Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАВ этой главе рассматриваются алгебраические уравнения степени т.е. уравнения вида
и алгебраические неравенства степени
и
где
При решении алгебраических уравнений и неравенств часто приходится разлагать многочлен § 1.1. Разложение многочлена на множителиРазложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. В этом параграфе приводятся некоторые методы разложения многочленов в произведение множителей первой и второй степени, поскольку знания такого разложения достаточно для решения алгебраических уравнений и неравенств. 1.1.1. Вынесение общего множителя.Если все члены многочлена имеют общий множитель, то, вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители.Пример 1. Разложить на множители многочлен
Решение. Все члены данного многочлена содержат общий множитель х. Вынося его за скобки, получим разложение данного многочлена на множители
1.1.2. Применение формул сокращенного умножения.Иногда многочлен
Пример 2. Разложить на множители многочлен
Решение. Применяя формулу
Пример 3. Разложить на множители многочлен
Решение. Применяя формулу
1.1.3. Выделение полного квадрата.Иногда многочлен можно разложить на множители, если воспользоваться сначала методом выделения полного квадрата, а затем, как правило, формулой разности квадратов. Пример 4. Разложить на множители многочлен
Решение. Выделяя полный квадрат, а затем применяя формулу разности квадратов, имеем 1.1.4. Группировка.Этот способ применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя. Суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене и дальнейшего объединения в группы таким образом, чтобы после вынесения (если это можно) общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем для каждой группы. Пример 5. Разложить на множители многочлен
Решение. Объединим в одну группу первое и второе слагаемые, а в другую — третье и четвертое слагаемые. Тогда имеем
1.1.5. Метод неопределенных коэффициентов.Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей — многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения: 1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях 2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей; 3) любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов второй степени. Пример 6. Разложить на множители многочлен
Решение. Будем искать многочлены
Правую часть этого равенства можно записать в виде
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения
Легко видеть, что этим равенствам удовлетворяют числа 1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам.Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения: 1) если многочлен 2) если каким-либо образом подобран корень Многочлен Пример 7. Разложить на множители многочлен
Решение. Поскольку коэффициент при являются делителями числа
Следовательно, 1.1.7. Метод введения параметра.Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода поясним на следующем примере. Пример 8. Разложить на множители многочлен
Решение. Рассмотрим многочлен с параметром а.
который при
Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена есть
1.1.8. Метод введения новой неизвестной.В некоторых случаях путем замены выражения Пример 9. Разложить на множители многочлен
РЕШЕНИЕ. Преобразуем данный многочлен следующим образом:
Обозначим
Поэтому
Пример 10. Разложить на множители многочлен
Решение. Обозначим
1.1.9. Комбинирование различных методов.Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выпке методов. Пример 11. Разложить на множители многочлен
Решение. Применяя группировку, перепишем многочлен в виде
Применяя к первой скобке метод выделения полного квадрата, имеем
Применяя формулу полного квадрата, можно теперь записать, что
Наконец, применяя формулу разности квадратов, получим, что
|
1 |
Оглавление
|