора сопротивлением 1 кОм, подключена к силовой сети с эффективным напряжением 110 В (частота 60 Гц).

Коэффициент мощности играет немаловажную роль в распределении больших мощностей, так как реактивные токи не передают нагрузке никакой полезной мощности, зато вызывают нагрев в сопротивлениях проводов генераторов и трансформаторов (температура нагрева пропорциональна ). Бытовые потребители электроэнергии платят только за «действительную» потребляемую мощность , а промышленные потребители с учетом коэффициента мощности. Вот почему большие предприятия для погашения влияния индуктивных реактивных сопротивлений производственного оборудования (моторов) сооружают специальные конденсаторные блоки.

Упражнение 1.20. Покажите, что последовательное подключение конденсатора емкостью к последовательной RL-цепи делает коэффициент мощности этой цепи равным единице. Затем рассмотрите параллельную цепь и параллельно подключенный конденсатор.

Рис. 1.51. Обобщенная схема делителя напряжения: пара электрических цепей с произвольным импедансом.

Делители напряжения: обобщение.

Простейший делитель напряжения (рис. 1.5) состоит из пары последовательно соединенных резисторов. Входное напряжение измеряется в верхней точке относительно земли, а выходное в точке соединения резисторов относительно земли. От простейшего резистивного делителя перейдем к более общей схеме делителя, если один или оба резистора заменим на конденсатор или индуктивность, как на рис. 1.51 (в более сложной схеме присутствуют и R, и L, и С). Вообще говоря, в таком делителе отношение не является постоянной величиной, а зависит от частоты. Анализ схемы выполняется без всяких хитроумных приемов:

Не будем сосредоточивать внимание на полученном результате, рассмотрим лучше некоторые простые, но очень важные примеры.