4. ЭФФЕКТИВНЫЕ СВЕРТКИ ВЕКТОРНЫХ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Снова рассмотрим нечеткую многокритериальную задачу принятия решений (X, P) . Начиная поиск приемлемого компромиссного решения, прежде Бсего выделяем множество четко недоминируемых решений . В данном разделе будем считать, что оно непусто. В соответствии с изложенными раньше принципами выбор компромиссного решения должен осуществляться из этого множества. В общем случае может содержать довольно много решений. ЛПР может оказаться не в состоянии всех их обозреть, сравнить между собой и выбрать удовлетворяющее его решение. Тогда возникает необходимость в разработке процедур принятия решений (процедур выбора). Такая необходимость возникает и в случае, когда Х невозможно выделить технически, то есть оно существует, непусто, но математические средства не позволяют выделить его в явном виде. Процедур выбора можно создать (сформировать) очень много. Каждая из них может иметь свои достоинства и недостатки. Не вдаваясь в детали, мы все процедуры выбора делим на два класса: эффективные и неэффективные, причем первый класс для нас, естественно, более интересен. Для всех эффективных процедур выбора есть одна общая, характерная для них черта: все они в той или иной степени «сужают» исходное множество Парето . Более точно, они выделяют в исходном множестве Парето некоторое подмножество, из которого ЛПР должно сделать окончательный выбор. В многокритериальных задачах принятия решений существует обширный класс процедур выбора, основанных на скаляризации векторного критерия эффективности. В них обычно используется некоторый обобщенный критерий [43], который по существу является сверткой векторного критерия эффективности. В математическом плане обобщенный критерий представляет собой скалярную функцию, определенную на критериальном

риальном пространстве (на области значений частных критериев эффективности). Компромиссное решение предлагается выбирать из множества решений, для которых обобщенный критерий достигает оптимума. Мы уже знаем, что это множество есть не что иное, как множество Парето отношения, соответствующего этому обобщенному критерию на основе формулы (15). Поскольку в данном разделе мы намерены рассмотреть аналогичные задачи для нечетких многокритериальных моделей принятия решений, то будем использовать в дальнейшем термин «свертка векторного нечеткого отношения предпочтения», который уточним ниже. Некоторые краткие сведения о свертках ВОП мы уже приводили выше. Сейчас мы этот вопрос рассмотрим более подробно.

Определение 4.1. Некоторое нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности назовем сверткой векторного нечеткого отношения предпочтения .

Следует подчеркнуть, что должна удовлетворять требованиям, предъявляемым к функции принадлежности, в частности, . Ясно, что каждой свертке ВНОП соответствует свое множество четко недоминируемых решений в соответствии с формулой (3).

Приведем примеры некоторых сверток ВНОП:

1. Линейная свертка

где «соответствии с формулой

Этой свертке соответствует множество четко недоминируемых решений .

Этой свертке соответствует множество четко недоминируемых решений

Этой свертке соответствует множество четко недоминируемых решений

Линейная свертка ВНОП впервые была рассмотрена Орловским в работе [42]. А две другиесвертки введены Заде [71] для операций объединения и пересечения нечетких подмножеств.

Определение 4.2. Свертка P векторного нечеткого отношения предпочтения P, заданная определением 4.1, эффективна, если выполняется условие: когда

Это определение фактически задает решающее правило (правило выбора) при использовании конкретной свертки ВНОП. При этом гарантируется Парето - эффективность выбранного решения. Число решений в можем оказаться значительно меньшим, чем число решений в что облегчает окончательный выбор для ЛПР.

Использование той или иной свертки ВНОП в некоторой; нечеткой многокритериальной задаче принятия решений всегда связано с привлечением дополнительной информации, либо некоторых более или менее обоснованных принципов, а иногда и того и другого вместе. При этом из вычеркиваются (отбрасываются) решения, не удовлетворяющие дополнительной информации и сформулированным принципам. То есть в остаются решения, наиболее предпочтительные в свете, новой информации. Если выделение исходного множества эффективных решений это формально обоснованная процедура, некоторый основополагающий принцип в теории принятия решений, то использование сверток того или иного вида связано со многими текущими (а не постоянными) факторами, например, такими, как проблемная область, количество и качество дополнительной информации, используемой ЛПР, его психологическое состояние и даже личные мотивы, наличие времени и другие. Поэтому ЛПР, прежде чем сделать окончательный выбор, может использовать различные свертки ВНОП. Единственное требование, которое ЛПР должен соблюдать, это чтобы используемые им свертки были эффективными в смысле определения 4.2. Правда, есть вариант, когда ЛПР может использовать практически любые свертюг ВНОП, в том числе и неэффективные. Это в том случае, если с самого начала удается выделить дальше ЛПР работает на этом множестве. Но как показывает опыт, эффективные свертки

и в этом случае более приемлемы. Поэтому информация о том, что какая-либо конкретная свертка ВНОП эффективна, всегда полезна.

Утверждение 4.1. Линейная свертка векторного нечеткого отношения предпочтения, представленная формулой (26), эффективна в смысле определения 4.2 для всех разрешенных значений .

Доказательство. Линейная свертка ВНОП есть нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности На основании определения 2.7 и утверждения 2.7 ему соответствует четкое отношение предпочтения:

где . Этому отношению предпочтения соответствует множество Парето . Простой проверкой можно убедиться, что имеет место следующее условие откуда сразу следует, что . Если вспомнить определения 2.7 и 3.2, а также утверждение 2.7, то получим Следовательно, линейная свертка ВНОП эффективна в смысле определения 4.2, что и требовалось доказать.

Утверждение 4.2. Свертка ВНОП, представленная формулой (28), эффективна, если имеет место равенство Для всех .

Доказательство. Пусть На основании формул (1), (2) и (3) имеет место для всех следующее неравенство: ). Пусть для некоторого фиксированного справедливо равенство

Тогда, и, следовательно,

. Если Поскольку у было взято произвольно, то не существует такого решения включая само для которого выполнялось бы На основании определения 3.2 получаем что и требовалось доказать.

Доказательство проведено Н. А. Лактионовой. Идея, использованная ею в доказательстве, позволяет нам несколько расширить класс векторных нечетких отношений предпочтения, для которых свертка, представленная формулой (28), эффективна.

Утверждение 4.3. Если для каждого выполняется условие для всех решений то свертка представленная формулой (28), эффективна.

Доказательство. Если то для всех включая само вообще говоря, должно выполняться условие Причем равенство имеет место для тех решений у, которые равноценны по всему P, то есть Для них справедливы равенства для всех и они на могут строго доминировать, рассматриваемое решение Для всех остальных решений в соответствии с условием утверждения имеет место строгое неравенство. Если так, то для любого решения у из этого подмножества существует по крайней мере одна компонента ВНОП P, для которой имеет место строгое неравенство . В частности, это будет компонента На основе всего вышесказанного можно сделать следующее заключение: для рассматриваемого решения не существует такого решения у, включая само для которого имеет место и, следовательно, . Поскольку решение мы выбрали произвольно из множества то можно сделать вывод, что что и требовалось доказать.

Чтобы не повторяться, без доказательств приведем еще два утверждения, касающихся свертки, представленной формулой Это доказательства аналогичны предыдущим.

Утверждение 4.3. Свертка ВНОП, представленная формулой (27), эффективна, если выполняется условие для всех т.

Утверждение 4.5. Если для каждого выполняется условие для всех решений , кроме тех у, для которых имеет место то свертка представленная формулой (27), эффективна.

Если вновь воспользоваться формулами (2) и (25), то для рассмотренных сверток ВНОП можно ввести соответствующие нечеткие множества Парето:

В теории многокритериальных задач принятия решений известен один важный результат о достижимости решений в исходном множестве Парето X. Этот результат опубликован в работе [29] и известен в СССР как лемма Карлина. Содержание его заключается в том, что при помощи линейной свертки векторного критерия эффективности, варьируя значения коэффициентов имеет возможность выбирать из Х любое решение.

Таким образом, линейная сверстка и основанная на ней процедура выбора обладают еще одним хорошим свойством, помимо эффективности. Аналогичный результат имеет место и для нечетких многокритериальных задач принятия решений. Для того, чтобы выявить содержание этой леммы, а также проиллюстрировать основную идею доказательства, мы рассмотрим случай, когда имеется два нечетких отношения предпочтения с соответствующими функциями принадлежности

Утверждение 4.5. (Лемма Карлина). Для произвольного решения всегда найдется такое значение , что будет иметь место если выполняется неравенство смысл которого будет ясен из доказательства.

Доказательство. Рассматриваем два НОП: Пусть . По определению

у 6 X, образует некоторое конечное число точек в двумерном пространстве. Это множество не имеет общих внутренних точек с положительным ортантом этого множества. Надо выявить условие» когда выпуклая оболочка этого множества являясь выпуклой комбинацией точек , также не будет иметь общих внутренних точек с положительным ортантом двумерного пространства. Для этого поступим следующим образом. Выделим в X два подмножества решений: Первому подмножеству решений соответствуют точки из второго октанта двумерного пространства, второму подмножеству — из четвертого. Выберем два решения: с соответствующими точками где

Эти точки удовлетворяют следующим условиям:

То есть мы выбрали решения из подмножеств А и В, которым соответствуют крайние справа и сверху точки соответствующих подмножеств точек в двумерном пространстве. Может оказаться, что эти точки единственны. Но может их быть и несколько в каждом подмножестве. Пока остановимся на первом случае. Проведем через точки а и b в двумерном пространстве прямую и найдем точку пересечения ее с ординатой: Поскольку то потребуем выполнения условия: Оно гарантирует, что выпуклая оболочка точек не будет иметь общих внутренних точек с положительным ортантом пространства. Если эти точки не единственны, то надо найти точки с для всех пар точек (по одной для А и для В), выделить наибольшую ординату и для нее написать вышеприведенное условие. Теперь на основе теоремы о существовании разделяющей плоскости для двух выпуклых множеств, не имеющих общих, внутренних точек, можно утверждать, что существует такой вектор в двумерном пространстве, каждая компонента

которого неотрицательна и хотя бы одна положительна, что имеет место неравенство:

Введем нормированные коэффициенты:

Знаменатель положителен, числитель неотрицателен. Хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля, в сумме дают единицу. Следовательно. Вышеприведенное неравенство перепишется в виде:

Они выполняются для всех а это и есть условие того, что , что и требовалось доказать.

К сожалению, выявленное условие трудно использовать в практических задачах — оно неконструктивно, особенно, для -мерного пространства, включает в себя перебор пар решений. Поэтому мы ищем другое, более приемлемое условие выполнения леммы Карлина, при наличии конечного множества конкурсных решений X.