ПРИЛОЖЕНИЯ К ЭКОНОМИКЕ И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ

6.2. Экономика и снабжение

Одной из наиболее значительных макромоделей математической экономики и снабжения является модель «затраты — выпуск», связанная с именем Леонтьева. Эта модель, которую мы будем рассматривать с графотеорвч

тической точки зрения, есть, по сути дела, современное представление знаменитой экономической таблицы (tableau economique), предложенной в 1758-1759 гг. Франсуа Кенэ [75].

В модели «затраты — выпуск» на все операции в экономической системе, состоящей из наборов элементов (учреждений, фирм, хозяйств), накладывается классификационная сетка. Каждый набор элементов системы, в котором производятся (или потребляются) однотипные товары или услуги, называется отраслью промышленности, сектором экономики или сферой экономической деятельности. Пусть на некотором историческом периоде в рамках цен, присущих этому периоду, обозначает объем товара, закупленного I-й отраслью

Назовем объемом затрат (потребления) товара вида в отрасли. Таким образом, будет являться мерой потока средств, поступающих от в обмен на ресурсы, поступающие от

Назовем объемом выпуска отрасли Пусть обозначает относительную величину затрат (потребления), т. е. и называется удельной затратой товара в отрасли

Будем считать, что существует баланс

для всех т. е. сумма элементов строки матрицы затраты — выпуск точно равна сумме элементов столбца.

Рассмотрим теперь определенную выше матрицу и любую главную подматрицу В матрицы В такую, что и Тогда система где нуль-вектор порядка называется замкнутой моделью типа затраты—выпуск, а система , где - любая подматрица порядка неотрицательный вектор, будет называться незамкнутой моделью типа затраты — выпуск. Решение х незамкнутой или замкнутой модели называется допустимым тогда и только тогда, когда

вектор х является конечным, неотрицательным, но ненулевым. Неотрицательный вектор для незамкнутой модели строится как обусловленный «список товаров» или «список окончательной потребности» для тех отраслей промышленности, которые соответствуют строкам и столбцам, содержащимся в В и не содержащимся в В. Допустимые решения х моделей типа затраты — выпуск (незамкнутых или замкнутых) строятся как векторы уровня производства (величины выпуска), определяющие выпуск каждой отрасли. Если для незамкнутой модели существует матрица, обратная матрице то можно показать, что она представлена в виде хорошо известного степенного ряда [75]

Попытаемся теперь дать графотеоретическую формул лировку необходимых и достаточных условий существования матрицы, обратной матрице в незамкнутой модели типа затраты — выпуск. Для этого введем некоторые дополнительные определения [73]. Пусть ориентированный граф и сильно связный подграф Сильно связный подграф будет называться максимальным в тогда и только тогда, когда каждый сильно связный подграф либо является подграфом либо не содержит вершин, общих с Сильно связный подграф называется замкнутым в тогда и только тогда, когда является максимальным и каждая вершина достижимая (посредством ориентированного пути) из любой вершины содержится в Пусть неотрицательная квадратная матрица порядка т. е. для Конечный ориентированный граф матрицы А определяется как граф, который состоит из вершин и множества дуг таких, что дуга существует в тогда и только тогда, когда в А. Можно показать, что ориентированные графы соответствующие введенным выше замкнутым и незамкнутым моделям, играют важную роль при исследовании протекания технологических процессов и движения потоков

Неотрицательная квадратная матрица А называется субстохастической (по строкам), если сумма по каждой строке А не превышает единицы, Если сумма по каждой строке А точно равна единице, то матрица называется стохастической. Из приведенных выше рассуждений следует, что в замкнутой модели матрица А — стохастическая, а в незамкнутой модели матрица А — субстохастическая. Приведем без доказательства следующую теорему (доказательство см. в [75]).

Теорема 6.1. Пусть А — субстохастическая матрица. Обратная матрица -существует тогда и только тогда, когда в ориентированном графе нет замкнутых сильно связных подграфов или когда в каждом сильно связном подграфе замкнутом в существует вершина, для которой сумма элементов соответствующей строки А меньше чем единица.

Эту теорему можно переформулировать следующим образом.

Теорема 6.2. Пусть -стохастическая матрица и А — любая главная подматрица А. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда не существует сильно связного подграфа, который является еамкнутым в

Доказательство. Предположим, что является сильно связным подграфом Тогда замкнут в а соответствующая ему матрица А является стохастической тогда и только тогда, когда замкнут в Из теоремы 6.1 следует, что ни один замкнутый сильно связный подграф в не замкнут в

Следствие 6.3. Пусть А — стохастическая матрица. Если сильно связный граф (т. е. А неприводима или неразложима), то существует для любой главной подматрицы А матрицы А.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Другая, предлагаемая ниже формулировка экономической модели затраты — выпуск, основывается на теореме, которую довольно трудно доказать в рамках ограниченного объема главы.

Рис. 6.1.

Рассмотрим следующую матрицу, элементы которой дают удельные величины затрат каждой отрасли на покупку товаров у других отраслей (указаны со знаком минус) и удельные

значения выпуска (указаны со знаком плюс). Значения выпуска расположены на главной диагонали [8], [92]:

Определитель этой матрицы равен 38.

Рассмотрим граф, соответствующий этой межотраслевой модели. Введем вершину общего потребления С и зададим поток (потребление) из этой вершины в каждую отрасль. Величина этого потока равна чистому выпуску отрасли и находится как сумма элементов соответствующей строки матрицы. Поток к равен нулю. Следовательно, соответствующее ребро можно не рисовать на графе. Построим все возможные деревья графа (рис. 6.1) и найдем произведение пропускных способностей ребер. Сумма этих произведений, взятая по всем деревьям равна определителю приведенной выше матрицы. Таким образом, Положительные деревья соответствуют матрицам, суммы элементов строк которых больше или равны нулю, а элементы, расположенные вне главной диагонали, не являются положительным. Таким образом, единственное положительное дерево гарантирует положительный определитель. Такие матрицы (например, матрицы Леонтьева) с доминирующей диагональю представляют большой интерес для математической экономики.