6. НЕЧЕТКИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Данный раздел написан по материалам диссертационной работы Н. А. Лактионовой. Задача принятия решений по-прежнему представляется в виде (X, P), где P — векторное нечеткое отношение предпочтения с компонентами . Все обозначения, которые были введены в предыдущих разделах, сохранены. Поэтому мы не будем пояснять их повторно. Кроме того, все полученные ранее результаты, определения, заключения, касающиеся нечетких многокритериальных задач принятия решений, справедливы и для этого случая. Ниже мы поясним этот момент более подробно. Просто в предыдущих разделах мы не заостряли внимания на одном свойстве нечетких отношений предпочтения: его связности. Между тем это свойство играет не последнюю роль в задачах принятия решений. Говоря о неполной информации, в данном разделе мы имеем ввиду тот факт, что не все пары решений сравнимы между собой. То есть хотя бы некоторые компоненты ВНОП ногут оказаться несвязными. Следуя Кофману [33], мы считаем, что пара конкурсных решений несравнима по отношению к некоторому нечеткому отношению предпочтения если выполняется следующее условие:

Тогда неполнота информации для исходной задачи принятия решений по отношению к НОП выражается в выполнении условия (34) для всех пар конкурсных решений из некоторого непустого подмножества Если для всех , то информация полная. Для пары несравнимых решений в смысле формулы (34) всегда выполняется условие

что совпадает с определением 2.1 равноценности пары конкурсных решений. Таким образом, по отношению к строгому нечет кому отношению предпочтения равноценные решения и несравнимые решения неразличимы. Поскольку при формировании структуры предпочтений на X и при выделении соответствующих, множеств Парето основную роль играют строгие отношения предпочтения, то наличие несвязных компонент в исходной задаче принятия решений не нарушает выводов и результатов, представленных в предыдущих разделах. На что же влияет несвязность компонент ВНОП (неполнота информации)? Пары конкурсных решений являются равноценными (точнее неразличимыми, несравнимыми) и по четкому отношению соответствующему Поэтому с увеличением числа несравнимых конкурсных решений (с расширением множеств ) происходит быстрое и нежелательное расширение множества вплоть до исходного множества конкурсных решений X. Уменьшается значимость множества четко недоминируемых решений для процедур выбора: в нем могут оказаться решения, которые не следует рекомендовать для выбора без дополнительного оценивания. Такой случай для нас не нов — мы уже знаем, что надо вводить эффективные свертки ВНОП в смысле определения 4.2, которые выделяют для выбора некоторые подмножества в , если последнее непусто, а мы имеем дело именно с таким случаем. Чтобы сформировать свертку, необходима дополнительная информация. Оказывается, что даже при неполной информации ее можно получить, исследуя общую структуру задачи принятия решений. Предлагаемый нами в данном разделе подход, основанный на использовании нижних и верхних оценок, позволяет «сузить» множество для нечетких многокритериальных задач принятия решений с неполной информацией. Основные идеи и некоторые результаты такого подхода для многокритериальных задач принятия решений при наличии несвязных отношений предпочтения был опубликован нами в работе [15).

Введем следующие новые обозначения:

— число НОП, по которым решения несравнимы в смысле формулы (34), а также

где . Очевидно, что некоторое число из интервала [0; 1], причем, если

На основе степеней превосходства определим для пары решений нижнюю степень превосходства в виде;

Определим также верхнюю степень превосходства для этой же пары решений аналогичным образом:

Основная идея ясна: при формировании процедуры выбора мы хотели бы использовать предположения о том, как могли бы (быть оценены несравнимые пары конкурсных решений, если их сравнение между собой состоялось бы. Рассматриваем два крайних варианта: наименее благоприятный и наиболее благоприятный для решений Каждый вариант, в свою очередь, состоит из двух случаев имеется некоторая дополнительная информация о сравнении решений дополнительной информации не имеется. Во всех четырех случаях в качестве значений для степени превосходства берутся крайние значения с учетом имеющейся информации.

На парах конкурсных решений определим следующие скалярные функции:

Эти функции есть ни что иное как нижняя и верхняя степени превосходства решения над решением у, соответствующие линейной свертке ВНОП, с учетом вышеприведенных предположений. Они обладают следующими свойствами:

Используя формулу (1), можно ввести нижнее и верхнее строгое отношение предпочтения, соответствующее линейной свертке в смысле формул (38), (39). Их функции принадлежности определяются следующим образом:

По сравнению с формулой (1) в левой части равенств просто введены новые обозначения, чтобы избежать записи большого числа индексов. По существу же - нижняя и верхняя черточки опущены. На основе формул (41), (42), (2) и (3) можно определить для этого случая следующие функции принадлежности и множества четко недоминируемых решений (содержание их прежнее):

Используя ранее приведенные результаты, приведем некоторые свойства введенных в данном разделе функций принадлежности и множеств четко недоминируемых решений:

Все эти утверждения (свойства) нетрудно доказать.

Если раньше решение оценивалось одним числом степенью недоминирования решения ни одним то теперь оно оценивается интервалом. Таким образом,

возникает задача об упорядочении интервалов. Вообще говоря, сравнение интервалов на предмет предпочтения можно определить разным образом. Не вдаваясь в подробности, для сформулированной в этом разделе задачи мы используем следующее отношение предпочтения:

где 10. Основная идея сравнения двух интервалов формулируется следующим образом: если интервал находится на числовой оси правее интервала на расстоянии не меньше, чем I, то

Это простое, естественное правило сравнения интервалов. Оно нас вполне удовлетворяет, поэтому мы не пытались анализировать другие правила сравнения, хотя, наверное можно было бы использсвать и их. Изучим отношение предпочтения, заданное формулой (45).

Утверждение 6.1. Отношение предпочтения заданное формулой (45), при любом разрешенном значении 0 является несвязным, строгим порядком.

Доказательство. Надо показать, что при любом разрешенном значении отношение предпочтения обладает свойствами: несвязность, асимметричность, транзитивность. Прежде всего остановимся на несвязности. Ясно, что среди сравниваемых решений могут оказаться такие, например, х и у, для которых интервалы, соответствукшие им, находятся на числовой оси ближе друг к другу, чем I, или даже пересекаются. Длины интервалов при этом не играют роли. Это означает, что и, естественно, . Следовательно, решения х и у окажутся несравнимыми по стнсшению предпочтения Таким образом, несвязность имеет место. Рассмотрим теперь асимметричность. Если то имеет место следующее неравенство: Следовательно, неравенство и, тем более неверно поскольку положительное число. Это означает, что

Если то Но это совсем не говорит о равноценности решений х и у даже при равенстве, ибо интервал, соответствующий решению все равно целиком находится

на числовой оси правее интервала, соответствующего решению у. Поэтому и в этом случае следует отдать предпочтение решению перед решением у, и если

Таким образом и асимметричность имеет место. Рассмотрим теперь транзитивность. Пусть выполняется условие Тогда для имеет место следующее неравенство: причем расстояние между а также между и не меньше, чем I. Следовательно. Если то аналогичным образом можно показать, что и в том случае тоже То есть и транзитивность имеет место. Таким образом, является несвязным строгим порядком для любых , что и требовалось доказать.

Отношению предпочтения соответствует множество Парето На основе утверждения 2.3 можем сделать вывод, что в этом конкретном случае и внешне устойчиво в смысле определения 2.4 для всех разрешенных значений Причем имеет место условие: если Таким образом, наиболее приемлемым для процедур выбора является на основе имеющейся информации и сделанных допущений. Открытым пока остался вопрос об эффективности сверток Но дело в том, что для случая интервальных оценок, которые в данном разделе появились из-за несравнимости некоторых решений, само множество Парето по ВНОП и понятие эффективных свэрток определяются несколько иным способом.

Таким образом, задачу принятия решений при наличии несвязных отношений предпочтения мы свели к задаче принятия решений с интервальными оценками. Теперь мы более подробно изучим последнюю.