Глава 9. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ ТОРГАХ

Распространенность торгов

При продаже почти всех товаров и услуг частными фирмами правительственным органам различного уровня применяется система закрытых торгов. Большая часть деловых связей между фирмами также касается более или менее формально выраженных торгов. Для покупателя чрезвычайно важно сохранение неопределенности среди участников торгов и достижение, таким образом, пены, наиболее близкой к фактическим затратам на выполнение контракта. В этой главе рассматривается вопрос о том, какую цену должна потребовать фирма за некоторый контракт перед лицом этого и других источников неопределенности.

Фирма должна сбалансировать два основных фактора: неопределенность относительно фактической стоимости выполнения контракта и неопределенность относительно того, останется ли победа за данной ценой. Низкие цены имеют относительно высокие шансы на победу, но способны принести лишь незначительную прибыль в случае их победы или вовсе не дают прибыли. Более высокие цены увеличивают уверенность в получении прибыли в случае победы, но вероятность их победы невелика. Таким образом, когда фирма повышает цену, вероятность дохода возрастает, но вероятность победы падает. Возникает вопрос: «Может ли быть найдена «наилучшая» цена, которая объединяет оба эти соображения и максимизирует ожидаемый доход или полезность?» В этой главе рассматривается вопрос о том, как эти проблемы могут быть включены в ранее рассмотренную схему адаптивного процесса выработки решения. Применяемый здесь математический аппарат довольно сложен, и поэтому простой анализ используемых функций вряд ли возможен. Обычно требующиеся для реальных приложений

численные результаты можно получить при использовании цифровой вычислительной машины.

Здесь будет рассмотрен случай закрытых или секретных торгов, а не торгов типа аукциона. Предполагается, что в каждом таком конкурсе все соискатели обеспечивают одинаковое качество и гарантию выполнения соответствующего контракта и что предпочтение будет отдано тому, кто предложит более низкую цену. Во многих случаях победа в конкурсе связана с более сложными соображениями, чем простое предложение более низкой цены. На наш взгляд, разумно считать, что в каждом конкретном конкурсе фирма в той или иной форме встречается с тремя источниками неопределенности. Даже если заданы подробные технические условия на товары или услуги, которые должны быть произведены по данному контракту, некоторая неопределенность обычно остается в отношении фактических затрат на выполнение контракта. Фирма может иметь у себя записи о фактических расходах на выполнение сходных контрактов в прошлом, она может иметь в своем штате опытных людей, которые могли бы дополнить эти записи своими суждениями о затратах по рассматриваемому контракту. И все-таки остается некоторая неопределенность относительно окончательных затрат. Предположим далее, что фирма не знает и о том, кто будет конкурировать с ней в данном конкурсе и, самое главное, какую цену в действительности предложат конкуренты. В некоторых крупных или очень специализированных контрактах неопределенность относительно состава участников торгов может быть очень малой или вовсе отсутствовать, но неопределенность относительно цен, предложенных конкурентами, обычно сохраняется. Во многих случаях раскрытие секретных цен, предложенных правительственным агентствам, производится публично. Таким образом, фирма могла бы собрать данные о том, кто участвовал в различных торгах в прошлом и какие цены они предлагали. Такие данные очень легко могут лечь в основу более точной формулировки неопределенности по этим вопросам в будущих торгах. В дополнение к этому, разумеется, обычно будет привлекаться и суждение руководителей о том, кто и какую цену собирается предложить в каждом конкретном рассматриваемом конкурсе.

Модель для определения самой низкой конкурентной цены

Чтобы сделать понятными основные рассуждения, мы изучим сначала модель, имеющую простую структуру. Пусть фирма намерена в некотором конкурсе действовать так, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль. Затраты на фактическую выработку и представление предполагаемой цены считаются достаточно малыми, чтобы ими можно было пренебречь. Таким образом, если фирме не удается победить, ее прибыль равна нулю. Неопределенность относительно затрат на выполнение контракта выражается путем рассмотрения этих затрат как случайной переменной. Возможно, что было проведено сравнение оцененных и фактических затрат на сходные контракты, победившие в прошлом, как это предлагалось в гл. 6. С этими историческими данными затем могут быть объединены суждения о затратах, с которыми будет связано выполнение данного контракта.

Неопределенность относительно того, кто и какую цену предложит, выражается путем введения понятия самой низкой конкурентной цены. Здесь опять же можно поискать исторические данные о самой низкой цене в контрактах сходного размера и типа. Могут также существовать суждения, которые при объединении с этими данными позволят получить выражение неопределенности относительно самой низкой конкурентной цены, на которой руководители намерены основывать свою стратегию в торгах.

Предположим, что распределение вероятности самой низкой конкурентной цены, выражающее эту неопределенность, не зависит от цены, которую решит предложить наша фирма. Если можно ожидать, что конкуренты имеют некоторый способ заранее выяснить цену, которая должна быть предложена, вышеупомянутое предположение будет очень плохим. Но если оно выполняется, задача адаптивного процесса выработки решения может быть сформулирована следующим образом. Пусть — самая низкая конкурентная цена, которая будет предложена для рассматриваемого контракта; f(x) — плотность распределения вероятности со средним значением и дисперсией — плотность априорного распределения с — среднее априорного распределения

затрат на выполнение контракта, за который торгуется фирма.

Если мы предлагаем цену В, то априорно ожидаемая прибыль может быть записана в виде

Таким образом, если ожидаемый доход будет равен нулю; если цена достаточно высока, вероятность победы будет равна нулю. Можно нддеяться, что где-то посредине можно найти цену, которая будет максимизировать ожидаемый доход.

Рассмотрим простейший пример. Если априорное распределение в сочетании с распределением (считается, что v известно) дало бы априорное распределение равномерное в интервале то ожидаемая прибыль была бы равна

Взяв производную по В, приравняем ее нулю и, разрешив уравнение относительно В, получим оптимальную цену

Если априорное распределение самой низкой конкурентной цены было бы нормальным, для оценки ожидаемой прибыли при различных ценах необходимо было бы использовать цифровую вычислительную машину, а затем на основе этих вычислений выбрать оптимальную цену. Таким образом, для большого числа сформулированных здесь задач нет аналитического решения.

Ценность полной информации

Предположим, что можно получить точные данные о самой низкой конкурентной цене. Зная, что самая низкая конкурентная цена будет равна можно было бы предложить цену, немного меньшую, чем , скажем но только в том случае, если больше, чем ожидаемые затраты на

выполнение контракта с. Если то лучше всего будет вовсе не участвовать в конкурсе, так как в результате победы этой цены ожидаемый доход будет равен . Так как может быть сделано очень малым и включено сюда только, чтобы гарантировать, что цена действительно меньше самой низкой конкурирующей цены, то при вычислении ожидаемого дохода величиной можно пренебречь. Ожидаемая ценность полной информации может быть выражена как разность между априорно ожидаемой величиной максимальной прибыли при наличии полной информации и максимальной априорно ожидаемой прибылью:

Для вычислений в некоторых примерах может оказаться полезным преобразовать это выражение так, чтобы оно приняло обычную форму интеграла линейных потерь:

Если вместо полной информации о наименьшей конкурентной цене можно получить полную информацию об ожидаемой величине , т. е. среднего значения распределения наименьшей конкурентной цены, то ценность такого рода информации будет равна

где означает оптимальную цену для данного значения .

Выборочная информация

Если имеется возможность изучить результаты прошлых торгов или можно отложить действия до тех пор, пока хотя бы некоторые из предстоящих конкурсов не будут изучены, ценность полученной таким путем неполной информации можно вычислить обычным путем. Предположим, что выборка зафиксированных самых низких конкурентных

цен дала среднюю величину Эта информация в соответствии с теоремой Байеса преобразует априорное распределение в апостериорное. Тогда может быть получена оптимальная цена, основывающаяся на апостериорном распределении, и может быть определен максимум апостериорно ожидаемой прибыли. Если оптимальная цена, основанная на апостериорном распределении, получившемся из наблюдения некоторой выборки со средним то величина EVSI определяется с помощью формулы

Здесь — максимум априорно ожидаемой прибыли. Вычислительные трудности нахождения оптимальных цен и связанных с ними ожидаемых прибылей требуют здесь применения вычислительной техники.

Другие модели

Рассмотрим теперь вкратце проблему выбора моделей или формул более широкого класса, применимых для решения той же самой задачи адаптивной подготовки решения. Проблему торгов можно изучать с помощью подбора данных и мнений о поведении на торгах возможных конкурентов; иными словами, можно было бы рассмотреть какую-то конкретную фирму (конкурент 1) и попутаться выразить неопределенность относительно того, какую цену она предложит за рассматриваемый контракт, предполагая, что она действительно будет участвовать в торгах. Выражение для этой неопределенности можно затем сочетать с выражением неопределенности относительно того, будет ли конкурент 1 участвовать в рассматриваемом конкурсе. Эти выражения неопределенности подразумевают модель, несколько отличную от описанной выше модели торгов с отысканием самой низкой цены, в которой не рассматривались отдельные конкуренты. Чтобы проанализировать различия, возникающие при использовании этих двух моделей, рассмотрим простой пример.

Предположим, что имеются только два потенциальных соперника в конкретном конкурсе. Предположим также, что исторические данные и мнение руководителей позволяют

получить следующую форму выражения имеющейся неопределенности.

Пусть — априорная плотность распределения вероятностей цены, предлагаемой за контракт конкурентом 1 в предположении, что он будет участвовать в торгах (априорное распределение для конкурента 2 определяется аналогично); — вероятности столкнуться только с конкурентом 1, только с конкурентом 2 и с обоими конкурентами 1 и 2. Тогда ожидаемый доход от цены В выразится в виде

Интересно заметить, что в этой модели вероятность победы в конкурсе уменьшается с увеличением числа конкурентов.

Эта модель оказывается более сложной, чем модель торгов с выдвижением самой низкой цены, и по этой причине может показаться менее привлекательной. Заметим, однако, что, если за отправную точку берутся те же фундаментальные выражения для неопределенности и. затем совершаются действия, согласующиеся с логикой теории вероятности, обе модели приводят к одной и той же стратегии выбора оптимальной цены. Чтобы убедиться в этом, начнем с только что рассмотренного распределения и вычислим распределение вероятности самой низкой конкурирующей цены. Если единственным соперником является конкурент 1, распределением самой низкой конкурирующей цены будет распределение и то же самое, если единственным соперником является конкурент 2. Если оба конкурента участвуют в торгах, то вероятность того, что самая низкая цена будет превышать предложенную нами цену, будет просто произведением вероятностей того, что каждая конкурирующая цена превосходит нашу. Эти вероятности, взвешенные по вероятностям входящих в их формулировку условий, после суммирования дают распределение вероятности самой низкой конкурентной цены. Сразу же заметим, что это именно то, что было написано для вероятности победы

в предыдущей модели. При логически последовательных действиях обе модели будут эквивалентными. Если представляется маловероятным, что в процессе накопления знаний удастся узнать что-нибудь конкретное о том, кто будет участвовать в данном конкурсе, или о поведении на рассматриваемых торгах конкретного конкурента, то будет мало пользы от введения в модель неопределенности, связанной с возможным поведением каждого конкурента. В этом случае лучше всего было бы произвести обработку данных и суждений с помощью модели торга с выдвижением самой низкой цены.

Если, с другой стороны, предвидится возможность получения информации о том, кто собирается участвовать в конкретном конкурсе и какую цену он предложит, потребуется некоторая концептуальная структура, в которой можно было бы учесть эту информацию. В этих условиях вторая модель может оказаться предпочтительнее. Другими словами, может потребоваться более общая модель для вычисления ценности такой специфической информации. Например, если работа с прошлыми данными о предложенных ценах была сведена к объединению этих данных в функцию распределения для самой низкой конкурирующей цены, то специфическая информация о том, что только конкурент 1 будет участвовать в торгах, принесет мало пользы. Чтобы использовать эту информацию, необходима какая-то модель поведения на торгах конкурента 2, которую нельзя получить непосредственно из модели торгов с выдвижением самой низкой цены.

Вычисление ценности определенных знаний относительно возможных соперников может быть продемонстрировано на простом примере. Введем следующие предположения:

Если имеется надежная информация о том, что единственным соперником будет конкурент 1, оптимальной ценой будет

а если имеется информация о том, что соперником будет только конкурент 2, оптимальной ценой будет

Максимум ожидаемых прибылей находится с помощью формулы

Так же обстоит дело и в случае, когда единственным соперником является конкурент 2. Вычисляя оптимальную цену на основе априорной информации, которая выражается посредством (1) и g (2), получаем

Таким образом, лучшая априорная цена является взвешенным средним лучших апостериорных цен. Отсюда обычным образом получаем, что ценность точной информации о том, кто будет конкурентом, дается формулой

где последний член представляет собой максимум априорно ожидаемой прибыли.

Распределение усилий по сбору информации

Чтобы еще раз проиллюстрировать проблему распределения усилий по сбору информации относительно различных источников неопределенности, которые возникают в проблеме принятия решений, возвратимся к модели торгов с выдвижением самой низкой цены. В ней имеется как неопределенность относительно затрат на выполнение контракта, так и неопределенность относительно самой низкой конкурирующей цены. Иногда возможно получить дополнительную информацию относительно затрат на выполнение контракта и тем самым уменьшить неопределенность, связанную с этим источником. Кроме того, может оказаться возможным получить дополнительную информацию относительно самой низкой конкурирующей цены. Можно предположить

что ценность информации об одном источнике неопределенности зависит от знаний о другом источнике. Конечно, даже весьма точное знание того, какова будет самая низкая конкурирующая цена, представляет небольшую ценность, если имеется очень большая неопределенность относительно затрат на выполнение контракта.

В качестве простого примера предположим, что неопределенность относительно затрат на выполнение контракта выражена путем представления ее в виде случайной величины, распределенной с постоянной плотностью на отрезке от v до w. Тогда априорно ожидаемые затраты на выполнение контракта будут иметь вид

Максимум априорно ожидаемой прибыли будет в этом случае равен

При условии ожидаемая ценность точной информации относительно затрат на выполнение контракта равна

что может быть представлено в виде

Таким образом, ожидаемая ценность полной информации пропорциональна априорной дисперсии затрат на выполнение контракта. Заметим, однако, что ожидаемая ценность зависит также и от величины отрезка, на котором распределена самая низкая конкурирующая цена. Если эту величину рассматривать как грубую характеристику априорного состояния знаний о самой низкой конкурирующей цене, можно также утверждать, что ценность точной информации о затратах на выполнение контракта обратно пропорциональна неопределенности относительно самой низкой конкурентной цены.

Для создания тщательно продуманной программы сбора данных в различных ситуациях надо знать ожидаемую чистую прибыль от получения выборочной информации о данных обоих типов. Поэтому необходимо иметь выражение для

где — объем выборки данных относительно затрат на выполнение контракта, а — объем выборки данных о самой низкой конкурентной цене. Затем берутся частные производные этой функции по каждой из двух переменных: приравняв производные нулю, получаем систему из двух уравнений, решение которой указывает, каковы должны быть оптимальные объемы выборок для данных каждого типа. На практике такая задача может потребовать применения вычислительной машины. Конечно, эта трудность вычисления ценности различных видов и количества информации не должна заслонить от нас множество случаев, в которых система сбора данных не требует такого детального изучения. Часто бывает довольно ясно, просто по соображениям здравого смысла, что стоит собирать информацию какого-то определенного типа. Тогда наиболее серьезной частью анализа останется обобщение этих данных на основе опыта руководителей. В этом случае наиболее полезным выходом информационной системы может оказаться пересмотр суждений, сложившихся в результате чересчур прямолинейного использования теоретических методов, описанных в гл. 6.

Некоторые проблемы обработки данных

До сих пор мы игнорировали трудности получения априорного распределения для цены, которая будет предложена отдельным конкурентом, или априорного распределения для затрат на выполнение конкретного контракта. Здесь мы опишем один из способов получения этих априорных распределений. Предположим, например, что рассматривается вопрос об оценке затрат на единицу продукции для какого-либо вида чугунного литья. Данные и опыт могут дать нам определенную уверенность в том, что затраты на единицу продукции могут зависеть, например, от количества изготовляемых отливок, от веса каждой из них, от

сложности отливок, измеряемой числом литников. В качестве первоначальной гипотезы можно предположить, что эти три «независимые» переменные связаны с затратами на единицу продукции линейной зависимостью, имеющей вид

где у — затраты на единицу продукции определенного типа литья; число отливок, которое должно быть изготовлено; — вес каждой отливки; — число литников; — нормально распределенная случайная величина со средним значением, равным нулю, и известной дисперсией.

Грубо говоря, чем больше членов в зависимости и чем больше абсолютные величины коэффициентов, тем меньше дисперсия е. Можно рассматривать дисперсию величины как «необъясненную» дисперсию величины у или как ту дисперсию величины у, которую нельзя связать с независимыми переменными. Основной целью может быть построение таких моделей, в которых эта дисперсия мала.

Наша задача будет состоять в том, чтобы найти для коэффициентов априорные распределения, основанные на имеющихся данных и суждениях руководителей. Затем, по мере поступления дополнительных данных, априорные распределения этих коэффициентов преобразуются обычным способом в апостериорные распределения. Было бы, разумеется, удобно приписать коэффициентам нормальные априорные распределения, что позволило бы использовать хорошо развитую теорию этих распределений. Если заданы распределения коэффициентов и погрешность мы тем самым имеем и распределение для у, т. е. для величины затрат на единицу продукции. Хотя в целом процедура вычислений довольно сложна, общий способ учета дополнительных данных состоит примерно в следующем: когда получены данные относительно у и соответствующие значения независимых переменных вычисляется набор коэффициентов. Этот набор будет состоять из коэффициентов, дающих «наилучшее соответствие» с данными выборки, и может быть получен обычным решением «нормальных уравнений», традиционно используемым в линейном регрессионном анализе. Эти коэффициенты, подсчитанные на основе выборки, затем используются для пересмотра априорных распределений. На практике этот процесс обычно

выполняется стандартным образом с помощью вычислительных машин.

Тот же тип модели может быть с успехом использован и для отыскания распределения цены, которую предложит определенный конкурент за конкретный контракт. В одном исследовании, касавшемся предложенных цен за выполнение работ по строительству крупной автострады, связывающей несколько штатов, было выяснено, что существенное влияние на поведение конкурентов в процессе торгов, по-видимому, оказывают такие факторы, как

— объем работ, уже проведенных конкурентом;

— расстояние от места работы до основных отделений фирмы конкурента;

— расстояние от места работы до ближайшего действующего проекта фирмы конкурента;

— оценка объема работ по прокладке дороги;

— оценка объема работ по строительству мостов;

— оценка объема дренажных работ.

Можно предположить, что такой анализ оказал бы существенную помощь руководителям при определении и пересмотре требуемых априорных распределений.

Последовательный анализ и динамические задачи

Рассмотрим последовательность интересующих фирму конкурсов цен. Каждый конкурс, который наблюдается фирмой или в котором она участвует, дает данные о его участниках и их поведении. Любая победа на конкурсе дает дополнительные данные о точности и надежности выполненных фирмой оценок затрат. Ясно, что эти данные обычно становятся доступными только в процессе выполнения контракта и могут отсутствовать, если следующая цена должна быть предложена сразу же. Если затраты на предложение цены пренебрежимо малы или каким-либо образом возмещаются фирме, нет причин против ее участия в каждом конкурсе. Сделаем следующие замечания:

1) мы предполагаем, что на разработку проектов, оценку затрат и все остальные процедуры, используемые в процессе подготовки цены, не наложено никаких «технических» ограничений;

2) затраты на выполнение данного контракта могут зависеть от степени загруженности фирмы. В некоторых случаях известна загруженность фирмы к моменту выполнения контракта в случае победы. В других случаях окажется неизвестной загруженность фирмы к определенному моменту в будущем, так как это зависит оттого, во скольких конкурсах будет участвовать фирма и сколько из них она выиграет до этого времени.

Если затраты на предложение цены не равны нулю, то будут существовать конкурсы, участвовать в которых не выгодно. Однако, даже если фирма не предлагает цену, она имеет возможность получить информацию о поведении других фирм на торгах, просто присутствуя на публичном оглашении цен или из газет.

Мы можем сформулировать ряд задач.

1. Несколько конкурсов происходят почти одновременно. Нам следует решить, в каких из конкурсов принять участие. Эта задача имеет в точности ту же форму, что и обсуждавшаяся в гл. 7 задача инвестирования капитала.

2. Несколько конкурсов происходят последовательно во времени, и мы должны решить, в каком из них участвовать.

3. Имеется желание участвовать в из проводимых последовательно конкурсах. Две последние задачи о динамике последовательности решений относительно торгов рассмотрены в гл. 11.

Упражнения

9.1. Представьте графически априорный ожидаемый доход как функцию предлагаемой цены для нескольких легко рассчитываемых случаев. Какое объяснение можно дать поведению этой функции?

9.2. Уточните этапы действий, которые должны быть выполнены (возможно, с применением вычислительной машины), чтобы найти примерную величину EVSI в случае нормального априорного распределения для самой низкой из конкурентных цен, которые могут быть предложены.

9.3. Какие возникают осложнения в случае, если мы уверены, что наши конкуренты используют тот же самый метод анализа для определения своей политики на торгах?

9.4. Рассмотрите фирму, которая регулярно участвует в торгах в интересующей вас области. Опишите основные отличительные свойства системы сбора информации и обучения принятию решения, которую вы могли бы предложить для этой фирмы.