Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3.2. Рациональные уравненияУравнения вида
где Найдя корни уравнения В этом параграфе приводятся некоторые специальные методы решения уравнений вида (I). 3.2.1. Упрощение уравнения.При помощи замены неизвестных рациональное уравнение часто сводится к алгебраическому или более простому рациональному уравнению. Пример 1. Решить уравнение
Решение. Обозначив
Первое из этих уравнений на множестве всех
а второе - уравнению
Решения уравнения (3) есть Ответ: Пример 2. Решить уравнение
Решение. Обозначим
Уравнение (6) имеет два корня:
Решения первого уравнения этой совокупности есть Ответ: 3.2.2. Уравнения вида
Уравнение
при некоторых условиях на числа Пример 3. Решить уравнение
Решение. Сгруппировав в левой части уравнения (8) первый член с последним, а второй с предпоследним, перепишем уравнение (8) в виде
Суммируя в каждой скобке слагаемые, перепишем уравнение (9) в виде
Так как
равносильное уравнению (10). Сделаем замену неизвестного
Таким образом, решение уравнения (8) с пятью слагаемыми в левой части сведено к решению уравнения (12) того же вида, но с тремя слагаемыми в левой части. Суммируя все члены в левой части уравнения (12), перепишем его в виде
Решения уравнения знаменатель рациональной функции в левой части уравнения (13). Следовательно, уравнение (13) имеет эти два корня, и поэтому исходное уравнение (8) равносильно совокупности уравнений
Решения первого уравнения этой совокупности есть
Решения второго уравнения из этой совокупности есть
Поэтому исходное уравнение имеет корни
3.2.3. Уравнения видаУравнение
при некоторых условиях на числа а и
свести его к виду (7) и затем решить его способом, описанным в предыдущем пункте. Пример 4. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение (15) в виде
или в виде
Суммируя слагаемые в скобках, перепишем уравнение (16) в виде
Делая замену неизвестного
Суммируя члены в левой части уравнения (18), перепишем его в виде
Легко видеть, что уравнение (19) имеет два корня: Ответ: 3.2.4. Уравнения видаУравнение вида
при некоторых условиях на числа
свести уравнение (20) к виду (7), затем, проведя удобную перегруппировку членов полученного уравнения, решать его методом, изложенным в пункте 3.2.2. Пример 5. Решить уравнение
Решение. Поскольку
Уравнение (22) имеет вид (7). Перегруппировав слагаемые в этом уравнении, перепишем его в виде
или в виде
Уравнение (23) равносильно совокупности уравнений
и
Для решения второго уравнения совокупности (24) сделаем замену неизвестного
или в виде
Суммируя все члены в левой части уравнения (25), перепишем его в виде
Так как уравнение Первое уравнение совокупности (24) имеет единственный корень 3.2.5. Уравнения видаУравнение
при некоторых условиях на числа
может быть сведено к виду (7). Пример 6. Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение (28) в виде
или в виде
Таким образом, уравнение (28) сведено к виду (7). Теперь, группируя первый член с последним, а второй с третьим, перепишем уравнение (29) в виде
Это уравнение равносильно совокупности уравнений
Последнее уравнение совокупности (30) можно переписать в виде
Решения этого уравнения есть Все они есть решения исходного уравнения. Ответ: 3.2.6. Уравнения видаУравнение вида
при некоторых условиях на числа
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Так как левой части на х, перепишем его в виде
Сделав замену переменных
Решения уравнения (34) есть
Корни первого уравнения этой совокупности есть Второе уравнение решений не имеет. Следовательно, совокупность (35), а значит, и исходное уравнение имеют два корня: Ответ:
|
1 |
Оглавление
|