§ 3.2. Рациональные уравнения

Уравнения вида

где - многочлены, называются рациональными.

Найдя корни уравнения затем надо проверить, какие из них не являются корнями уравнения Эти корни и только они будут решениями уравнения (I).

В этом параграфе приводятся некоторые специальные методы решения уравнений вида (I).

3.2.1. Упрощение уравнения.

При помощи замены неизвестных рациональное уравнение часто сводится к алгебраическому или более простому рациональному уравнению. Пример 1. Решить уравнение

Решение. Обозначив через у, данное уравнение перепишем в виде Поскольку не есть решение этого уравнения, то это уравнение равносильно уравнению Решения этого уравнения есть Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

Первое из этих уравнений на множестве всех равносильно уравнению

а второе - уравнению

Решения уравнения (3) есть . Решения уравнения (4) есть Следовательно, решениями уравнения (1) будут числа

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Обозначим через u, тогда уравнение (5) перепишется в виде

Уравнение (6) имеет два корня: Поэтому уравнение (5) равносильно совокупности уравнений

Решения первого уравнения этой совокупности есть Решения второго уравнения есть Следовательно, решениями исходного уравнения (5) являются числа

Ответ:

3.2.2. Уравнения вида

Уравнение

при некоторых условиях на числа может быть решено следующим образом. Группируя члены уравнения (7) по два и суммируя каждую пару, надо получить в числителе многочлены первой или нулевой степени, отличающиеся только числовыми множителями, а в знаменателях - трехчлены с одинаковыми двумя членами, содержащими х, тогда после замены переменных полученное уравнение будет либо иметь также вид (7), но с меньшим числом слагаемых, либо будет равносильно совокупности двух уравнений, одно из которых будет первой степени, а второе будет уравнением вида (7), но с меньшим числом слагаемых.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Сгруппировав в левой части уравнения (8) первый член с последним, а второй с предпоследним, перепишем уравнение (8) в виде

Суммируя в каждой скобке слагаемые, перепишем уравнение (9) в виде

Так как не есть решение уравнения (10), то, разделив это уравнение на , получим зфайнение

равносильное уравнению (10). Сделаем замену неизвестного тогда уравнение (11) перепишется в виде

Таким образом, решение уравнения (8) с пятью слагаемыми в левой части сведено к решению уравнения (12) того же вида, но с тремя слагаемыми в левой части. Суммируя все члены в левой части уравнения (12), перепишем его в виде

Решения уравнения есть Ни одно из этих чисел не обращает в нуль

знаменатель рациональной функции в левой части уравнения (13). Следовательно, уравнение (13) имеет эти два корня, и поэтому исходное уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

Решения первого уравнения этой совокупности есть

Решения второго уравнения из этой совокупности есть

Поэтому исходное уравнение имеет корни Ответ:

3.2.3. Уравнения вида

Уравнение

при некоторых условиях на числа а и молено решить так: надо выделить целую часть в каждой из дробей уравнения, т.е. заменить уравнение (14) уравнением

свести его к виду (7) и затем решить его способом, описанным в предыдущем пункте.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение (15) в виде

или в виде

Суммируя слагаемые в скобках, перепишем уравнение (16) в виде

Делая замену неизвестного перепишем уравнение (17) в виде

Суммируя члены в левой части уравнения (18), перепишем его в виде

Легко видеть, что уравнение (19) имеет два корня: Следовательно, исходное уравнение (15) имеет четыре корня:

Ответ:

3.2.4. Уравнения вида

Уравнение вида

при некоторых условиях на числа молено решать так: разложив (если это, конечно, возможно) каждую из дробей в левой части уравнения (20) в сумму простейших дробей

свести уравнение (20) к виду (7), затем, проведя удобную перегруппировку членов полученного уравнения, решать его методом, изложенным в пункте 3.2.2.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Поскольку , то, умножив числитель каждой дроби в уравнении (21) на 2 и заметив,что , уравнение (21) можно записать в виде

Уравнение (22) имеет вид (7). Перегруппировав слагаемые в этом уравнении, перепишем его в виде

или в виде

Уравнение (23) равносильно совокупности уравнений

и

Для решения второго уравнения совокупности (24) сделаем замену неизвестного Тогда оно перепишется в виде

или в виде

Суммируя все члены в левой части уравнения (25), перепишем его в виде

Так как уравнение не имеет корней, то уравнение (26) их также не имеет.

Первое уравнение совокупности (24) имеет единственный корень Поскольку этот корень входит в ОДЗ второго уравнения совокупности (24), то он является единственным корнем совокупности (24), а значит, и исходного уравнения. Ответ:

3.2.5. Уравнения вида

Уравнение

при некоторых условиях на числа и А после представления каждого слагаемого в левой части в виде

может быть сведено к виду (7).

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение (28) в виде

или в виде

Таким образом, уравнение (28) сведено к виду (7). Теперь, группируя первый член с последним, а второй с третьим, перепишем уравнение (29) в виде

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

Последнее уравнение совокупности (30) можно переписать в виде

Решения этого уравнения есть так как входит в ОДЗ второго уравнения совокупности (30), то совокупность имеет три корня:

Все они есть решения исходного уравнения.

Ответ:

3.2.6. Уравнения вида

Уравнение вида

при некоторых условиях на числа и А заменой неизвестного можно свести к уравнению вида

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Так как не является решением уравнения (32), то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби в

левой части на х, перепишем его в виде

Сделав замену переменных перепишем уравнение

Решения уравнения (34) есть Поэтому уравнение (33) равносильно совокупности уравнений

Корни первого уравнения этой совокупности есть

Второе уравнение решений не имеет. Следовательно, совокупность (35), а значит, и исходное уравнение имеют два корня:

Ответ: