1.5.2. Метод интервалов.

В основе этого метода лежигг следующее свойство двучлена х — а: точка а делит числовую ось на две части — справа от точки а двучлен положителен, а слева от точки а — отрицателен.

Пусть требуется решить неравенство

где — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что

Рассмотрим многочлен

Для любого числа такого, что соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении (10) положительно, а значит, Для любого числа

взятого из интервала соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя положительно, поэтому число и т. д.

На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа ставят знак плюс, в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем — знак плюс, затем — знак минус и т.д. Тогда множеством всех решений неравенства (9) будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс, а множеством решений неравенства

где будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Перепишем неравенство в виде

Рис. 1

Отметим на координатной оси числа и 4 и расставим знаки плюс и минус так, как указано на рис. 1.

Решениями неравенства (12) будут все х из объединения промежутков

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Перепишем неравенство (13) в виде

или

Поскольку для любого действительного х, то неравенство (14) равносильно неравенству Применяя метод интервалов, находим решения последнего, а значит и исходного неравенства: это будут все х из двух промежутков (рис. 2).

Ответ:

Метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида

где — многочлены, если заметить, что на множестве всех действительных чисел неравенство (15) равносильно неравенству

Рис. 2

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Неравенство (16) равносильно неравенству

Перепишем это неравенство в виде

Рис. 3

Применяя метод интервалов (рис. 3), получим, что решениями неравенства (17), а значит, и решениями исходного неравенства, являются все х из трех промежутков —

Ответ: