ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наверное, это естественно, что теория нечетких многокритериальных задач принятия решений разрабатывается как расширение обычных (четких) многокритериальных задач принятия решений и по аналогии с ними. В основу предложенного в данной монографии подхода положена аналогия между соответствующими этим классам задач принятия решений степенями превосходства: ) Известно, что именно через них определяются соответствующие отношения предпочтения, четкие и нечеткие, а также Парето - доминирование и, следовательно, множество Парето (множество

четко недоминируемых решений). Но существует еще одна возможность для введения Парето - доминирования и множества Парето в нечетких многокритериальных задачах принятия решений. Она тоже основана на аналогии, встречается в нескольких публикациях, но практически полностью не исследована. Мы хотели, бы обратить внимание специалистов в области принятия решений и на эту возможность. Отношение Парето - доминирования в обычных многокритериальных задачах принятия решений формулируется как пересечение компонент векторного отношения предпочтения. Ядро этого отношения и является исходным (основным) множеством Парето По-видимому, тоже самое можно сделать и в случае нечетких многокритериальных задач принятия - решений. А именно, отношение Парето - доминирования ввести как пересечение компонент векторного нечеткого отношения - предпочтения в виде Тогда ядро этого отношения можно взять в качестве множества Парето (множества четко недоминируемых решений) для данного класса задач принятия решений. Как мы уже говорили выше, работы в этом направлении есть. Мы не будем их критически анализировать, просто приведем некоторые результаты и выводы, полученные - разными авторами. Начнем с работы Орловского [42]. Прежде всего им установлена полная аналогия свертки свертке где А и есть частные компоненты векторного критерия эффективности. Последняя известна как свертка Гермейера в многокритериальных задачах принятия решений. Введя эту свертку, автор тут же отвергает ее на основании того, что она «...вообще говоря, не рефлексивна, то есть не является отношением предпочтения... Поэтому она неудобна при необходимости учета различий в относительной важности заданных отношений». Это действительно так. После чего рассматривается линейная свертка векторного нечеткого отношения предпочтения На основе формулы (3) выделяются соответствующие множества четко недоминируемых решений (множества. Парето) в виде Доказано, что но не охватывает все эффективные решения из последнего множества Парею. В общем случае, это естественное заключение (смотри лемму Карлина). Однако, доказывается, что

для любого решения имеет место Последнее вычисляется по формуле (2). Это позволяет сузить класс рациональных решений, которые должны участвовать в конкурсе. То есть выбор надо осуществлять из этого класса решений. Причем последнее заключение, по нашему мнению, не совсем) обоснованно.

Другая работа в этом же направлении — это работа Бондаревой, которая в данный момент не опубликована. Нам известно о ней из переписки. Мы надеемся, что к моменту выхода монографии эта работа будет уже опубликована, и читатель сможет прочесть ее полностью. Пусть на множестве конкурсных решений X задана некоторая функция выбора . Нам понадобится две аксиомы: 1) аксиома наследования обозначим ее через (H); 2) аксиома согласия обозначим ее через (С). Определим отношение R следующим образом: , если Непустота выбора не требуется, а для непустого выбора это определение совпадает с традиционным. Через обозначим ядро отношения R. Доказан следующий результат: удовлетворяет аксиомам (H) и (С), и наоборот, если функция выбора удовлетворяет этим аксиомам, то Для дискретного случая результат доказан Айзерманом, для непрерывного случая—Бондаревой. Этот результат переносится на нечеткий случай: Аксиома Если же сами множества нечеткие, то имеем Аксиома (С), . Если же сами множества нечеткие, то имеем В результате получаем (вывод в письме не приведен) , что уже говорит о бинарности выбора. Будем считать, что степень доминируемости у в паре равна степени его непринадлежности выбору , то есть или Остюда получаем формулу которая определяет нам аналог ядра. Зто тоже самое, что и у Орловского, только надо брать не а просто . И далее замечание, что вообще странная вещь,

которая получена абсолютно незаконно: почему мы можем вычитать и что в таких случаях делать в двухэлементном множестве?» Приводится пример в обоснование этого замечания. Рассмотрим теперь случай многокритериального выбора, когда задано векторное отношение предпочтения В этом случае строгий паретовский оптимум замечания о виде где Тогда по аналогии для нечетких задач принятия решений можем определить откуда функция принадлежности строгого паретовского оптимума получается в виде: И дальше замечание: «Если есть аксиомы, которые определяют ядро в четком случае, то же аксиомы должны определять его и в нечетком. Кстати, все это переносится и на тот случай, когда сами множества нечеткие». Вот такая интересная работа. Не бесспорная, но интересная.

Следует отметить также, что свертка изучалась и автором в работе [14], вышедшей в этом же издательстве в 1981 году. В ней выявлялись условия представимости нечетких отношений предпочтения потенциальными функциями, то есть И далее для этого класса задач изучались два случая: совместимые нечеткие отношения предпочтения и несовместимые нечеткие отношения предпочтения (многокритериальный вариант задачи принятия решений). Причем множество четко недоминируемых решений определялось по формуле (3), то есть с использованием . В дальнейшем мы уже не возвращались к этому подходу, и теперь уже не вспомнить почему. Правда, результат о представимости нечетких отношений предпочтения потенциальными функциями получил применение совсем недавно, в задачах аппроксимации произвольных нечетких отношений предпочтения транзитивными нечеткими отношениями предпочтения, разрабатываемых Шахновым, Макеевым и другими.

Если вспомнить еще работу Кузмина [31] по выделению множества Парето в пространстве бинарных нечетких отношений предпочтения, то материала для размышлений, обсуждений, анализа и сравнения больше, чем достаточно. Мы специально изложили

жили в заключении все эти работы, чтобы показать, что подход к нечетким многокритериальным задачам принятия решений, предложенный в монографии, не является единственно возможным. Существуют и другие подходы, другие точки зрения. На первый: взгляд они несовместимы. Но совсем не исключено, что при более полном и глубоком анализе эти подходы окажутся взаимосвязанными.

Рассмотрим еще некоторые вопросы, которые, по нашему мнению, имеют отношение к теме заключения монографии в том смысле, как она представлена выше. Займемся более подробным анализом строгого нечеткого отношения предпочтения. Обычные (четкие) строгие отношения предпочтения существуют и, по-видимому, никаких особых сомнений не вызывают. Более того, в задачах сравнения и выбора именно строгие отношения предпочтения играют основную роль. Мы их обозначаем через причем значок S просто означает, что данное отношение предпочтения обладает свойством асимметричности, а именно, если . Если мы имеем дело с произвольным отношением предпочтения R, то его строгую часть можно выделить следующим образом: где -отношение, обратное R. Если есть четкое строгое отношение предпочтения, то должно быть и нечеткое строгое отношение предпочтения, причем оно, как и четкое, должно свойством асимметричности. Другое дело, как определить асимметричность для нечеткого отношения предпочтения. Введем обозначение где значок S означает наличие свойства «асимметричность», но пока неясно, как это выражается формально. Рассмотрим различные возможные варианты:

В частности, может быть Если же то получим первый вариант.

Словом, функция принадлежности нечеткого строгого отношения предпочтения должна характеризоваться каким-либо свойством асимметричности. Из трех рассмотренных выше свойств наиболее приемлемым, наиболее обоснованным и наиболее признанным исследователями является первое свойство. Хотя, наверное, интересно изучить и два других свойства, особенно второе.

Формальное представление асимметричности в виде первого свойства наиболее соответствует определению асимметричности для четких отношений предпочтения. Это очевидно и не требует дополнительных пояснений. Оно и используется во всех работах для определения нечеткого строгого отношения предпочтения. Причем справедливо, если И только если то Для произвольного четкого отношения предпочтения выделение строгой его части было приведено выше, в виде разности исходного отношения и обратного ему. Если быть последовательным и дальше следовать аналогии, то и для нечетких отношений предпочтения следует применять операцию разности соответствующих нечетких отношений предпочтения: исходного и обратного ему. Тогда для вычисления мы получим формулу (1). Причем операции разности в том виде, в каком она используется в этой формуле, была введена Заде [71]. Но пусть мы по какой-либо причине не признаем операцию разности. Это не дает нам права игнорировать существование нечетких строгих отношений предпочтения. Поэтому попробуем их определить несколько по-другому. Используем следующую формулу разности двух , где множества В. Тогда будем иметь . При этом есть функция принадлежности отношения Самое интересное, что никто не возражает против представления дополнения нечеткого отношения в виде хотя это ни что иное, как частный случай разности, а именно, при условии Это естественно, поскольку

Утверждение 8.1. Если обладает первым свойством асимметричности, то

Доказательство проводится простой подстановкой с использованием первого свойства асимметричности.

Утверждение 8.2. Если то причем оно удовлетворяет второму свойству асимметричности при

Доказательство проводится соответствующей подстановкой и проверкой условия асимметричности.

Если же не подходит под вышеприведенные утверждения, то, вообще говоря, не совпадают.

Через обозначим нечеткое строгое отношение предпочтения с функцией принадлежности Если выполняется утверждение 8.1, то тогда, когда Если же выполняется утверждение 8.2, то тогда, когда Можно, конечно, найти какие-то частные условия согласования этих двух представлений нечеткого строгого отношения предпочтения. Но в общем случае они не согласованы. Поэтому имеет смысл определить множество четко недоминируемых решений (множество Парето), используя Для этого мы снова воспользуемся формулой (3) и получим следующее выражение:

Неясным только остается следующий момент. Являясь по существу строгим, отношение в общем случае не обладает свойством асимметрии. Возможно, оно обладает какой-то специальной асимметрией, которая не лежит на поверхности, не заметна с первого взгляда. Неясны в общем случае и взаимосвязи между Р и а также между То, что формулы (52) справедливы и для строгих (асимметричных) нечетких отношений предпочтения, сомневаться не приходится, поскольку, если функции выбора ) потребовать непустоту выбора (а это не влияет на конечные выводы), то отношение R, рассмотренное Бондаревой, будет асимметричным, то есть строгим.

Утверждение 8.3 .

Доказательство. Всегда выполняется В терминах нечетких отношений предпочтения это означает и для всех . Выполнение данного неравенства можно непосредственно проверить по формуле (1). Пусть Это означает, что . Следовательно, имеет место для всех . включая само На основе вышеприведенного неравенства получим, что для всех , включая само Следовательно, Поскольку обратное рассуждение неверно, а было выбрано произвольно, то что и требовалось доказать.

Это утверждение устанавливает взаимосвязь между множествами четко недоминируемых решений для одного нечеткого

отношения предпочтения, предложенными Орловским и Бондаревой. Из доказательству утверждения 8.3 видно, что Р должно быть нерефлексивным. То есть для всех Если же выполняется условие для всех рефлексивно, то есть для всех то наилучшими решениями будут те, для которых имеет наименьшее значение. Если же вспомнить, что во всех публикациях рефлексивность определяется как для всех то получим несколько парадоксальный результат: для всех Таким образом, и для R, в нечетком варианте — для надо предположить наличие некоторой асимметрии, хотя бы в том смысле, что оно нерефлексивно. Кстати, это следует непосредственно из определения R. Вернемся теперь к отношению предпочтения Ясно, что и на его основе можно сформировать все те формальные структуры, которые представлены в данной монографии. Часть результатов может быть непосредственно переформулировано для этого отношения предпочтения. Неясно, что брать в этом случае за степень превосходства решения над решением у. Но, скорее всего, это следующее выражение: . Поскольку при выделении Парето-эффективных структур нам не нужно значение этой разности, а только соотношения типа «больше» или «меньше», то будем считать его приемлемым для нас.

Определение 8.

Этому четкому отношению предпочтения соответствуют отношения: а также .

Утверждение

Доказательство. Мы должны показать, что то есть Напомним, что отношение предпочтения F было введено в разделе 2. Рассмотрим разность Если то получаем: . А это, в свою очередь, означает, что и тогда Пусть теперь Это означает, что Следовательно, При этом имеет место равенство и то есть Получили что и требовалось доказать.

Утверждение 8.5. .

Доказательство. Пусть оба множества четко недоминируемых решений непусты. Пусть также имеет место Это означает, что Что, в свою очередь, дает для всех включая само Следовательно, для всех включая на основе утверждения 8.4. Полученное неравенство означает, что не существует , включая само для которого выполнялось бы условие . Таким образом, имеет место . В разделе 2 было показано, что Поскольку было выбрано произвольным образом, то что и требовалось доказать.

Это несколько утверждений позволили нам установить взаимосвязь между Кроме того, утверждение 8.4 приводит нас к следующему заключению. Если быть последовательным и, используя формировать нечеткую многокритериальную модель принятия решений на основе , так как, мы это сделали для в , то она просто совпадает с моделью, представленной в в разделе 3 монографии. Отметим, что при введении степени превосходства и, особенно, в определении 8.1 использовано третье свойство асимметричности.

Таким образом, мы, по возможности, представили в заключении различные точки зрения на нечеткие многокритериальные задачи принятия решений. Существуют, конечно, и другие работы в этой области, формально непохожие на рассмотренные выше, но при более внимательном рассмотрении и в них используются эти же идеи. Это можно сказать и о зарубежных работах.

Как мы уже говорили, в монографии представлены только теоретические исследования в области нечетких многокритериальных задач принятия решений. Это связано с небольшим объемом монографии. За ее рамками остались многие интересные вопросы. Это вопросы формирования диалоговых процедур принятия решений, использующих при получении и обработке информации нечеткие категории; это вопросы построения функций принадлежности соответствующих нечетких отношений предпочтения (теоретический и практический аспекты); это вопросы использования рассмотренных моделей и структур в различных прикладных задачах с различными предметными областями, например, в экспертных

системах различного назначения и другие. По всем этим направлениям работа ведется в лаборатории «Теории принятия решений» Института кибернетики АН ГССР под руководством автора.

Тот большой интерес, который проявляют к нечетким многокритериальным задачам принятия решений ученые и практики, как в СССР, так и зарубежом, позволяет надеяться на прогресс в этой области уже в ближайшей будущем. Мы будем считать свою задачу выполненной, если монография послужит стимулом к комплексным и целенаправленным исследованиям и разработкам в этом новом научном направлении современной теории принятия решений — нечетких многокритериальных задачах принятия решений.