6.23. Два примера из статистической механики

Мы уже упоминали, что многие комбинаторные задачи теории графов обязаны своим происхождением статистической механике, Так как любой конкретный пример требует достаточно полного описания физики рассматриваемого явления, мы ограничимся рассмотрением только двух, хорошо известных явлений для иллюстрации основных идей перехода от теории графов к моделям. Это задача Изинга и задача о димерах.

Начнем с задачи Изинга. Было замечено, что ферромагнитное вещество теряет свою намагниченность в зависимости от температуры. Таким образом, функция намагниченности является убывающей и резко падает при определенной температуре, называемой точкой Кюри. Задача состоит в разработке модели, которая объясняла бы явление резкого падения намагниченности. Эту задачу можно рассмотреть на некоторой решетке и попытаться записать функцию разбиения, которая для конечной решетки была бы аналитической функцией температуры и не учитывала бы наличия резкого падения, Однако в некоторых пределах эта функция все же должна обладать интересующим нас свойством, Пусть задача рассматривается на трехмерной решетке и предполагается, что ферромагнетизм вызывается взаимодействием между спинами определенных электронов в атомах, образующих кристалл. Эти взаимодействия можно описать следующей обобщенной задачей на языке теории графов.

Требуется найти производящую функцию числа допустимых помеченных подграфов с ребрами для помеченного графа, который представляет собой -мерную решетку. Подграф является допустимым, если все его вершины имеют четную степень. До сих пор эта задача была решена только для и 2 (Онзагер).

Пример графа Изинга приведен на рис. 6.56. Подробное рассмотрение задачи Изинга можно найти в работе [65]. Интересные работы по статистике решеток опубликованы Монтроллом. Работы сопровождаются хорошей библиографией.

Рис. 6.56.

Рассмотрим вторую интересную задачу статистической механики (решалась Монтроллом и Пфаффиансом), которая возникает в теории абсорбции двухатомных молекул (димеров) на поверхностях. При этом каждая двухатомная молекула «прилипает» на плоскую решетку так, что каждый из атомов попадает на узел решетки. Задача состоит в определении числа возможных соединений ближайших соседей на двухпериодической решетке (прямоугольная решетка, каждая пара противоположных сторон которой объединена, в результате чего образована решетка на торе) таких, при которых не остается ни одного узла решетки, не занятого атомом.

Эта задача эквивалентна определению числа способов, которыми можно покрыть прямоугольную доску, разделенную на клетки, прямоугольными фишками, состоящими из двух клеток того же размера, что и на доске (типа домино). Очевидно, доска должна содержать четное число клеток и, кроме того, должна иметь четное число клеток, по крайней мере, вдоль одной стороны.

Более сложной математической задачей является задача раскладки, в которой требуется найти число способов покрытия двухмерной решетки квадратами. Причем квадраты могут быть двух типов: единичные и двойные. Считается, что где число единичных квадратов, а число двойных квадратов (см. также раздел 6.13).