6.11. Задача деления треугольника
Допустим, что мы разделили треугольник 
на несколько треугольников меньшего размера, проводя 
линий, параллельных его сторонам (рис. 6,25, где 
Расставим буквы 
в точках пересечения линий со сторонами следующим образом: точки на стороне 
могут помечаться только буквами 
(но не Л), точки на сторонах 
и А В помечаются по аналогичному правилу. Точки, находящиеся внутри большого треугольника, могут помечаться любой из трех букв. Требуется показать, что число маленьких треугольников, вершины которых помечены разными буквами, нечетно.
Рис. 6.25.
Для доказательства припишем символ нуль всем отрезкам с одинаково помеченными граничными точками и символ 
-отрезкам с разными пометками. Сумма символов ребер для любого треугольника 
равна 3. Для всех других треугольников эта сумма равна 
или 2. Легко проверить, что сумма символов, соответствующих отрезкам каждой стороны большого треугольника, должна быть нечетной. Сумма символов по всем
сторонам всех маленьких треугольников должна быть нечетной, так как все внутренние отрезки считаются дважды. Следовательно, число треугольников (маленьких) с суммой символов сторон 3 оказывается нечетным.
