Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА 10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РЕЗУЛЬТАТОВ ГЛАВЫ 9Корреляция между рангами и значениями признака10.1. Пусть Если
Если
следовательно,
Распределение скажем
Таким образом,
Однако сумма в квадратных скобках есть разложение бинома
Предположим, что эти моменты существуют. Аналогично находим:
Отсюда на основе (10.4) и (10.5) получим:
Таким образом, искомый коэффициент корреляции определяем как
Если теперь предположить, что
так, что
10.2. Рассмотрим теперь частные случаи. Если выражение в квадратных скобках в (10.13) обозначить как
Интегрирование по частям дает
В действительности величина А является коэффициентом рассеяния, известным под названием средняя разность Джини [58; 1; 2.21]. Это неотрицательная величина. Затем получим формулу Стюарта
10.3. Для равномерного распределения
имеем
и, следовательно, Этого и следовало ожидать для распределения, в котором появление любой из случайных величин равновероятно. 10.4. Рассмотрим нормальное распределение. Без потери общности результатов можно предположить, что оно имеет дисперсию, равную единице, и нулевую среднюю. Тогда мы имеем:
и
Следовательно,
10.5. Для распределения
имеем:
откуда, используя формулу
находим:
Этот результат приведен в 9.6. Для Конкордация10.6. Теперь мы покажем, что Припишем любой паре членов совокупности некоторую переменную, которая равна 1, если наблюдается конкордация типа 1, и нулю, если ее нет. Математическое ожидание Пусть функция распределения х, у будет Теперь для любого фиксированного значения
Теперь мы можем опустить подстрочный индекс
и, следовательно,
интегрирование производится по всему диапазону значений х и у. Опираясь на аналогичные аргументы, находим:
10.8. Рассмотрим случай, когда переменные полностью связаны линейным отношением. Совместное распределение х и у становится одномерным и без потери общности можно предположить, что это распределение будет равномерным в диапазоне от
В случае независимости переменных
если эта зависимость отрицательная, то
Эти величины представляют собой крайние значения, и легко видеть (ср. с. 31-32),что 10.9. Из (10.25) следует, что ковариация накопленных сумм частот х и у есть
а дисперсия составит величину:
Эту величину мы и определили выше как 10.10. Теперь выведем выражения для средних и дисперсий Пусть
Интеграл здесь следует понимать как главную компоненту выражения, иначе говоря,
Выражение (10.27) эквивалентно действительному интегралу
Из определения главной компоненты становится ясно, что, если
Если 1 положительна, мы берем этот интеграл по контуру, состоящему из отрезка на действительной оси с концами выражение не имеет «полюсов» внутри контура. Интеграл вдоль действительной оси стремится к
Интеграл по большой полуокружности стремится к нулю при
откуда следует результат (10.27) для 10.11. Рассмотрим теперь нормальную совокупность переменных х, у, коэффициент корреляции которых равен
Без потери общности можно предположить, что случайные величины измерены как отклонения от нулевой средней, их дисперсии равны единице. Если мы возьмем пары значений, скажем,
Положим:
Распределение тогда примет вид:
Следовательно,
10.12. Если
Это выражение, в соответствии с (10.27), примет вид:
Выражение в квадратных скобках есть характеристическая функция
Отсюда
Таким образом,
Следовательно, простое интегрирование по
Этот результат и приведен в (9.11). 10.13. Для того чтобы найти дисперсию
где суммирование производится по всем значениям
Здесь возможны три случая: 1) если 2) если
3) если только
куда теперь, опуская
Для интегрирования
и, следовательно,
Если мы продифференцируем
В силу симметрии
Произведем интегрирование в первой части относительно
Оставшаяся часть интегрирования может быть выполнена способом, который привел к оцениванию (10.33). Аналогичным путем может быть исчислен второй интеграл в (10.41). Окончательно
Когда
Имеется
После вычитания квадрата
Этот результат приведен в (9.13). 10.14. Указанную формулу можно аппроксимировать следующим образом. Если
то
Однако
и, следовательно,
Таким образом,
поэтому
где
Применяя этот результат в (10.45), находим:
как это показано в (9.18). 10.15. Остальные нужные нам результаты выводятся таким же методом, каким выводились Рассмотрим прежде всего
Мы уже определили, что
Для оценивания
Это выражение аналогично интегралу, приводившемуся в 10.12, только здесь вместо
10.16. Оценивание БиблиографияСм. список литературы к гл. 9. В [53] рассматривается взаимосвязь между ранговыми коэффициентами и исходными параметрами для генеральных совокупностей, не являющихся нормальными и представленными в виде рядов Грема-Шарлье. В [98] приводятся третьи и четвертые моменты относительно В [27] получены некоторые важные формулы для асимптотической дисперсии
|
1 |
Оглавление
|