2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ (НОП): НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА, ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ

Так получилось, что любая научная или практическая работа, использующая нечеткие категории, обычно начинается с изложения основных идей, понятий и результатов теории нечетких множеств [71]. Учитывая тот факт, что за последнее время в этой области у нас опубликованы капитальные монографии, такие как Кофмана [33], Орловского [42] авторского коллектива [41], Кузьмина [31], Борисова [4] и другие, мы решили

нарушить эту традицию. Считая, что читатель знаком с этими работами, мы приведем только те понятия, свойства, результаты из теории нечетких множеств, которые представляют интерес для описания и исследования задач принятия решений.

Так получилось исторически, что универсальным математическим инструментом для описания и изучения задач принятия решений, наиболее естественно и адекватно описывающим их, стали бинарные отношения. Для подтверждения этого можно привести вышеназванные монографии, а также работы Березовского [79], Ларичева [37], Подиновского [43] и много других — советских и зарубежных. Более того, именно современная теория принятия решений стала изучать новые нетрадиционные классы бинарных отношений и их свойства. Иллюстрацией этого может стать сборник под названием «Нетрадиционные отношения предпочтения для принятия решений», издаваемый в 1988 году Институтом системных исследований в Варшаве, в котором будут представлены статьи многих известных специалистов по принятию решений. Это, конечно, не означает, что другие способы описания задач принятия решений неприемлемы, например, «критериальное пространство» [43], функции выбора [1,49] и другое. Нечеткие многокритериальные задачи принятия решений не являются исключением в этом смысле. Поэтому мы начнем с описания нечетких отношений предпочтения. Исходное множество конкурсных решений обозначим через X, а множество всех упорядоченных пар решений через Тогда нечеткое отношение предпочтения задается парой Не нарушая общности, будем считать X конечным, и Число является степенью принадлежности пары решений (х, у) некотором четкому подмножество , которое есть обычное бинарное отношение предпочтения по Фишберну [49]. Обычно значок R приписывается в качестве индекса степени принадлежности в виде У). Но мы для простоты изложения будем опускать его, когда это не приведет к недоразумению. Каждому нечеткому отношению предпочтения можно сопоставить следующие нечеткие отношения предпочтения: обратное — равноценности (толлерантности) — Р и строгое — (асимметричное), с соответствующими функциями принадлежности:

и

Отношение равноценности рефлексивно, то есть если оно непусто. Отношение строгого предпочтения асимметрично, то есть, если то Обратное отношение обладает теми же свойствами, что и исходное (двойственность). Это нетрудно доказать. Некоторые авторы интерпретируют функцию принадлежности как степень, силу предпочтения решения решению у по R. Мы думаем, что в этом нет криминала. Наоборот, такая содержательная интерпретация формального построения помогает в некоторых рассуждениях.

Для задач принятия решений очень важны следующие понятия, впервые введенные Орловским [42, 62]:

Это функция принадлежности решения подмножеству решений, недоминируемых ни одним включая само

Это множество четко недоминируемых решений в X. В общем случае оно может оказаться и пустым. Очевидно, что является четким подмножеством в X.

Определение 2.1. Если для некоторой пары решений имеет место условие то назовем их равноценными.

Следующее утверждение покажет, что мы не случайно называем их равноценными.

Утверждение 2.1. Чтобы необходимо и достаточно выполнения условия

Доказательство. Пусть Тогда этой паре решении соответствует значение функции принадлежности Причем из определения этой функции следует Откуда сразу получается условие Теперь обратное рассуждение. Если для некоторой пары решений выполняется условие то это означает, что Следовательно, , поскольку в этом случае что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь некоторые свойства введенного ранее множества четко недоминируемых решений. Следующие два определения сформулированы по аналогии с многокритериальным задачами принятия решений.

Определение 2.2. Решение назовем максимальным в X в соответствии с НОП Р, если не существует такого включая само для которого выполнялось бы условие что соответствует

Определение 2.3. Множество всех максимальных элементов в X по отношению Р назовем множеством Парето и обозначим через

Отметим, что это множество эффективных решений. Любой выбор мы дожны осуществлять из этого множества, если хотим, чтобы процедура, правило, принцип выбора были эффективными. Множество фактически является ядром отношения предпочтения Р в общепринятом смысле. И если мы его называем множеством Парето, то это только дань многокритериальным задачам принятия решений. Кроме того, нам кажется, что под таким названием очевиднее становится смысл

Утверждение 2.2

Доказательство. Пусть . Это означает, что в соответствии с формулой (3) и, следовательно, для всех , включая само Таким образом, не существует , для которого выполнялось бы условие . В соответствии с определениями 2.2 и 2.3 это означает, что Обратное рассуждение проводится аналогичным образом. Пусть Это означает, что не существует включая само для которого выполнялось бы условие Следовательно, для всех , что и требовалось доказать.

Следует отдать должное научной интуиции С. Орловского — фактически он впервые ввел множество Парето для нечетких задач принятия решений, правда, для случая одного НОП.

Таким образом, задача принятия решений описывается парой причем для оценки конкретного правила выбора на эффективность используется , которое по существу является множеством Парето.

Следует отметить, что понятие множества Парето впервые было сформулировано для многокритериальных задач принятия решений, когда сравнение двух решений осуществляется на основе векторного критерия, или, что тоже самое, на основе многих отношений предпочтения. Но в последнее время это понятие используется и для одного отношения предпочтения [14, 15]. Выше

был изложен именно такой случай, для одного нечеткого отношения предпочтения.

Чтобы изучить еще некоторые полезные для задач принятия решений свойства нам понадобятся дополнительные сведения.

Определение 2.4. Некоторое подмножество назовем внешне устойчивым, если для любого найдется такое что будет иметь место условие то есть

Определение 2.5. Нечеткое отношение предпочтения Р транзитивно, если выполняется условие

Известно, что транзитивность для НОП не определяется однозначно. Более того, предложенные многими авторами определения подвергаются сомнению и справедливой критике. Поэтому следует более подробно изложить нашу позицию по этому вопросу. Данное определение мы ввели под влиянием работ Орловского [42] и Батыршина [2]. При этом были учтены следующие соображения. Прежде всего это то, что формула максиминной транзитивности в предельном случае эквивалентна обычной транзитивности четкого отношения предпочтения. «Равенство» вместо общепринятою «не меньше» мы использовали по следующему соображению. Если для всех окажется, что либо либо либо оба вместе, то разумно предположить, что и Во-вторых, в отношениях предпочтения за транзитивность обычно ответственна строгая часть отношения предпочтения, то есть Это надо понимать так, что можно разбить исходное множество X на классы эквивалентности и на них ввести строгое отношение предпочтения, которое совпадает с Учтено также, что при помощи можно описать и равноценность решений (утверждение 2.1). И в третьих, данное определение прошло апробацию на материале данной монографии. Конечно, все сказанное не означает, что это определение идеально и вопрос о транзитивности в теории нечетких множеств снят. Это просто рабочее определение, которое, скорее всего, тоже подвергнется критике. Но определенные, достоинства у него есть.

В работе Батыршиным приведено несколько определений транзитивности нечетких отношений предпочтения. Некоторые из них, которые мы тоже используем в данной монографии, представлены ниже:

1. Слабая транзитивность:

2. Сильная транзитивность:

3. Квазисерийность:

4. Линейная транзитивность:

5. Обычная транзитивность:

Все эти определения транзитивности в какой-то мере взаимосзязаны с определением 2.5. Мы не будем подробно исследовать эту взаимосвязь, хотя это и интересный вопрос. Некоторые аспекты ее будут выявляться в процессе доказательств некоторых утверждений.

Утверждение 2.3. Если X конечно, а Р транзитивно в смысле определения 2.5, то соответствующее и внешне устойчиво.

Доказательство. Из определения 2.5 следует следующее условие: если хотя бы для одного . То есть слабая транзитивность имеет место. Возьмем произвольное решение . Если не найдется такого решения , для которого выполняется и, следовательно, . Рассмотрим другую возможность, когда нашлось решение , для которого имеет место Следовательно, Для решения у тоже имеется две возможности. Мы сразу перейдем ко второй, поскольку первая ясна — она снова приводит нас к непустому множеству четко недоминируемых решений. Пусть нашлось

решение для которого выполняется Отсюда следуют следующие неравенства Таким образом, решения выстраиваются в цепочку по предпочтению, причем одно решение не может появиться в цепочке дважды, поскольку нарушится условие транзитивности (определение 2.5). Цепочек может быть несколько, они могут разветвляться. При этом каждое конкурсное решение будет элементом хотя бы одной цепочки, с учетом вырожденного случая, когда цепочка состоит из одного элемента. Из-за конечности X число решений в каждой цепочке конечно, то есть каждая цепочка обрывается. Это означает, что для последних элементов в цепочке нельзя найти решений в X, доминирующих их по то есть они являются максимальным решениями по отношению Р в смысле определения 2.2 и . Вторая часть утверждения тоже справедлива. Каждое решение входит хотя бы в одну из цепочек, которая заканчивается максимальным элементом, скажем, Из-за транзитивности Р сразу получаем неравенство Таким образом, внешне устойчиво согласно определению 2.4, что и требовалось доказать.

Утверждение 2.4. Решения в равноценны в смысле определения 2.1.

Доказательство. Рассмотрим пару решений Это означает, что для всех в том числе, и для решения у. То есть . Проведя аналогичное рассуждение, получим для всех в том числе, и для решения То есть это и есть условие равноценности решений х и у в смысла определения 2.1, что и требовалось доказать.

Пусть имеется два различных нечетких отношений предпочтения Индексы означают, что им соответствуют различные подмножества пар решений: и . Для каждого из этих НОП можно определить множество четко недоминируемых решений: где — функция принадлежности отношения — функция принадлежности отношения Возникает вопрос, как взаимосвязаны их множества четко недоминируемых решений? Следующее утверждение дает ответ на него.

Утверждение 2.5. Заданы два НОП Пусть выполняется включение Тогда имеет место

Доказательство. Рассмотрим два четких подмножества: Пусть Тогда найдется такое решение для которого выполняется Условие на языке теории нечетких множеств означает выполнение следующего неравенства: для всех пар решений . Поэтому имеет место неравенство Следовательно, . Поскольку решение было выбрано произвольно, то . Из определения этих подмножеств следует что и требовалось доказать.

Основным объектом исследования в данной монографии являются нечеткие многокритериальные модели принятия решений. Причем одной из задач, которую нам предстоит решить, это определение множества Парето для данного класса задач принятия решений. К сожалению, формулы (2), (3) не могут быть использованы для этой цели. Необходим другой подход. Поэтому сейчас мы изложим результаты, которые дальше понадобятся нам непосредственно для. определения множества Парето в нечетких многокритериальных задачах принятия решений.

Определение 2.6. Два отношения предпочтения: четкое — R и нечеткое — Р согласованны, если выполняется следующее условие:

Утверждение 2.6. Следующее равенство имеет место для согласованных отношений предпочтения (четкого — R и нечеткого — Р):

Доказательство. Пусть Это означает, что не существует такого решения для которого выполнялось бы условие Таким образом, имеет место для всех включая само . На основе определения 2.6 имеем, для всех и, следовательно, Пусть теперь Это означает, что и для всех Снова используя определение 2.6, получаем для всех Следовательно, не существует в X решения, для которого выполнялось бы что и требовалось доказать.

По аналогии с определением 2.6 можно определить согласованность двух четких отношений предпочтения или двух нечетких отношений предпочтения. Причем и для этих случаев будет справедливым утверждение 2.6.

Определение 2.7. Введем некоторое четкое отношение предпочтения:

где

Оно соответствует нечеткому отношению предпочтения Р, функцию принадлежности которого мы использовали в определении. Величина является скалярной функцией, определенной на Е. Она — кососимметричная функция, то есть имеет место Содержательно эта функция представляет собой один из вариантов степени превосходства решения над решением у, рассмотренной нами в работе [15], обладает многими хорошими свойствами, которые будут полезны и в данном контексте. В теории нечетких множеств не имеет никакого смысла само по себе. Однако она связана с формулой (1). Если известна величина , то очень нетрудно определить Между тем бывает удобным при доказательстве некоторых результатов использовать именно степень превосходства и лишь в самом конце переходить к чтобы окончательный результат имел смысл в рамках теории нечетких множеств. Этим обусловлено введение в расчеты величины

Для введенного четкого отношения F можно сформировать [15] следующие отношения: а также множество Парето Подробно эти отношения не расписываем — это нетрудно сделать самому читателю.

Утверждение 2.7. Отношение предпочтения F согласовано с НОП Р в смысле определения 2.6 и на основе утверждения 2.6 имеет место

Доказательство этого утверждения не представляется трудным и поэтому здесь не приводится.

Нетрудно также показать, что F транзитивно, если Р транзитивно в смысле определения 2.5 и наоборот.

Рассмотрим теперь еще один аспект, касающийся множества четко недоминируемых решений — он связан с -уровневыми

нечеткими моделями принятия решений. Надо отметить, что этот вопрос изучался Орловским [42], но несколько в ином плане. На основе степени превосходства введем некоторое четкое ровневое отношение предпочтения:

где а все остальные обозначения сохранены. Это несвязное, асимметричное (строгое) отношение предпочтения при и связное, нестрогое при Очевидно, что заданное определением 2.7. Формула (9) задает целый набор отношений предпочтения, вложенных одно в другое в следующем смысле:

где Каждому из этих отношений предпочтения соответствуют свои множества Парето, которые мы обозначим через . В общем случае эти отношения предпочтения могут быть нетранзитивными: все, или какая-то часть из них. Поэтому в общем случае некоторые множества Парето могут оказаться пустыми. Известно, что эти множества Парето вложены друг в друга в обратном порядке [15]:

Введем также следующие множества -недоминируемых решений:

где Очевидно, что

Утверждение 2.8.

Доказательство. Пусть . Пусть также . Это означает, что не существует решения для которого выполнялось бы Отметим, что в этом случае строгое отношение предпочтения. Следовательно, имеет место неравенство для всех включая само Используя его, получаем неравенство шах и неравенство Пусть теперь Это означает и, следовательно, Отсюда непосредственно следует для всех . Таким образом, не существует такого решения для которого выполнялось бы . А это означает, что . Поскольку было выбрано произвольно, то что и требовалось доказать.

Аналогичный результат для был доказан раньше (утверждение 2.7).

Утверждение 2.9. Если

Доказательство. На основе утверждения 2.8 имеет место что и требовалось доказать.

Этот результат важен для задач выбора.

Как мы уже отмечали выше, в общем случае множество четко недоминируемых решаний может оказаться пустым — не из чего делать выбор. Это класс задач принятия решений с пустым множеством Парето, впервые рассмотренный автором в работах [15, 76, 78]. С такими задачами мы можем встретиться в реальности, на практике, а не только в теоретических исследованиях. Как осуществлять выбор в такой ситуации? В рассмотренной задаче надо понижать порог (уровень) доминирования до тех пор, пока одно из множеств -недоминируемых решений окажется непустым. В определенном смысле оно «ближе» других к множеству четко недоминируемых решений (множеству Парето). Таким образом, в общем случае для произвольного нечеткого отношения предпочтения в качестве множества Парето надо брать следующее множество -недоминируемых решений:

при дополнительном условии .

При этом всегда имеет место ), если последнее непусто, то есть выполняется условие эффективности выбора для задач принятия решений с пустым множеством Парето [78].

Рассмотрим еще один аспект задач принятия решений при наличии одного нечеткого отношения предпочтения. Как мы убедились в них важную роль играет степень превосходства:

Определение 2.8. Нечеткое отношение предпочтения Р с функцией принадлежности назовем потенциальным, если его можно представить в виде;

где является некоторой скалярной функцией, определенной на X. Функцию назовем «потенциалом».

Введем некоторое условие, которое для конкретного нечеткого отношения предпочтения может выполняться, или не выполняться. Это следующее условие:

для всех Аналогичное условие для вероятностей предпочтения было введено нами в работе [77]. Это условие метрической транзитивности НОП.

Утверждение 2.10. Если для некоторого нечеткого отношения предпочтения Р с функцией принадлежности выполняется условие (14), то оно является потенциальным в смысле определения 2.8.

Доказательство. Условие (14) вместе с формулой (13) дают нам следующее свойство степени превосходства ) для всех троек . После чего, применяя несложные преобразования, получим:

где Если коэффициенты не могут быть заданы из-за отсутствия дополнительной информации, то можно считать их всех равными — если в X находится решений. Доказательство закончено.

Потенциальные нечеткие отношения предпочтения играют важную роль в задаче представления произвольных нечетких отношений предпочтения транзитивными нечеткими отношениями» наиболее близкими к ним в определенном смысле. Дело в том, что условие (14) гарантирует транзитивность нечеткого отношения предпочтения в смысле определения 2.5. И соответствующее транзитивное приближение произвольного нечеткого отношения предпочтения ищут в классе потенциальных нечетких отношений

предпочтения. Более подробно с этими вопросами можно познакомиться в работах [38,80].

Все рассмотренные свойства нечетких отношений предпочтения понадобятся нам при изучении нечетких многокритериальных задач принятия решений, к чему мы сейчас и переходим.