3.1. «Размытые» критерии эффективности

Аналогичный подход можно использовать и для случая «размытых» критериев эффективности. Он отличается от предыдущего тем, что с самого начала задаются не нечеткие отношения предпочтения, а нечеткие подмножества в X по терминологии Кофмана [33]. То есть задается набор функций принадлежности, определенных непосредственно на X, а не на парах решений:

Прежде, чем определять множество Парето для данной формулировки задачи выбора, поясним некоторые неформальные моменты. Для этого рассмотрим произвольный частный критерий эффективности . Пусть он будет типа «выигрыш», то есть ЛПР заинтересовано в его максимизации. Выделим в X следующее подмножество решений:

Мы можем ввести некоторое нечеткое подмножество связанное с ним, где — функция принадлежности решения подмножеству X. Естественно, предположить выполнение следующего условия:

которое отражает согласованность нечеткого подмножества с частным критерием эффективности При этом и тогда — диапазон шкалы -того частного критерия эффективности Очевидно, что имеет место также следующее равенство:

Формулы (19), (20) и (21) представляют процедуру «размывания» критериев эффективности в задачах принятия решений. Ясно, что в этом случае, чем больше значение функции принадлежности , тем предпочтительнее решение Этот принцип распространяют на все задачи принятия решения такого типа. Таким образом, мы имеем следующую ситуацию выбора (X, М), где — обычные нечеткие подмножества в X. Они соответствуют целям, которые ЛПР

хотелось бы достичь одновременно, если у него такая возможность имеется. Если в распоряжении ЛПР имеется такое решение (средство), которое позволяет достичь все целей, то это идеальный вариант. И само решение называем идеальным (утопическим [46]). Обычно в реальных ситуациях таких идеальных решений в X нет, и выбирают некоторое приемлемое компромиссное решение. Для оценки последнего на эффективность и определяется множество Парето, соответствующее конкретной задаче принятия решений. В рассматриваемой задаче поступаем следующим образом. Вводим четкое отношение предпочтения по формуле

Тогда формуле (18) соответствует векторное отношение предпочтения:

Определяем для этого отношения Парето - доминирование отношения предпочтения , а также соответствующее множество Парето Теперь любую процедуру выбора можно проверять на эффективность в смысле определения 3.3. Например, нетрудно показать, что известная процедура выбора Беллмана, Заде [73] эффективна.

«Размывание» критериев эффективности можно осуществить и другим, более естественным в аспекте задач принятия решений, путем. Сформируем некоторое нечеткое отношгние предпочтения, соответствующее -тому частному критерию эффективности:

где а и — постоянные числа. Потребуем выполнения условия . Это условие часто встречается в теории нечетких множеств. Тогда получим: Можно сделать и наоборот — потребовать выполнения последнего равенства. Тогда получим: . Коэффициент а определим из следующего условия: где — по-прежнему диапазон шкалы -того частного критерия эффективности.

Содержательно это означает, что для максимально разне сенных на шкале критерия решений степень предпочтения наибольшая. Из этого условия получаем, Таким образом, формулу (22) можно записать в следующем окончательном виде (при сделанных допущениях):

Последнее неравенство нетрудно проверить непосредственно. Введенному нечеткому отношению предпочтения на основе формулы (3) соответствует множество четко недоминируемых решений ).

Утверждение 3.2. .

Доказательство. Введенному нечеткому отношению предпочтения соответствует строгое нечеткое отношение предпочтения в соответствии с формулой (1):

Пусть . Это означает, что для всех включая само решение . Следовательно, для всех на основе формулы (19). Обратное рассуждение аналогично. Пусть . Это означает, что для всех , включая само решение Следовательно, для всех Поскольку решение было выбрано произвольно, то что и требовалось доказать.

Каждый критерий эффективности при помощи формулы (15) может быть представлен соответствующим отношением предпочтения причем Оно также согласованно с введенным нечетким отношением предпочтения ) в смысле определения 2.6. Так что доказать утверждение 3.2 можно было бы и этим путем, используя утверждение 2.5.

Введенное нечеткое отношение предпочтения является потенциальным в смысле определения 2.8, поскольку оно удовлетворяет условию (14). Это можно проверить непосредственно,

используя формулу (23). При этом потенциал совпадает с функцией принадлежности нечеткого множества определенной формулой (20). Действительно, имеем:

то есть Следует повторить, что отношение согласованности, введенное определением 2.6, можно ввести аналогичным образом и для двух четких отношений предпочтения, и для двух нечетких отношений предпочтения, а не только для смешанной пары отношений, как это сделано в определении 2.6. При этом остается справедливым утверждение 2.5. Это нетрудно показать.

Отношение согласованности двух отношений предпочтения является эквивалентностью, что непосредственно следует из определения 2.6. Таким образом, для рассматриваемой нами задачи выбора с «размыванием» критериев эффективности мы получили для одного частного критерия три согласованных отношения предпочтения: каждому из которых соответствует свое множество Парето: На основе утверждения 2.5 имеет место следующее равенство:

Следовательно, в аспекте выделения множества эффективных решений (множества Парето) эти три представления задачи принятия решений равноценны. Данный вывод справедлив и для задачи принятия решений по многим критериям эффективности, что мы покажем ниже.

Для многокритериальной задачи принятия решений тоже можно рассмотреть три взаимосвязанных представления: (X, и (X, М). Обозначения прежние: К—векторный критерий эффективности: Р—векторное нечеткое отношение предпочтения с компонентами определенными формулой (23); М—набор нечетких подмножеств в X функциями принадлежности, определенными формулой (20).

Как уже было отмечено раньше, для каждого из этих представлений существует свое Парето - доминирование:

а также соответствующие множества Парето:

Утверждение 3.3. .

Доказательство. Рассматриваемые отношения Парето - доминирования: согласованы в смысле определения 2.6. Это легко проверить их попарным сравнением. На основе утверждения 2.5 получим желаемое равенство;

что и требовалось доказать.

Этот результат важен по двум причинам. Во-первых, он в определенной степени обосновывает предложенный в разделе 3 подход по определению множества Парето для нечетких многокритериальных задач принятия решений, проводя аналогию их с многокритериальными задачами принятия решений. Последние в данное время достаточно хорошо и полно исследованы. Во-вторых. он подтверждает некоторую общность, единообразие вышеупомянутых представлений задачи принятия решений, а также путей сравнения и эффективного выбора решений для них.

Интересная дискуссия по этому поводу возникла на V межреспубликанском семинаре по исследованию операций и системному анализу (ORSA—5), проходившему в 1985 году в городе Кутаиси Грузинской ССР. Надо заметить, что традиционно проблематика этого семинара целиком посвящена различным аспектам многокритериальных задач принятия решений. Выступая на дискуссии, доктор физико - математических наук О. Н. Бондарева (ЛГУ) предложила для обсуждения очень интересный и острый вопрос, который прозвучал несколько парадоксально: «Есть ли нечеткость в нечеткости?» Между тем в этом вопросе содержится серьезная проблема. Дело в том, что в задачах принятия решений в нечеткой формулировке основная информация для сравнения решений содержится в соответствующих функциях принадлежности. Выделяя множество Парето, мы фактически эту информацию не используем. В алгоритмах сравнения решений по предпочтению используются отношения типа «больше», «меньше» или «равно» и совершенно не используются «на сколько» или «во сколько». В результате выделенное множество Парето является вполне четким подмножеством в X. Нечеткость как бы исчезает. Между

тем, если быть последовательным, то множество Парето следовало бы определить в форме нечеткого подмножества, да и информацию, содержащуюся в соответствующих функциях принадлежности, следовало бы использовать в полной мере. Все сказанное относится не только к определению множества Парето, но и к другим аспектам и задачам теории нечетких множеств в целом. Проблема, безусловно, важная: как сохранить нечеткость в нечеткости? Над ней еще предстоит подумать и поработать. Ниже мы изложим несколько соображений по этому вопросу, надеясь, что читатель не воспримет их как аргументы против вышеприведенной проблемы.

Прежде всего мы снова вернемся к частным критериям эффективности Вообще говоря, отношения типа «на сколько больше (меньше)» или «во сколько раз больше (меньше)» для них более осмысленны, чем для функций принадлежности, поскольку для последних такие сравнения условны, а критерии всегда задаются конкретной шкалой (отношений, разностей и др.). Таким образом, критерии эффективности тоже содержат значительно больше информации о решениях, чем используется при выделении множества Парето, когда сравнение решений осуществляется при помощи отношений типа «больше (меньше)», или «равно». Задание на множестве конкурсных решений X Парето - домикирорания и выделение множества Парето, которое играет существенную роль в задачах принятия решений, просто наводит на Л некоторую структуру. Дополнительная информация о критериях эффективности используется при формировании различных сверток векторного критерия и разработке процедур выбора. При этом наведенная на X структура контролирует эффективность сверток и процедур. Аналогичная ситуация имеет место и для нечетких многокритериальных задач принятия решений.

Естественным является желание определить множество Парето в виде некоторого нечеткого подмножества в соответствии с основной идеей теории нечетких множеств. Как оказалось первый шаг в этом направлении уже сделан Орловским [42, 62], правда, для случая одного нечеткого отношения предпочтения.

Пусть имеется задача принятия решений в виде Введем термин «нечеткое множество Парето

(НМП)» с соответствующим обозначением Тогда имеет место следующее равенство:

где определено формулой (2). Имеет смысл повторить здесь, что является функцией принадлежности решения множеству решений, недоминируемых строго ни одним включая само Конечно, в упомянутых работах все это изложено не в такой явной форме, но это не меняет сути дела. При этом решениям соответствует наибольшее значение функции принадлежности Этот факт позволяет нам выяснить место и роль четкого множества Парето (множества четко недоминируемых решений) в нечеткой задаче принятия решений. Оно является предельным случаем нечеткого множества Парето или, если быть более точным, есть расширение и включает его в себя, точно также, как понятие нечеткого множества является расширением понятия обычного множества. В данный момент мы не знаем, как будет введено нечеткое множество Парето для нечетких многокритериальных задач принятия решений, но один момент ясен; оно должно быть расширением включать его в себя в качестве предельного случая.

Еще одним аспектом этой же проблемы является действие, поведение. Существует высказывание: «Знание эффективно, если оно является основой для действия». Без преувеличения можно сказать, что это основной принцип в проблематике принятия решений. С одной стороны, имеется информация, знание; с другой стороны — действие, поведение. Процесс принятия решений является тем «мостиком», который связывает информацию с поведением. Если при получении и переработке информации, включая выбор приемлемого компромиссного решения, мы правомочны использовать нечеткие категории, суждения и даже выводы, то, по нашему представлению, действие по самой своей сущности не может быть нечетким. То есть, начиная действовать, человек все же должен выбрать одно конкурсное решение для дальнейшей реализации. Во всех работах по практическому использованию нечетких представлений, категорий, алгоритмов, методов обычно выбирают то решение, для которого значение соответствующей функции принадлежности достигает наибольшего значения — считают, что» оно лучше остальных. И тут на первый план снова выходит четкое множество Парето (множество четко недоминируемых

решений) Получается, что нечеткое множество Парето представляет только теоретический интерес, а для практики достаточно четкого множества Парето. Это справедливо, если

Если же имеет место что вполне возможно для некоторых практических задач, тогда основным инструментом для оценки эффективности выбора становится именно нечеткое множество Парето , на основе которого вводятся рассмотренные нами раньше множества -недоминируемых решений.

Еще одним существенным источником четкости в моделях принятия решений при нечеткой исходной информации является ЭВМ, которая пока, к сожалению, не работает с нечеткими категориями. Все нечеткие модели принятия решений при реализации на ЭВМ описываются вполне четкими алгоритмами — вынужденная необходимость. И этот момент тоже необходимо учитывать.