§ 2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени

В этом параграфе рассматриваются уравнения и неравенства вида

в том случае, когда обе функции положительны на множестве принадлежащем общей части (пересечении) областей существования функций и хотя бы одна из двух функций или не является числом.

Общим способом решения таких уравнений и неравенств является следующий.

1. Отыскивается множество М — общая часть (пересечение) областей существования функций

2. Отыскивается множество , где функции положительны.

3. Затем путем логарифмирования левой и правой частей уравнения или неравенства по некоторому основанию а уравнение (1) заменяется равносильным ему на уравнением

а неравенство — равносильным ему на неравенством

4. На множестве решается стандартное по внешнему виду уравнение (3) или неравенство (4).

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Множество М — общая часть (пересечение) областей существования функций — состоит из всех одновременно удовлетворяющих условиям

Решая эту систему неравенств, находим, что множество есть интервал На множестве М функции положительны. Пользуясь формулами

перепишем уравнение в виде

Логарифмируя это уравнение, например, по основанию 2, получим уравнение

равносильное исходному уравнению на М.

Уравнение (5) можно переписать в виде

откуда следует, что оно равносильно на М совокупности двух уравнений

Первое уравнение имеет единственный корень который входит в множество М. Второе уравнение равносильно на М квадратному уравнению которое имеет два корня Из этих чисел в М лежит только Следовательно, исходное уравнение имеет два корня

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Множество М — общая часть (пересечение) областей существования функций есть все На множестве М функции положительны. Поэтому логарифмируя обе части уравнения, например, по основанию 2, получим уравнение

равносильное исходному на М.

Полученное уравнение можно переписать в виде

откуда следует, что оно равносильно на М совокупности двух уравнений

Первое уравнение имеет два корня входящие в М. Второе уравнение равносильно на М уравнению , имеющему два корня из которых в М входит только Итак, решениями исходного уравнения являются Ответ:

ПРИМЕР 3. Решить неравенство

Решение. Множество М — общая часть (пересечение) областей существования функций

— состоит из всех из промежутка На этом множестве М положительны функции Поэтому, логарифмируя неравенство (6) по основанию 2, получим равносильное ему на М неравенство

Перепишем это неравенство в виде или в виде

Решениями неравенства (7) являются все из промежутка Все эти входят в М и поэтому являются решениями исходного неравенства.

Ответ:

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Множество М — общая часть областей существования функций — есть все из промежутка Если то проверкой убеждаемся, что оно является решением неравенства (8).

Рассмотрим множество На этом множестве функции положительны, поэтому, логарифмируя неравенство (8) по основанию 2, получим равносильное ему на неравенство

Неравенство (9) равносильно на совокупности

Докажем, что для любого выполняется неравенство В самом деле, при любом имеем поэтому

При любом имеем поэтому Следовательно, на множестве система (11) решений не имеет, а система (10) равносильна неравенству

Поскольку при имеем то неравенство (12) для равносильно неравенству которое можно переписать в виде Последнее неравенство справедливо для любого Следовательно, неравенство (12) справедливо для любого Поэтому множество решений исходного неравенства на множестве есть все Объединяя это множество решений с решением получаем, что множеством всех решений исходного неравенства являются х из промежутка

Ответ: