ГЛАВА 8. ЧАСТНАЯ РАНГОВАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

8.1. Интерпретируя сопоставление наблюдаемых качественней характеристик двух объектов мы часто сталкиваемся со следующим вопросом: действительно ли существует определенная связь или корреляция между характеристиками либо же эта связь на самом деле объясняется зависимостью или корреляцией каждой из этих характеристик с третьей характеристикой С. Методы, с помощью которых обычно исследуются проблемы такого рода, в теоретической статистике носят название частной корреляции или анализа частных связей; с помощью методов частьой корреляции пытаются оценить те области общей совокупности, внутри которых устранено влияние изменений в характеристике объекта С. Аналогичные проблемы возникают и при использовании методов ранговой корреляции. Если, например, у определенного числа людей можно наблюдать статистически существенную корреляцию между математическими и музыкальными способностями, возникает вопрос, не объясняется ли такая корреляция зависимостью этих способностей от некоторого более существенного качества, скажем, такого, как интеллигентность. Перейдем к рассмотрению метода, с помощью которого в теории ранговой корреляций можно следовать проблемы такого рода.

8.2. Предположим, что нам пришлось столкнуться со следующими тремя последовательностями (каждая из них содержит по 6 чисел

Всего можно образовать пар. Одну из этих последовательностей будем считать стандартной (поскольку выбор ее произволен, мы остановимся на той последовательности; элементы которой расположены в натуральном порядке). Выписав затем все возможные пары, будем отмечать знаком пары рангов, расположенные в том же порядке, что и в стандартной последовательности, и знаком пары, расположенные в обратном порядке.

Теперь вычислим соответствующие коэффициенты корреляции:

Далее в таблицу размером выпишем показатели, характеризующие степень согласованности рангов с рангами

Таким образом, в II случаях ранги согласованы с причем в 6 случаях и ранги также согласуются с а в остальных пяти случаях ранги оказываются несогласованными.

Вообще если имеются три последовательности рангов, каждая из которых содержит чисел, то наша таблица будет иметь следующий вид:

Введем теперь следующее определение коэффициента частной ранговой корреляции :

В нашем примере его численное значение равно:

что сравнимо с .

8.3. Выражение (8.4) представляет собой коэффициент связи в таблице мы уже использовали его в другом контексте в 3.14. Значения коэффициента меняются от —1 до но не могут выходить за эти пределы, с его помощью измеряется интенсивность связей между двумя величинами: согласованностью рангов и согласованностью рангов

Если указанный коэффициент равен единице, то

отсюда следует

Так как ни одна из величин не может принимать отрицательных значений, это равенство оказывается справедливым только в том случае, когда по меньшей мере две из них равны нулю. Если эти две величины расположены в одной строке или в одном столбце, то перед нами совершенно тривиальная ситуация, когда предпочтения, выраженные в одной из последовательностей ранговых оценок, — пли полностью согласованы или, напротив, полностью противоположны (рассогласованы) с предпочтениями Нам остается теперь рассмотреть только те случаи, когда нулю равны величины или величины . В последнем случае последовательности рангов полностью согласуются с последовательностью . А в том случае, когда эти предпочтения полностью противоположны (рассогласованы), и соответствующий коэффициент равен —1.

8.4. Читатель, который знаком с величиной, называемой может без труда убедиться в том, что

Мы используем а следовательно, и коэффициент для того, чтобы установить, насколько велики различия между рассматриваемым случаем и ситуацией, когда дихотомия предпочтений эксперта полностью независима от дихотомии предпочтений эксперта

Действительно, допустим, что они независимы. Тогда наша таблица будет содержать следующие частоты:

В таком случае можно подсчитать разности между наблюдаемыми значениями и значениями, соответствующими случаю «полной независимости». Ограничимся здесь одним примером:

Таким образом, будет представлять собой сумму четырех слагаемых вида

и эту сумму можно представить следующим образом:

а отсюда следует соотношение (8.5).

8.5. Итак, мы построили коэффициент, меняющий значения от с помощью которого можно измерять степень согласованности последовательностей в совпадении порядка их рангов с порядком рангов в Если коэффициент равен это означает, что указанные ранги полностью согласуются между собой; если он равен нулю, так что предпочтения оказываются совершенно независимыми; если же коэффициент равен —1, предпочтения совершенно противоположны (рассогласованы).

Но в таком случае можно утверждать, что определяемый таким образом коэффициент частной корреляции рангов измеряет степень согласованности между рангами независимо от влияния последовательности ранговых оценок Коэффициент частной корреляции рангов растет при увеличении согласованности между рангами независимо от того, согласуются они с рангами или не согласуются. Это станет яснее, если вновь обратиться к данным, приведенным в (8.3). Считая обычный коэффициент корреляции рангов между последовательностями мы бы получили:

Однако в (8.3) мы выделяли случаи согласованности между последовательностями исходя из следующего критерия: согласуются ли эти ранги с рангами, содержащимися в последовательности Строка, в которой записаны числа показывает, сколько плюсов или минусов будет иметь последовательность в тех случаях, когда последовательность содержит только плюсы. Если эта строка аналогична строке, содержащей с и (другими словами, если элементы этих строк пропорциональны), в последовательности плюсы и минусы будут распределяться примерно в той же пропорции независимо от того, имеет ли в этих случаях последовательность знак плюс или не имеет. Но в подобной ситуации мы уже не можем полагать, что последовательности обнаруживают такое взаимное соответствие, которое не удастся полностью объяснить согласованностью каждой из этих последовательностей с последовательностью Коэффициент частной корреляции показывает, насколько рассматриваемая ситуация отличается от описанной выше, он показывает, в частности, как велики различия в количестве знаков плюс и минус в последовательности (проставляемых вне зависимости от того, имеет ли последовательность в каждом из этих

случаев знак плюс). Другими словами, коэффициент частной корреляции рангов является лучшим показателем того, насколько последовательности согласуются друг с другом, вне зависимости от согласованности каждой из них с последовательностью

8.6. В дополнение к (8.6) можно привести следующие соотношения:

Как отмечалось выше, следовательно,

Таким образом, на основании (8.4) можно заключить:

Эта формула позволяет выразить коэффициент частной корреляции через коэффициенты корреляции рангов полученные в результате сопоставления исходных последовательностей. Любопытно, что это соотношение полностью соответствует формуле коэффициента частной корреляции, выраженного через коэффициенты корреляции низших порядков 1 (однако, здесь мы имеем дело, вероятно, просто с совпадением соответствующих формул). Пример 8.1

Рассмотрим оценки качеств определенной группы людей, упорядоченные по трем различным признакам: по общему уровню развития интеллекта (1), по способностям, проявляемым при изучении математических дисциплин (2), и по музыкальным способностям (3).

Определим значения исходных коэффициентов корреляции рангов:

Таким образом, в силу (8.9) можно получить:

Частная корреляция рангов оказывается слабее, чем рассчитанная выше корреляция между ранговыми оценками (2) и (3); можно предположить, что корреляция, существующая между оценками (1) и (2), с одной стороны, и оценками (1) и (3) — с другой, как бы «накладывается» на характеристики действительного соотношения между оценками (2) и (3). Однако подобные выводы можно сделать лишь со значительными оговорками. Эти соображения, которые, разумеется, желательно иметь в виду в ходе дальнейшего исследования, но подобные соображения представляют собой не более чем догадки, если только мы не располагаем более основательными аргументами, позволяющими предсказать наличие подобного эффекта.

8.7. Методы проверки статистической существенности коэффициентов частной корреляции до настоящего времени не разработаны. Непригодной здесь оказывается проверка по критерию поскольку между некоторыми рангами, входящими в величины существует взаимная зависимость, например, если ранговая оценка А меньше ранга В, а ранг В меньше ранга С, то ранг А должен быть меньше ранга С. Здесь мы вновь сталкиваемся с тем разделом статистической теории, который требует дальнейших исследований.

Библиография

См. [49]. В [40] приводится довольно сложное выражение, характеризующее дисперсию коэффициента частной корреляции, причем рассматривается предельный случай, когда значение велико. Если распределение в пределе будет совпадать с распределением

В [70] также рассмотрены проблемы исчисления коэффициента частной корреляции не получив каких-либо четких результатов, автор ограничился выводом о том, что присутствующие в этой задаче проблемы распределения случайных величин чрезвычайно сложны.

Кроме того, в [70] рассмотрена также методика подсчета коэффициента множественной корреляции для случая трех случайных величин по той же формуле, что и в обычной статистической теории:

Но при малых мы вновь сталкиваемся с трудной проблемой распределения случайных величин. В [70] предложена методика статистической проверки, в которой используется отношение соответствующих дисперсий

См. также [43].