Глава 7. Принцип сжатых отображений в марковских процессах принятия решений

7.1. Введение

Дадим краткую сводку некоторых известных результатов, связанных с метрическими пространствами и принципом сжатых отображений.

Рассмотрим произвольное множество Функция отображающая в множество действительных чисел, называется метрикой, если

Множество V с определенной на нем метрикой называется метрическим пространством. Пусть отображение пространства V в себя. Тогда отображение называется сжатым, если существует число с такое, что для любых . Элемент называется неподвижной точкой отображения если Последовательность элементов метрического пространства V называется последовательностью Коши, если для любого существует такой номер что при всех Метрическое пространство V называется полным, если для любой последовательности элементов этого пространства существует элемент такой, что

Приведенные выше определения позволяют сформулировать следующие хорошо известные теоремы.

Теорема 7.1 (принцип сжатых отображений). Пусть V — полное метрическое пространство. Предположим, что отображение А сжатое. Тогда А имеет единственную неподвижную точку уравнение

имеет единственное решение

Определим отображение рекуррентно равенствами Тогда обобщением сформулированной выше теоремы является следующая

Теорема 7.2. Пусть V — полное метрическое пространство. Предположим, что при некотором отображение сжатое. Тогда уравнение

имеет единственное решение

Применяя принцип сжатых отображений, можно находить или аппроксимировать оптимальные стратегии в рассмотренных моделях принятия решений. Почти все задачи, которыми мы занимались в предыдущих главах, сводятся к нахождению неподвижной точки.