3. НЕЧЕТКИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

В этом разделе мы представляем сравнительно новый класс задач принятия релеиий, полученный путем объединения идей нечеткости и многокритериальности. Нам понадобятся некоторые определения, понятия, результаты из современной теории многокритериальных задач принятия решений, которые мы и приводим ниже.

В своей классической формулировке многокритериальные задачи принятия решений описываются парой (X, К), где X — по-прежнему множество конкурсных решений, а - векторный критерий эффективности, он представляет собой набор скалярных функций, именуемых частными критериями эффективности [43]:

Именно поэтому эти задачи принятия решений называются многокритериальными. Не нарушая общности, будем ститать, что все частные критерии эффективности являются критериями типа «выигрыш».

Естественным путем вводится Парето-доминирование и на основе его множество Парето . Последнее используется для оценки различных процедур выбора на эффективность, в том числе, и различных сверток векторного критерия, например, линейной:

где

Коэффициенты при этом интерпретируются как «важность», «сила» частных критериев эффективности.

Для нас интерес представляет другая, более общая формулировка этой задачи, а именно: где Назовем его векторным отношением предпочтения (ВОП). Каждая компонента его есть обычное отношение предпочтения: . В общем случае это могут быть произвольные бинарные отношения, пока никаких ограничений на их свойства не накладываем. Очевидно, что частные критерии эффективности (компоненты векторного критерия эффективности) нетрудно представить соответствующими отношениями предпочтения:

Поскольку — скалярные функции, определенные на X, то являются линейными (связными) квази - порядками.

Парето-доминирование вводится следующим образом: Ему соответствуют отношения предпочтения а также (исходное, основное множество Парето). Множество и внешне устойчиво, если X конечно, транзитивно. Отношение Парето - доминирования транзитивно, если все транзитивны. Если все связны, то может оказаться и несвязным отношением. Поиск приемлемого по Саймону компромиссного решения надо вести в если хотим, чтобы соответствующая процедура выбора была эффективной.

Но в общем случае может оказаться, что либо если (случай нечувствительного набора критериев, или отношений предпочтения). Выбор и в этом случае надо делать, хотя неясно, как выбирать. Кроме того, даже если непусто, оно может содержать необозримо много решений. Хотелось бы, основываясь на каких-либо принципах, выделить из Х некоторое его подмножество, содержащее небольшое число решений, и уже окончательный выбор компромиссного решения

осуществить в нем. Для этого вводят и изучают различные свертки векторного отношения в следующем виде:

Это условная запись, она означает, что существует некоторая процедура (последовательность действий, преобразований и другое), которая, используя ВОП R, формирует обычное отношение предпочтения R. Некоторые авторы требуют, чтобы при этом выполнялось

Следует отметить, что «сверткой» называют как саму процедуру П, так и ее конечный результат R. Вообще говоря, любые правила, процедуры, методы выбора это свертки в вышеприведенном аспекте, разве что в некоторых процедурах R не выделено в явном виде, выделяется только его ядро , поскольку практически именно оно представляет интерес для эффективного выбора. Учитывая все вышесказанное, определим эффективность сверток.

Определение 3.1. Некоторая свертка R векторного отношения предпочтения R эффективна, если когда

Например, приведенная выше линейная свертка векторного критерия эффективности является эффективной для всех резрешенных значений . Даже больше, она эффективна, если выполняется только условие . Нормировку на единицу мы включили как дополнительное условие, которое будет необходимо нам дальше, при изучении нечетких многокритериальных задач принятия решений, к изложению которых мы переходим.

Нечеткость в многокритериальные модели принятия решений разные авторы включают по-разному. Например, берут линейную свертку и «размывают» коэффициенты важности После этого формируют и обосновывают алгоритмы выбора для этой новой ситуации. По-видимому для каких-то реальных задач такой подход оправдан — информацию для расчета коэффициентов обычно получают путем опроса экспертов и она носит нечеткий характер, как многие суждения и оценки людей, пусть даже компетентных. «Размывают» частные критерии эффективности и затем применяют известный метод Веллмана, Заде [73], который фактически

является не чем иным, как широко распространенный максиминной сверткой. Используются и другие, часто очень остроумные свертки, оправданные той предметной областью, для которой модель создается. Однако, при этом нет общности подходов, нет целенаправленности — многокритериальность исчезает уже на первом шаге исследования, в момент использования конкретной свертки, и далее изучается скалярная задача принятия решений. Все это усугубляется тем, что нет возможности оценить эффективность введенных сверток, кроме чисто эмпирических путей. При этом часто сам исследователь выступает в роли оценщика. Учитывая тот факт, что теория многокритериальных задач принятия решений в настоящее время достаточно полно и хорошо разработана, мы взяли ее за основу при разработке нечетких многокритериальных моделей принятия решений, сохранив до конца их многокритериальную структуру и определив место и роль конкретных сверток при выборе. Получилась достаточно стройная, обоснованная и общая модель. Но мы не думаем, что она является конечной и идеальной, у нее тоже обнаружатся свои недостатки, но есть и определенные достоинства. Нечеткие многокритериальные задачи принятия решений — это практически новая область исследований в современной теории принятия решений. Понадобится еще много времени и работы, чтобы довести ее до совершенства. Область интересная, важная, как в научном плане, так и в прикладном.

Нечеткая многокритериальная задача принятия решений представляется парой . Назовем Р векторным нечетким отношением предпочтения (ВНОП). Его компонентами являются обычные (одномерные или скалярные) отношения предпочтения, рассмотренные в предыдущем разделе. В первую очередь мы хотели бы определить аналог множества Парето для этой задачи и изучить его свойства. Здравый смысл подсказывает, и некоторые авторы так и делают, надо ввести аналог Парето - доминирования в виде и далее выделить множество четко недоминируемых решений по формуле (3). Возможно, такой подход правомерен. Некоторые аспекты его были рассмотрены и нами в работе [14]. Но с другой стороны, с позиции многокритериальных задач принятия решений ) является просто одной из многочисленных сверток ВНОП. Поэтому мы избрали другой подход для определения множества четко недоминируемых решений по всему

вектору Р, которое мы обозначим через Вспомним, что каждому нечеткому отношению предпочтения можно сопоставить четкое отношение предпочтения согласованное с ним в смысле определения 2.6. Тогда на основе Р мы можем сформировать некоторое четкое векторное отношение предпочтения в виде:

Для этого векторного отношения предпочтения обычным образом определяются: Парето-доминирование а также соответствующее множество Парето

Определение 3.2. В качестве множества четко недоминируемых решений по всему векторному отношению предпочтения Р будем брать то есть

Таким образом, множеству четко недоминируемых решений по отношению Р, введенному этим определением, предназначено выполнять функции множества Парето в нечетких многокритериальных задачах принятия решений, представленных в виде (X, Р). По существу оно им и является. Называя его множеством четко недоминируемых решений, мы просто следуем термину Орловского [62], который в настоящее время принят в среде ученых, занимающихся нечеткими задачами принятия решений.

Определение 3.3. Правило, процедура, метод выбора эффективны, если выделенные при помощи их решения X находятся в

Изучим теперь основные свойства введенного определением 3.2 множества четко недоминируемых решении по ВНОП Р. В общем случае оно может оказаться и пустым. Надо выявить условия, когда непусто, а также внешне устойчиво.

Утверждение 3.1. Если каждая компонента , векторного нечеткого отношения предпочтения Р транзитивна в смысле определения 2.5, то и внешне устойчиво.

Доказательство. Если транзитивно в смысле определения 2.5, то и соответствующее ему и согласованное с ним четкое отношение (определение 2.7) также транзитивно в обычном смысле. Посколку все транзитивны, то транзитивно и соответствующее Парето-доминирование . Последнее гарантирует непустоту и внешнюю устойчивость множества а, следовательно, и совпадающего с ним что и требовалось доказать.