ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

6.15. Анализ технических систем

Покажем, как можно использовать соответственным образом построенные ориентированные графы для получения существенной информации о поведении реальных технических систем на основе информации, характеризующей их составные части при заданном способе связи этих частей. Излагаемый ниже метод, разработанный в числе прочих Трентом [86], наиболее широко используется для анализа электрических цепей. Однако его можно также применять и к любым другим системам, в которых происходит преобразование энергии, например к механическим, устройствам с поступательными или вращательными движениями, или к гидравлическим системам. Кроме «чистых» систем (т. е. использующих

только один вид энергии) этот метод может быть распространен на «смешанные» системы, в которых различные элементы работают с различными видами энергии и связаны между собой через соответствующие устройства согласования.

Рассмотрим набор из двухполюсников, которые образуют элементы системы Пусть клеммы двухполюсников соединены некоторым образом в узлах Примером такой системы может служить набор сопротивлений, конденсаторов, индуктивностей и источников напряжения (в простейшем случае — батареи, в более сложных случаях — источники переменного напряжения). Предположим, что каждый отдельный элемент системы можно адекватно охарактеризовать известным уравнением, связывающим две основные переменные: ток и напряжение элемента Считается, что и измеряются в определенном направлении. Выбор переменных и использование терминов «ток» и «напряжение» будут скоро понятны.

Если, например, обозначают электрический ток и разность потенциалов соответственно, то пассивный элемент (элемент, не являющийся источником) может характеризоваться одним из уравнений вида

где обозначает время. Активный элемент, или источник, характеризуется уравнением, выражающим одну из основных переменных как функцию времени (это может быть и константа). Например, характеризует источник напряжения.

Допустим теперь, что каждому элементу соответствует дуга а каждому узлу вершина Если конечные точки дуг взяты в качестве соответствующих» узлов, то полученный ориентированный граф дает удобную характеристику структуры соответствующей реальной технической системы. Важное для нашего

рассмотрения свойство токов состоит в том, что в каждой вершине их поведение подчинено так называемому правилу вершин. Оно состоит в следующем.

Правило вершин. Алгебраическая сумма токов, соответствующих дугам, инцидентным любой заданной вершиной, равна нулю.

Под алгебраической суммой понимается следующее: каждый ток добавляется или вычитается в зависимости от того, является ли соответствующая дуга положительно или отрицательно инцидентной рассматриваемой вершиной. На рис. 6.35 правило выполняется, например, в так как Нетрудно видеть, что оно выполняется также и в других вершинах. В теории электрических цепей это правило называется законом Кирхгофа для токов. В общем случае, в качестве одной из базисных переменных, а именно той, которая имеет смысл тока, должна выбираться переменная, размерность которой обеспечивает выполнение условий вершинного постулата.

Рис. 6.35.

Напряжения также удовлетворяют следующему основному так называемому циклическому правилу.

Циклическое правило. Алгебраическая сумма напряжений, соответствующих дугам любого элементарного цикла, равна нулю.

В этом случае предполагается, что циклу задается некоторая ориентация (в любом из направлений) и каждое напряжение добавляется или вычитается в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление соответствующей дуги с выбранной ориентацией цикла. На рис. 6.36 это правило выполняется, например, для ориентированного элементарного никла С, так как (3) Можно проверить, что правило выполняется также для всех остальных пяти элементарных циклов этого графа. В теории электрических цепей циклическому правилу соответствует закон Кирхгофа для напряжений.

Приведем еще одну формулировку циклического правила. Если фискироваииая вершина,

любая другая вершина, отличная от то алгебраическая сумма напряжений по любой цепи, ориентированной от не зависит от выбранной цепи. (Здесь предполагается, что граф связен и, следовательно, существует, по крайней мере, одна такая цепь.)

Рис. 6.36.

Рис. 6.37.

Используя эту формулировку для каждой вершины мы можем определить числа следующим образом. Назначим произвольно. Полагаем где К есть алгебраическая сумма напряжений по любой цепи, направленной от Полагая, например, в предыдущем примере, мы получим значения показанные на рис. 6.37. Напряжения определяют значения с точностью до аддитивной константы. В качестве исходной можно выбирать любую удобную вершину. В электротехнике величины могут рассматриваться как потенциалы относительно выбранного потенциала исходной вершины. Очевидно, величины напряжений будут соответствовать разностям потенциалов.

Процесс получения уравнений, характеризующих систему в целом, на основе уравнений ее элементов и заданной структуры проводится в два этапа. Сначала с помощью вершинного и циклического правил уменьшается количество переменных, соответствующих токам и напряжениям. В результате выделяется множество независимых переменных, через которые можно выразить все переменные системы. Затем выписываются уравнения связи переменных тока и напряжения. Рассмотрим первый этап процесса.

Применяя к вершине правило вершин, получим

где если вершина положительно (отрицательно) инцидентна дуге. равно нулю в случае отсутствия инцидентности. Другими словами, векторы

являются ортогональными. Заметим, что есть строка А матрицы инциденций графа. Так как пространство, натянутое на строки А, совпадает с пространством, натянутым на строки матрицы разрезов есть линейная комбинация векторов циклов (строк матрицы циклов С). Действительно, А (или К) и С определяют ортогональные подпространства, которые вместе образуют пространство размерности

Используя материал главы можно записать в виде

при выборе хорд стягивающего дерева в качестве первых столбцов. Здесь единичные матрицы. Разбивая таким же способом вектор токовых переменных, получим

где относятся к хордам и ветвям дерева соответственно. Правило вершин означает, что

Следовательно,

Таким образом, мы выразили токи в ветвях через токи в хордах. Аналогичным образом, циклическое правило приводит к матричным уравнениям

последнее из которых выражает напряжения на хордах через напряжения на ветвях. Применение этих соотношений составляет первый этап анализа. В результате число рассматриваемых в явном эиде переменных,

соответствующнх токовым напряжениям, сводится к минимуму. (В конкретной ситуации выбор переменных зависит, конечно, от выбора покрывающего дерева.)

Основные уравнения элементов удобно записать в матричной форме, если напряжения заданы в виде явных функций от токов. При этом получаем

где есть диагональная -матрица, диагональный элемент которой является либо константой, либо дифференциальным или интегральным оператором, вектор-столбец, элементы которого равны нулю для позиций, соответствующих пассивным элементам и функциям для позиций, соответствующих источникам. (Соответствующие диагональные элементы равны 0.) Если токи выражаются как явные функции напряжения, то получим

Предыдущее выражение может быть переписано в виде

Умножение обеих частей уравнения на дает

где неизвестными являются только напряжения на хордах. Последнее выражение может быть переписано:

и, далее,

где неизвестными являются только токи в ветвях.

Уравнения (6.1) и (6.2) соответствуют формулировкам задачи для циклов и вершин (или узлов) соответственно. В случае, когда полученная система уравнений может быть решена известными математическими методами, оставшиеся неизвестными токи и напряжения легко находятся из приведенных выше соотношений. В частности, заметим, что могут быть получены при визуальном анализе графа, после выбора дерева. В случае, если некоторые элементы системы имеют

более двух полюсов или если рассматриваются элементы сопряжения, которые служат для согласования различных видов энергии в одной и той же системе, то матрица, характеризующая основные уравнения, имеет более сложную структуру и решение результирующей системы уравнений получается более сложно. Тем не менее, роль графа, представляющего систему, остается по существу той же самой. Более подробные сведения читатель сможет получить в работах [14], [15], [17], [22] и [27], приведенных в литературе к главе 1.