7.4. Вложение моделей

Рассмотрим две задачи оптимизации типа изучавшихся ранее. Для задачи будем пользоваться обозначениями без штрихов, например, 2, А и т. д., а для задачи обозначениями со штрихами, например, Предположим, что где совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств множества 2. Грубо говоря, подмножество 2, содержащее точки, «эквивалентные» например, множество всех различных траекторий, оканчивающихся Пусть отображение, переводящее и определяемое равенством справедливым при каждом и любом Отображение переводит в такую функцию, которая принимает значение во всех точках эквивалентных Если выполнены следующие условия: при произвольном и всех

При каждом и любых то будем говорить, что задача вложена в задачу Удобно ввести отображение переводящее и определяемое равенством при всех

Теорема 7.7. Пусть задача вложена в задачу Если задача удовлетворяет условию сжатия, или условиям монотонности и -сжатия, то задача также удовлетворяет соответствующим условиям, и для нее существует единственная неподвижная точка . Более того, единственная неподвижная точка для задачи при всех

Доказательство тривиально, и мы его опускаем.

Теорема 7.7 утверждает, что неподвижные точки для задач совпадают с точностью до отображения а политика приносящая доход, близкий или равный у, эквивалентна политике до доход от которой близок или в точности равен величине Таким образом, для нахождения неподвижных точек и -оптимальных политик достаточно решить задачу вместо более сложной задачи