7. НЕЧЕТКИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ОЦЕНКАМИ НА ПАРАХ РЕШЕНИЙ

Рассмотрим вариант нечеткой многокритериальной задачи принятия решений, когда для сравнения пары конкурсных решений используется не число (значение функции принадлежности

отношения), а интервал значений этой функции. В практических задачах это не такой уж редкий случай. Таким образом, сравнение пары конкурсных решений по нечеткому отношению предпочтения дало нам оценку в виде интервала . Соответствующие степени превосходства вводятся естественным путем:

Им соответствуют значения функций принадлежности: рассчитанные по формуле (1), а также рассчитанные по формуле (2). Причем имеют место неравенства: Если длины интервалов равны нулю, то есть и для всех пар конкурсных решений , то имеем рассмотренную ранее нечеткую многокритериальную модель принятия решений с точечными оценками.

Введем некоторое четкое отношение предпочтения, соответствующее НОП следующим образом:

Для сравнения интервалов мы использовали тот же принцип, что и в предыдущем разделе. Это асимметричное (строгое), несвязное отношение предпочтения. Оно обеспечивает выполнение неравенства , то есть именно в этом случае мы считаем, что решение строго предпочтительнее решения у. Проведем некоторые сравнения, которые связаны непосредственно с формулой (47). Если Одновременно имеет место и, следовательно, Нижняя степень превосходства как бы несколько выделена этими неравенствами. Если убедиться, что

то формулу (47) можно записать а следуюшем виде:

Если для всех пар решений то где последнее задано определением 2.7. Можно ввести и отношение равноценности: решения х и у равноценны, если соответствующие им интервалы совпадают. Но, как мы уже отмечали выше, для строгого отношения предпочтения, каким является равноценные и несравнимые пары решений неразличимы, и структуру на X формирует строгая компонента отношения предпочтения, то есть в данном случае — отношение Когда решения х и у несравнимы? Естественно, что тогда, когда одновременно выполняется , а это означает: интервалы, соответствующие решениям х и у, пересекаются, или, в частном случае, совпадают. Введем отношение предпочтения на основе вышесказанного:

Оно симметрично, рефлексивно. Объединим его с отношением и получим некоторое связное, нестрогое отношение предпочтения, соответстующее НОП В дальнейшем мы будем использовать именно это отношение предпочтения, учитывая, что . Рассмотрим теперь векторное нечеткое отношение предпочтения P в целом.

Введем Парето - доминирование и множество Парето:

Определение 7.1. В качестве множества четко недоминируемых решений в нечеткой многокритериальной задаче принятия решений (X, P) с интервальными оценками на парах решений берем множество Парето

Это определение по существу является расширением определения 3.2, поскольку то есть при переходе к модели принятия решений с точечными оценками на парах решений, рассмотренной в разделе 3. Это неудивительно — мы к этому и стремились.

Утверждение

Доказательство. Вспомним, что согласно определению где -соответствующее, Парето - доминирование

Его строгая часть Пусть Это означает, что интервал, соответствующий решению находится на числовой оси правее интервала, соответствующего решению у. В этом случае, получая дополнительную информацию и переходя к точечным оценкам на паре решений , независимо от условий, от способов перехода, получим Поскольку решения были выбраны произвольно, то Обратное включение, вообще говоря, не выполняется. На основе соответствующего утверждения [15] получаем или, что тоже самое, Утверждение доказано.

Таким образом, имея неполную информацию, что выражается в наличии ненулевых интервалов хотя бы для некоторых пар конкурсных решений в отношении хотя бы некоторых НОП мы выделяем исходное множество Парето которое соответствует уровню нашей информированности об исходной задаче принятия решений. Оно контролирует эффективность процедур выбора. Дальнейшая работа состоит в том, чтобы «сузить» это исходное множество Парето, то есть выделить в нем некоторое подмножество, содержащее по возможности меньше конкурсных решений. Очевидно, что эта работа связана с получением дополнительной информации, Сама техника получения этой информации в данный момент нас не интересует. Нам важен результат — как дополнительная информация изменяет структуру предпочтений на X, в частности, как меняется множество Парето. Каким бы путем мы не добывали дополнительную информацию, в каком бы виде мы ее не использовали, конечный эффект ее влияния на исходную задачу принятия решений будет выражаеться, вообще говоря, в увеличении, или в уменьшении длин интервалов, представленных в начальной задаче принятия решений. Ниже мы постараемся показать, что только уменьшение этих интервалов позволяет «сузить» множество Парето, то есть только та дополнительная информация значима, которая уменьшает длины интервалов (интервальных оценок). Для этого рассмотрим два варианта одной и той же нечеткой многокритериальной задачи принятия решений. Когда мы говорим об одной и той же задаче выбора, то понимаем под этим тот факт, что оба варианта определены на одном и том же множестве конкурсных решений X. Когда же мы говорим о разных вариантах задачи, то подразумеваем разные

уровни информированности, что выражается в наличии разных наборов интервальных оценок, соответствующих парам конкурсных решений. Более подробно: для первого варианта задачи имеем набор интервальных оценок ; для второго варианта задачи имеем набор интервальных оценок . В общем случае некоторые из них могут иметь нулевую длину. Буквами а и b обозначены значения соответствующих функций принадлежности. Новые обозначения введены только для того, чтобы избежать лишних индексов в формулах. Этим вариантам задачи принятия решений соответствуют свои множества Парето

Утверждение 7.2. Если имеет место следующее условие:

для всех

Доказательство. Приведенное в утверждении условие можно переписать в следующем виде: Нетрудно проверить, что приведенное неравенство при этом гарантирует выполнение Поскольку пара решений была выбрана произвольно, то имеет место и, следовательно, что и требовалось доказать.

Уменьшение длин интервалов можно осуществить одним из следующих способов:

1. Непосредственным уточнением значений соответствующих функций принадлежности, используя дополнительные данные.

2. Введением свертки ВНОП, задающей интервальные оценки на парах конкурсных решений.

3. Введением свертки ВНОП, задающей точечные оценки на парах конкурсных решений.

В первом случае эффективность процедур выбора, использующих дополнительную информацию, контролируется утверждением 7.2. Третий случай достаточно подробно рассмотрен в разделе 4, где изучались эффективные свертки ВНОП. Результаты, полученные там, с небольшими уточнениями справедливы и здесь. А вот второй случай рассмотрим несколько подробно. Для

этого вернемся к материалу предыдущего раздела Мы уже знаем, что несвязность хотя бы некоторых компонент векторного нечеткого отношения предпочтения приводит к интервальным оценкам на парах конкурсных решений. Напомним, также, что в предыдущем разделе мы использовали вариант линейной свертки ВНОП. Введем следующие четкие -уровневые отношения предпочтения

. Эти отношения предпочтения асимметричны при (строгие) и рефлексивны при (нестрогие). При этом учтен тот факт, что пара решений всегда сравнима по отношению к любому НОП для нее Каждому такому отношению предпочтения соответствует множество Парето Вообще говоря, же идею мы могли бы использовать для любой свертки ВНОП с интервальными оценками на парах конкурсных решений. Сделаем это. Пусть задана некоторая свертка ВНОП, определяющая для каждой пары решений некоторый интервал значений соответствующей свертке функции принадлежности, а именно, Напомним, что свертка это обычное нечеткое отношение предпочтения в смысле определения 4.1, с функцией принадлежности в данном случае Тогда мы можем ввести нижнюю и верхнюю сгепени превосходства а также в соответствии с формулой (47) отношение предпочтения со своим множеством Парето Естественно, надо выделить и исходное множесто Парето

Определение 7.2. Свертка ВНОП с интервальными оценками на парах решений эффективна, если имеет место когда

Использование отношения предпочтения обусловлено необходимостью сравнивать интервалы значений функции принадлежности свертки. Принцип сравнения интервалоз тот же, что и ранее используемый.

Утверждение 7.3. Линейная свертка ВНОП с интервальными оценками на парах решений, заданная формулой , эффективна в смысле определения 7.2, если

Доказательство. Прежде всего надо выделить исходное множество Парею для нечеткой многокритериальной

задачи принятия решений с несвязными компонентами ВНОП. Для этого снова надо вернуться к материалу предыдущего раздела. Надо определить отношения соответствующие компонентам ВНОП . Прежде всего сформируем нижние и верхние степени превосходства:

При этом использованы формулы (36) и (37) из предыдущего раздела.

Используя формулу (46), сформируем отношения предпочтения в соответствии с формулой (47), либо с формулой (48). Причем выполняется условие для ) и пары решений . После того, как эти отношения сформированы, выделяем множество Парето как это было описано выше. Пусть теперь Это означает, что для всех имеет место и хотя бы для одного, скажем, выполняется или, что тоже самое,

Следовательно, для всех и хотя бы для одного выполняется строгое неравенство . Это, в свою очередь, влечет то есть Напомним, что последнее отношение предпочтения является строгим. Поскольку пара решений была выбрана произвольно, то справедливо включение На основе соответствующего утверждения [15] получаем , что и требовалось доказать.

Отметим также, что рассмотренная линейная свертка ВНОП с интервальными оценками на парах решений остается эффективной по мере поступления дополнительной информации. Когда (полная информация), она становится обыкновенной линейной сверткой ВНОП, заданной формулой (26), оставаясь эффективной в смысле утверждения 4.1. Таким образом, представленная в данном разделе нечеткая многокритериальная модель принятия решений является расширением соответствующей модели, представленной в разделе 3. Мы к этому и стремились.

Пока остался только открытым вопрос о множестве четко недоминируемых решений для НОП с интервальными оценками на парах решений. Рассмотрим некоторое нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности Пусть для каждой пары решений задается интервальная оценка в виде . В предыдущем разделе, используя формулу (45), мы определили отношение предпочтения в соответствии с формулами (41), (42) и (43) и соответствующее ему множество Парето Причем особо выделили множество Сейчас мы вернемся к его изучению, используя результаты, полученные в данном разделе. Дело в том, что именно это множество Парето является расширением множества четко недоминируемых решений Ниже мы покажем это.

Утверждение 7.4. Если имеется полная информация, то есть для Есех пар

Доказательство. Пусть В соответствии с формулой (3) оно является множеством Парето отношения предпочтения определяется формулой (2). Очевидно, что что и требовалось доказать.

Но это еще не все. Надо установить взаимосвязь между и между их множествами Парето. Для случая одного НОП отношение предпочтения представляется в виде:

Утверждение если выполняется для всех троек решений (условие метрической транзитивности).

Доказательство. Пусть . Это означает, что не существует , для которого выполнялось бы Следовательно, для всех имеет место следующее неравенство: То-есть интервал на числовой оси находится правее интервала Отсюда следует

или, что тоже самое, Если выполняется условие метрической транзистивности, то получим для всех . Это означает, что не существует , для которого выполнялось бы. условие Следовательно, Поскольку было выбрано произвольно, то имеет место что и требовалось доказать.

Таким образом, мы рассмотрели класс нечетких многокритериальных задач принятия решений с неполной информацией. Неполнота информации формально описывается либо несвязными нечеткими отношениями предпочтения, либо интервальными оценками на парах решений вместо обычно используемых точечных оценок. Для этого класса задач принятия решений мы сформировали и изучили модель сравнения и выбора, которая является расширением нечетких многокритериальных моделей принятия решений при наличии точечных оценок (полной информации), предоставленной в разделе 3. Полученная структура вложенных одна в другую моделей принятия решений очень удобна и предназначена для диалоговых процедур принятия решений. Задача принятия решений с интервальными оценками, например, специфична для проектирования систем (конкурс проектов), когда в начальной стадии задаются грубые (неточные) оценки будущей системы по характеризующим ее параметрам. А дальше в процессе прохождения проектов эти оценки постепенно уточняются. Собственно говоря, с одной такой задачи и была разработана структура вложенных моделей принятия решений, предложенная выше.