5. ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ВЕКТОРНОГО НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Представим еще одну, несколько отличную от ранее рассмотренных, модель принятия решений, которая называется лексикографической в соответствии с основным принципом выбора, используемым в ней. Принцип этот используется про упорядочении чисел в позиционной записи и лексического материала в словарях. В многокритериальных задачах принятия решений лексикографическая модель выбора разработана довольно хорошо и полно, благодаря работам В. Подиновского [44]. В нечетких многокритериальных задачах принятия решений эта модель не рассматривалась. Впервые опубликована автором в работе [15].

Рассмотрим задачу принятия решений в виде векторное нечеткое отношение предпочтения. Его компоненты являются обычными (одномерными, скалярными) нечеткими отношениями, предпочтения с функциями принадлежности Будем считать, что эти компоненты лексикографически упорядочены, причем чем больше значение индекса (номера) , тем «важнее» (предпочтительнее) соответствующее НОП. Последнее положение общности схемы не нарушает, поскольку всегда можно сначала упорядочить НОП по «важности», а затем перенумеровать их с конца к началу. Прежде всего следует определить нечеткое лексикографическое отношение предпочтения. Определение это должно основываться на традиционной (классической) лексикографической схеме выбора и быть ее расширением. Для начала определим строгую часть этого отношения предпочтения.

Определение 5.1. Нечеткое строгое лексикографическое отношение предпочтения с функцией принадлежности определено на множестве конкурсных решений X, если выполняется одно из следующих условий:

При этом где - номер строчки (условия), на которой закончилось сравнение решения х с решением у.

Несколько пояснений к данному определению. Сравнивается пара конкурсных решений Сравнение идет по самому «важному» НОП Если на этом шаге решения х и у оказались равноценными, то для сравнения используется следующее по «важности» НОП. И так далее, пока не выполнится одно из приведенных условий. Сравнение прекращается как только условие строгой предпочтительности решения решению у выполнится в первый раз. При этом оставшиеся НОП

в сравнении решений больше не используются. Результат полу чается в виде с соответствующим значением функции принадлежности

Для некоторой конкретной пары решений () может оказаться, что для всех .

Определение 5.2. Если в лексикографической модели выбора при сравнении пары решений окажется, что ) считаем лексикографически равноценными.

Объединяя определения 5.1 и 5.2, можно окончательно ввести нечеткое лексикографическое отношение предпочтения в виде Строгая часть его задается определением 5.1 в виде , а соответствующее отношение равноценности — определением 5.2 в виде с функцией принадлежности

Последнее равенство интуитивного характера. Возможно, что его можно задать и другим способом, например,

Для нас важно то, что это не влияет на основную лексикографическую структуру предпочтений, наведенную на X отношением

Таким образом, если компоненты векторного нечеткого отношения предпочтения лексикографически упорядочены, то его можно заменить одним скалярным нечетким отношением предпочтения, а именно, нечетким лексикографическим отношением предпочтения. Для последнего по формуле (3) можно определить множество четко недоминируемых решений (множество Парето) в виде Однако, чтобы задать нечеткое лексикографическое отношение предпочтения в виде некоторой таблицы, фактически надо, используя определения 5.1 и 5.2, сравнить между собой все пары решений ) Для практических задач это не самый лучший способ, особенно если X содержит много конкурсных решений. Поэтому обычно вводят свертки ВНОП, в какой-то степени описывающие лексикографическую структуру предпочтений на X. При этом, если X конечно, то наиболее приемлемой для этой цели оказывается линейная свертка ВНОП, рассмотренная в предыдущем разделе. Точнее говоря, некоторый

специальный вид линейной свертки, с функцией принадлежности, представленной ниже:

Лексикографические коэффициенты подобраны специальным образом. Существуют специальные методы расчета этих коэффициентов, например, в работах [14,44]. Их нетрудно распространить на нечеткие задачи принятия решений. Именно эти коэффициенты позволяют описать структуру лексикографических предпочтений на множестве конкурсных решений X. Если ввести обозначение то выполняется условие при любом методе расчета лексикографических коэффициентов, ибо они всегда неотрицательны, а нормировать на единицу их нетрудно. Рассматривать конкретные методы расчета этих коэффициентов мы не будем. Для линейной свертки, заданной формулой (32), всегда можно по формуле (3) определить множество четко недоминируемых решений в виде ). Имеет место очень важный результат, аналогичный результату для классической лексикографической модели:

Утверждение 5.1. .

Доказательство. Вспомним, что выполняется следующее равенство:

где введено следующее обозначение:

Пусть Это означает, что для всех выполняется равенство или, что тоже самое, Рассмотрим сначала те у, для которых выполняется равенство. Одновременное выполнение равенств влечет для всех

В результате получим Рассмотрим теперь те у, для которых выполняется строгое неравенство. Это говорит о том, что начиная с первая отличная от 0 функция принадлежности положительна, то есть для некоторого имеет место При этом она обязательно есть. Лексикографические коэффициенты , построены таким образом, что обязательно будет выполняться и, следовательно, Таким образом, мы получили, что равенство для всех это означает Проведем теперь обратное рассуждение. Пусть Это значит, что имеет место равенство или, что тоже самое, для всех Рассмотрим сначала те решения у, для которых справедливо равенство, то есть одновременно выполняются Это влечет Коэффициенты подобраны таким образом, что выполнится для всех . Следовательно, получим

Рассмотрим теперь те у, для которых имеет место строгое неравенство. Получаем Значит в этом случае имеются отличные от 0 члены. При этом первая ненулевая компонента, скажем, начиная от в обратном порядке, обязательно положительна. Это опять из-за свойств лексикографических коэффициентов . То есть имеем и, следовательно, Мы получили, что для всех Это означает, что Поскольку было выбрано произвольно, то что и требовалось доказать.

Изучим вопрос транзитивности лексикографического отношения предпочтения.

Утверждение 5.2. Если все компоненты векторного отношения предпочтения , транзитивны, то и лексикографическое отношение предпочтения , заданное определениями 5.1 и 5.2, транзитивно в смысле условия квазисерийности.

Доказательство. Рассмотрим наиболее общий случай. Пусть - номера условий, когда окончилось сравнение пар решений . При этом не имеет значения, какой индекс больше. Если Если использовать условие квазисерийной транзитивности в первом случае — для а во втором случае — для то получим либо либо соответственно. А это означает, что что и требовалось доказать.

Нетрудно также показать, что и линейная свертка , заданная формулой (26), транзитивна как в смысле определения 2.5, так и в смысле условия квазисерийности, если все компоненты транзитивны в том же смысле, в частности, транзитивна лексикографическая свертка, заданная формулой (32).

Выделим в X некоторые специальные подмножества:

или, что тоже самое,

Это множество решений, лексикографически равноценных решению в смысле определения 5.2. Возможно, неразличимых с при данном уровне информации (ведь информация неполная).

Утверждение 5.3. В находятся только лексикографически равноценные решения в смысле определения 5.2, если транзитивно в смысле условия квазисерийности.

Доказательство. Фактически достаточно доказать, что для произвольного справедливы следующие два момента: 1. Если Начнем с первого. Очевидно, что в этом случае имеет место

С другой стороны, имеет место равенство для всех в частности, В соответствии с формулой (33) это означает, что ). Рассмотрим теперь второй

момент. Очевидно, что равенство по-прежнему справедливо. Это означает, что Поскольку транзитивно, то и внешне устойчиво. Следовательно, найдется в нем такое решение , для которого справедливо Причем это уже доказано.

Условие квазисерийной транзитивности дает Это означает, что что и требовалось доказать.