3. САУ С ЦИФРОВЫМ ИНТЕГРАТОРОМ

Если выполнено условие (37), то цифровой интегратор и цифровые устройства для введения ПИД-составляющих можно заменить непрерывными и структурные схемы рис. 2, г и д привести к схемам, изображенным на рис. 37, а, б. Здесь , где равно изменению выходного напряжения интегратора при изменении его состояния на единицу; — передаточная функция с фильтром на выходе (без учета интегрирующих свойств ЦИ); — коэффициенты усиления соответственно по пропорциональному и дифференцирующему каналам; — учитывает дополнительные инерционности и запаздывания в этих каналах, — передаточная функция регулятора без учета канала ЦИ. Коэффициенты и определяются схемами узлов, примененных для получения указанных составляющих. Если пропорциональная составляющая образуется с помощью схемы вычитания частот и преобразователя частота — напряжение, основанном на формировании постоянной вольт-секундной площади импульса то , а при использовании преобразователя, основанного на подсчете числа импульсов за время , где — напряжение на выходе преобразователя при максимальном заполнении счетчика емкостью . При

этом содержит, кроме фильтра, звено чистого запаздц. вания на 0,5 0. Аналогично можно определить и коэффициент

Рис. 37. (см. скан) Структурные схемы предельных САУ с цифровым

Анализ и синтез структурных схем рис. 37, а, б могут быть выполнены известными методами непрерывных линейных систем. В частности, можно определить необходимую емкость счетчика интегратора. Для этой цели следует интегратором построить переходные процессы в системе при действии максимально возможных управляющих и возмущающих воздействий и оценить наибольшие значения сигналов появляющихся на выходе интегрирующего звена.

Тогда причем определяется после выбора параметров системы регулирования как . Величина V

[может быть выбрана меньше, чем однако в этом [случае при переходных процессах интегратор может выходить из зоны линейности, что приводит к затягиванию переходных процессов и может вызвать увеличение колебательности и даже неустойчивость. Минимально допустимая величина V должна быть такой, чтобы обеспечить компенсацию возмущений в статическом режиме.

Рис. 38. Структурная схема САУ с цифровым интегратором

В тех случаях, когда в САУ выходной сигнал изменяется в широких пределах, условие (37) трудно выполнить во всем диапазоне. При снижении частоты следования импульсов увеличиваются пульсации и погрешности воспроизведений различных законов регулирования [15], поэтому в этих режимах необходимо рассматривать САУ как дискретную.

Вид структурных схем рассматриваемых САУ зависит от типа устройств, примененных для формирования аналоговых составляющих. Если в схеме рис. 2, д аналоговые сигналы формируются с помощью ПЧН со стабильной вольт-секундной площадью, то необходимо учитывать импульсный характер этих сигналов. Если же для получения сигналов используются аналоговые датчики, как в цифровых регуляторах скорости, то следует учесть импульсный характер сигналов только на входе интегратора. Так как будем

анализировать режим работы САУ, при котором сигналы на ее выходе меньше максимальных, то можно принять что импульсы аппроксимируются дельта-функциями (период следования импульсов во много раз больше их длительности).

Рассмотрим САУ с использованием аналоговых датчиков, структурная схема которой изображена на рис. 38 (считая что отнесено к или пренебрегая ). Тогда

Предположим, что выполнен по схеме, изображенной на рис. 19. Пусть , где — порядок — порядок . Предположим, что момент совпадает с приходом импульса частот или и известны начальные значения . Так как система линейная, то (51)

При после прихода очередного импульса и скачком изменяется и до прихода следующего импульса не меняется. Функции являются обратными преобразованиями Лапласа от

Функция является решением однородного дифференциального уравнения системы с заданными начальными условиями. Она может быть найдена, например, преобразованием Лапласа. Это дифференциальное уравнение в операторной форме можно записать в виде , где — полиномы относительно соответствующие числителям и знаменателям . Функция линейна по поэтому

Повторным дифференцированием по вычислим . Введем вектор , имеющий компоненты которой равны коэффициентам при в (формуле для ). Аналогично введем векторы компоненты которых равны коэффициентам при и в формулах для Тогда можно записать следующее равенство:

Будем рассматривать импульсные последовательности как общую последовательность, причем текущий период этой последовательности обозначим . Предположим, что сразу же после прихода импульса (т. е. в момент причем является начальным условием для изменения при . На основании выражения (54) можно записать

причем

где если импульс является импульсом если импульс является импульсом .

Для построения переходного процесса необходимо определить . При этом нужно учитывать, что в переходных процессах несколько импульсов одной частоты или могут поступать подряд. Будем рассматривать только интегральную частотную модуляцию рода, когда период выходной частоты определяется из уравнения

Имеем . Если при был импульс входной частоты то является

решением уравнения

где суммирование проводится от до шага, когда последний раз был импульс . При этом, если , то если , то . При расчетах по формуле (58) интегралы в правой ее части зависят от известных величин.

Если

где определяется как решение уравнения

В формуле — номер шага, когда последний раз был импульс при этом, если то если

С помощью полученного соотношения можно построить переходный процесс отработки входного сигнала. Значения фазовых координат находятся только в моменты прихода импульсов. На рис. 39 показана структурная схема алгогоритма для определения причем

Рис. 39. Структурная схема алгоритма определения

С помощью приведенных уравнений можно вычислить установившиеся значения координат. В установившемся режиме импульсы входной и выходной частот чередуются, а принимает значения . Учитывая, что и принимая, что первый импульс является импульсом выходной частоты, получаем

Таким образом, для определения неизвестных имеем уравнений (61), а также уравнение, связывающее и в виде

Учтя свойства переходной матрицы и вектора согласно выражению (61), можно записать

Недостающая зависимость, необходимая для однозначного определения фазовых координат и установившемуся режиме, получается из ограничивающих условий: — целое число.

Пример 2. Пусть . В соответствии с выражением (51)

откуда

Найдем установившееся значение из соотношения (63)

откуда

Из условия и выражения (66) следует, что

а из условия и выражения (66) вытекает, что

откуда равно целой части числа

Подставим определенные по формуле (64а), в выражение (62); в результате получим

Подставим в выражение (70) значение которое получается, если в уравнении (64а) принять а также исключая с помощью формулы . В результате получим

Для определения можно поступить следующим образом. Задаваясь рядом значений кратных по формуле (71) находим соответствующие значения , а по формуле . За установившиеся значения принимаем , удовлетворяющие выражениям (67) и (68).

Пользуясь этими уравнениями, можно построить переходный процесс, а также решить вопрос об устойчивости

системы. Так как рассматриваемая САУ с ЧИМ является (нелинейной, то в ней возможны различные типы устойчивых автоколебательных процессов. Определение устойчивости общем виде достаточно сложно. Правильно спроектированная система должна удовлетворять условиям устойчивости «в малом» с достаточным запасом.

Рис. 40. К расчету устойчивости САУ

Найдем рекуррентное соотношение, связывающее значения фазовых координат в моменты поступления двух соседних импульсов , причем между этими двумя импульсами поступает один импульс (рис. 40), как это происходит в установившемся режиме. Если в соотношении (61) заменить на , то получим:

Из рис. 40

Значения связаны рекуррентным соотношением

Учитывая свойства матрицы векторов и и подставляя соотношение (73) в выражение (72), получаем

где и определяется видом модуляции. Уравнения (73) и (74) образуют искомые рекуррентные соотношения порядка .

Введем квадратную матрицу порядка элементы которой являются частными производными строки системы (73), (74) по при или по при причем вычисляются в точке равновесия. Для устойчивой системы все собственные числа по модулю меньше 1.

Пример 3. Пусть на рис. 37, б . Воспользовавшись соотношениями (64) и (74), запишем

Продифференцируем правую часть этого равенства по положив После подстановки в этот результат координаты точки равновесия получим

Подставляя в выражение а также из соотношения (66), получаем

Аналогично определяем

Условия устойчивости запишем в виде [36]

Ограничивающим является второе неравенство. Подставим в выражение (70) значение из выражения (64а), а также исключим с помощью соотношения (72а). Получим следующее неявное уравнение, связывающее :

Производные находятся по правилам дифференцирования неявных функций:

Выполняя дифференцирование и подставляя координаты исследуемой точки из формул (66) и (71), получаем

Подставляя выражения (82) и (83) в соотношения ратем коэффициенты во второе неравенство (80), получаем условие устойчивости в виде

Приведенный выше анализ относится к цифровому интегратору с реверсивным счетчиком с на его выходе. При использовании цифрового интегратора с ШИМ анализ усложняется, однако следует иметь в виду следующее. Частота колебаний выходного триггера выбирается значительно большей, чем частота среза системы, поэтому если то эффект квантования по времени можно не учитывать. Если же то учет квантования по времени можно произвести по приведенным выше формулам.

Особенностью САУ с цифровым интегратором с ШИМ является наличие автоколебаний, вызванных квантованием по уровню. Структурная схема для расчета автоколебаний показана на рис. 41, а, нелинейные характеристики звена — на рис. 41, б, е.

Передаточная функция линейной части

где при отсутствии аналогового регулятора . Эффектом квантования по времени при расчете режима автоколебаний пренебрегаем.

Рис. 41. Структурная схема для расчета автоколебаний в САУ с цифровым интегратором (а), нелинейные характеристики (б, е)

Для нахождения периода и амплитуды автоколебаний применим метод, описанный в работе [42]. В режиме установившихся колебаний имеет вид прямоугольных колебаний с амплитудой 1 и полупериодом 0. Если

то на отрезке в квазиустановившемся режиме (после затухания составляющих, вызванных начальными условиями) будет изменяться по закону

Для определения служит уравнение периодов

причем устойчивые колебания возможны только для таких корней уравнения (88), для которых .

Условия переключения имеют вид .

При правильном выборе параметров системы . Следовательно, учесть квантование по времени, вносимое цифровым интегратором, можно введением запаздывания от момента, когда и станет равным 0,5, до момента переключения. Это запаздывание не превосходит . При этом уравнение (88) запишем в виде

а условия переключения

Пример 4. Пусть тогда . Согласно формуле или . Решение этого уравнения дано в табл. 3.

Таблица 3 (см. скан)

Зная , подставляем это значение в соотношение (87), вычисляем значения и при проверяем, не выходят ли колебания и за пределы одного «кванта». Если это явление происходит, то пользуемся более сложной нелинейной характеристикой рис. (41, е).

Пусть . По табл. 3 откуда . Учтем теперь запаздывание Обозначив

из соотношений (87) и (89), получим уравнение .

Если , то , т.е. меньше, чем 1,5, когда происходит переход на следующий участок нелинейности.

Кроме этого можно применить метод, предложенный в работе [42]. Для систем высокого порядка можно найти частоту автоколебаний графически без определения корней характеристического уравнения.