III. Специальные проблемы науки управления

Глава 13. МОДЕЛИРОВАНИЕ

Искусство и интуиция

Математические модели играют чрезвычайно важную роль в работе специалиста по науке управления, хотя его работа никоим образом не ограничивается построением моделей. Но трудности, связанные с созданием полезных математических моделей, достаточно примечательны, чтобы уделить им особое внимание. Процесс, посредством которого опытный исследователь приходит к модели изучаемого им явления в области управления, правильнее всего было бы назвать интуитивным. Действительно, продуктивные работники с богатым опытом как в области управления, так и в области науки обычно широко используют интуицию и с недоверием относятся к попыткам сделать применяемые ими методы эксплицитными (т. е. выраженными в явной форме). Следующая глава будет посвящена детальному обсуждению роли интуиции в управлении; в данной же главе мы в основном сосредоточим внимание на роли интуиции в построении аналитических моделей. Для опытного специалиста вопросы о том, как он выбирает переменные для включения в модель, как он решает, какие из них следует рассматривать как случайные, и т. п., часто кажутся либо настолько тривиальными, что они не заслуживают его серьезного внимания, либо настолько нетривиальными, что на них не может быть дано ответа. Он может быть склонен рассматривать формализацию и научную формулировку задачи управления как своего рода искусство — в том смысле, что эти процессы призваны оставаться в значительной степени интуитивными. Любой набор правил для построения моделей может в лучшем случае иметь только ограниченную область применения, а в худшем даже помешать проявлению необходимой интуиции.

Если признать, что моделирование является (а для обеспечения наибольшей эффективности, возможно, и должно остаться) интуитивным процессом, требующим значительного опыта, возникает вопрос, как можно было бы развить эту интуицию. Что следовало бы посоветовать неопытному человеку, желающему как можно быстрее достичь высокого уровня интуиции в науке об управлении? Что можно было бы предложить опытному исследователю операций, который потерпел неудачу при поиске модели для какой-то задачи управления? Или все, что мы можем сказать ему, это посоветовать: «Приобретите больший опыт, ибо он является основным источником для развития интуиции и единственным источником в случаях, когда интуиция не срабатывает».

Ниже мы пытаемся словесно описать процесс разработки модели, рассматривая его в довольно узком аспекте. При попытках проанализировать процесс моделирования будет, по-видимому, разумно предположить, что он начинается с выдвижения гипотез относительно исследуемого явления и что обычно имеется какая-то возможность «подражания», т. е. заимствования исходных концепций в тех случаях, когда собственная интуиция оказывается недостаточно развитой. Вряд ли, однако, возможно указать универсальный рецепт для построения моделей и едва ли так удастся продвинуться на пути развития интуиции дальше небольшого ее улучшения. Вполне может оказаться, что интуиция, или «чутье», в значительной степени является продуктом подражания и собственного опыта, однако процесс ее развития должен иметь какое-то начало. Опыт показывает, что это начало подразумевает нечто большее, чем простое ознакомление с моделями, построенными другими.

Объяснение и открытие

Имеется принципиальное различие между ситуацией «оправдания», или «доказательства» (justification), и ситуацией «открытия» (discovery). Наука об управлении (как и любая наука) излагается и описывается в виде логической «реконструкции» с целью объяснения и оправдания сделанных выводов. Эта логическая «реконструкция» не имеет почти никакого отношения к психологическому процессу, при

помощи которого эти выводы были впервые получены. В науке обычно принято сообщать только о части работы, формулируя те допущения и предположения, которые легли в основу модели, показывая дедуктивные шаги, с помощью которых получены существенные следствия из модели, и, наконец, описывая упорядоченные шаги по постановке и анализу экспериментов, предназначенных для проверки вытекающих из модели следствий. Такие следствия выступают при анализе выполненных экспериментов в роли «проверяемых гипотез». Опасность здесь состоит в том, что, не найдя в «своей» научной литературе ничего, что заметно отличалось бы от подобного «процесса оправдания», кое-кто может подумать» что оно-то и является описанием процесса открытия.

Опытный ученый знает, что психологический процесс открытия существенно отличается от этого, но сам редко пытается описать его словами. Не случается ли порой, что даже ученые со значительным опытом невольно вводят в заблуждение себя и своих коллег, заранее считая такие «оправдывающие доказательства», относящиеся лишь к конкретному частному случаю, описанием «ситуации открытия». При чтении таких описаний часто кажется, будто автор говорит: «Посмотрите, как логично, методично и с какой блистательной настойчивостью мы продвигались к цели». Поскольку этим немного страдают все пишущие в области науки, можно заключить, что люди, имеющие опыт в какой-либо области науки, не могут оказать большой помощи тем, кто неопытен, по крайней мере в том, что касается искусства моделирования. На деле неопытные исследователи могут быть серьезным образом дезориентированы, если они попытаются развить собственную способность к интуиции, имитируя подобный логический процесс.

Мастерство моделирования, несомненно, предполагает чувствительность и избирательность в восприятии ситуаций управления. Это в свою очередь зависит от типа имеющихся в распоряжении исследователя концептуальных структур, при помощи которых он может внести какой-то порядок в хаос восприятий. Модели как бы «организуют» наш опыт, поэтому изучение моделей помогает в подготовке «тренированного наблюдателя». Однако редко удается отыскать модель, полностью применимую к данной ситуации управления,

поэтому в науке об управлении почти всегда ощущается необходимость в творческом развитии или видоизменении моделей.

Три основные гипотезы

Наш подход к выработке мастерства в построении моделей базируется на трех основных гипотезах. Рассматривать наши утверждения нужно именно как гипотезы, так как фактически не было проведено систематической проверки их эффективности.

I. Процесс усовершенствования моделей полезно рассматривать как процесс их постепенного обогащения или проработки. Начинают обычно с самых простых моделей, сильно отличающихся от действительности, а затем пытаются двигаться эволюционным путем к более совершенным моделям, точнее отражающим сложность реальной ситуации управления.

Хотя это положение кажется элементарным, важно остановить на нем внимание недостаточно опытных исследователей. Попытка начать сразу с довольно сложной модели может стать источником разочарований, тогда как, начав с более простых моделей, можно добиться ощутимых результатов и тем самым приобрести некоторую уверенность в своих силах. Однако требуется достаточная рассудительность, чтобы отступиться от более сложной проблемы и начать рассмотрение простой концептуальной структуры. Для этого нужно обдуманно исключить из рассмотрения или упростить некоторые аспекты ситуации, сознательно «впадая в грех» отказа от сложного анализа.

II. Аналогия или ассоциация с хорошо разработанными ранее логическими структурами играет важную роль при определении отправной точки этого процесса проработки или обогащения моделей.

Очевидно, одна из целей изучения моделей состоит в том, чтобы создать такие хорошо разработанные логические структуры, которые более или менее непосредственно можно было бы использовать в качестве отправных точек. Следует, однако, подчеркнуть, что эти структуры обычно дают только отправные точки. Когда задают вопрос, можно ли данную ситуацию управления имитировать с помощью линейного программирования, теории очередей или теории

управления запасами, то на самом деле спрашивают, может ли одна из указанных структур дать существенный толчок эволюционному процессу создания адекватной модели. Иногда поиск аналогий для рассматриваемой задачи управления приводит нас к широким весьма общим структурам, вроде дифференциальных уравнений или теории вероятностей, иногда — к таким более частным, но хорошо разработанным структурам, как теория очередей, а порой — и к сугубо специальным моделям, развитым для каких-то других проблем управления. Несмотря на важность подобных аналогий, мы в настоящем обсуждении рассмотрим лишь те шаги, которые делаются после выявления такой ассоциации или выяснения ее отсутствия. Пожалуй, это лишний раз свидетельствует о том, что наука управления находится лишь в стадии становления и еще очень далека от того, чтобы основные ее рекомендации можно было найти в справочниках и доставать готовые модели «с полки».

III. Процесс проработки и обогащения модели включает по меньшей мере два типа итерационных или чередующихся процедур:

1. Чередование модификации модели и сопоставления ее с данными. После проверки каждого варианта модели вырабатывается новый вариант, который в свою очередь требует проверки.

2. Чередование исследования дедуктивной «трактуе-мости» (tractability) модели и характеризующих ее допущений. Если некоторый вариант модели достаточно «трактуем» в том смысле, что допускает достижение дедуктивных целей исследователя, последний может заняться поиском путей дальнейшего обогащения или усложнения положенных в основу модели предположений. Если модель не «трактуема» или не может быть «разрешена», исследователь снова обращается к пересмотру и упрощению своих предположений.

Первая из этих итерационных процедур показывает нам, что исследование отнюдь не должно рассматриваться как один большой тест для проверки одной-единственной модели и что нет необходимости также решать, следует ли сперва разработать модель или сначала «добыть данные».

Вторая итерационная процедура представляет для нас наибольший интерес. Действительно, трудность процесса построения модели в значительной степени зависит от выбора основных предположений, характеризующих модель. Здесь снова требуется определенная смелость, чтобы работать с различными наборами допущений, из которых одни находятся в большем согласии с представлением исследователя о ситуации управления, в то время как другие могут привести к моделям, которые окажутся более «трактуемыми» с точки зрения его дедуктивных способностей. Задача состоит в отыскании такого набора предположений, которые одновременно достаточно хорошо описывали бы задачу и допускали дедуктивную трактовку. В такого рода рекомендациях неявным образом подразумевается отказ от моделирования до тех пор, пока не будет сделана серьезная попытка анализа проблемы.

Некоторые частные гипотезы

Хотелось бы высказать еще несколько частных рекомендаций, которые следует рассматривать как гипотезы в том смысле, что мы не можем утверждать их универсальную применимость. Тем не менее для неопытных исследователей они могут оказаться полезными. Во всяком случае, нам кажется, что лучше высказать их, чем просто отказаться от каких бы то ни было четких высказываний о практических процедурах; без них недостаточно опытные люди могли бы оказаться беспомощными в ситуации, требующей создания какой-то модели. Эти гипотезы мы выскажем при изложении конкретного примера. Естественно выбрать для этого пример, который служил бы хорошей иллюстрацией изложенных идей, хотя, поступая так, мы снова вносим некий привкус «реконструкции», предназначенной лишь для частного случая. Разумеется, не все и не всегда происходит так, как в указанном примере, поэтому наши рекомендации не могут быть строго обоснованы и применяться без оговорок.

Итак, предположим, что перед нами стоит задача спроектировать транспортную систему, предназначенную для обслуживания. сети станций на основе строгого расписания движения. Расположение станций известно, и имеются также, или могут быть получены, некоторые данные о графике

отправлений транспорта от станции (скажем, типа «скользящего графика») или потребности в перевозках между станциями. Предположим также, что критерии хорошей организации системы включают некоторую меру услуг, предоставляемых в ответ на соответствующие требования, в сочетании с определенной мерой затрат на получение и эксплуатацию используемых в системе технических средств. Естественно, что для доведения исследования до такой степени определенности могут потребоваться значительные усилия, а практическое применение критерия хорошей организации системы связано с известными трудностями. Но мы отвлечемся от этих соображений, чтобы ярче выявить проблемы, связанные с самим построением модели.

Предположим, проектировщику системы становится ясно, что он должен определить расписание прибытий и отправлений так, чтобы оно удовлетворяло графику отправлений и числу имеющихся транспортных средств. Он мог бы пытаться непосредственно построить модель, которая предсказала бы уровень услуг, капиталовложений и эксплуатационных затрат для любого выбора лимитов времени и числа средств передвижения. Он может попытаться отыскать аналогии для этой задачи среди известных ему хорошо разработанных логических структур. Предположим, однако, что эти его усилия оказались безуспешными и что проектировщик ищет способ расчленения этой задачи проектирования системы на более простые подзадачи, для которых легче отыскать подходящие модели. Это и составляет нашу первую рекомендацию или гипотезу.

1. Расчленить системную задачу на более простые задачи. В нашем примере исследователь операций, возможно, примет решение рассмотреть

а) задачу составления расписания: какое расписание прибытий и отправлений обеспечит при заданном парке машин наивысший уровень услуг?

б) задачу о размерах парка машин: каков должен быть минимальный размер парка, способный обеспечить заданное расписание прибытий и отправлений? (В наши рассуждения уже неявным образом вкралось допущение об однородности средств передвижения.)

При идеальном расчленении задачи проектирования системы мы должны получить более простые задачи, для которых

мы в состоянии найти модели, и затем объединить эти модели в модель для всей системы. Когда расчленение произведено, в результате получается несколько задач, решения которых являются субоптимальными или приближенными с точки зрения модели всей системы. Для неопытных исследователей такое сознательное отступление от конечных целей проектирования системы часто оказывается очень трудным шагом. Однако, сделав его, мы получаем возможность разрешить более простые задачи, например задачу о размерах парка транспортных средств.

2. Четко сформулировать дедуктивные цели. По-видимому, уже на значительно более раннем этапе можно было бы получить (хотя все еще предварительную) формулировку дедуктивной цели модели. Желаем ли мы, чтобы модель предсказывала последствия различных стратегий? Или же мы желаем, чтобы модель рекомендовала оптимальную стратегию? Предположим, что при решении задачи о размерах парка машин дедуктивная цель состоит в том, чтобы определить минимальные размеры парка, необходимые для выполнения заданного расписания прибытий и отправлений. Подобная формулировка задает критерий для определения дедуктивной обозримости, или трактуемости, модели. Однако при задании такой цели нужно всегда считаться с тем, что она может оказаться недостижимой или что после разработки модели могут обнаружиться другие цели. Окончательная дедуктивная цель может быть предсказана заранее или же возникнуть как неожиданный итог изучения модели.

3. Искать аналогии. На этом, а также на любом другом этапе процесса следует пытаться отыскивать возможности проведения аналогий между решаемой задачей и какой-либо хорошо разработанной ранее логической структурой. Часто эти аналогии имеют характер мгновенных «озарений». Относится ли данная задача к линейному программированию, к теории массового обслуживания или к теории управления запасами? Можно ли ее с пользой уподобить задаче, промоделированной кем-то ранее? Отметим, что возможность аналогий должна быть рассмотрена еще до того, как задача четко сформулирована, так как эти аналогии могут дать указания относительно того, как в первом приближении могла бы быть конкретизирована задача. Мы будем предполагать, что

определение размеров парка средств передвижения не требует такого обращения к аналогии, и перейдем поэтому к следующим этапам.

4. Рассмотреть частный численный пример задачи. По нашему мнению, это решающий этап для неопытного исследователя. Отыскание простого конкретного примера для данной задачи часто представляет трудность для начинающего, поскольку это означает отход (как можно надеяться, временный) от той общности и сложности, которой он добивается. Конкретный пример задачи помогает достижению по меньшей мере трех целей:

а) он подводит исследователя к определенным выводам относительно предположений, характеризующих данный пример. Эти предположения могут оказаться полезными в качестве отправного пункта при достижении большей общности;

б) если численный пример задачи удается «разрешить» путем догадки, то возможно, что удастся и сравнительно просто обобщить процесс решения;

в) конкретный пример часто позволяет ввести удобные символические обозначения и дать общее выражение для некоторых отчетливых и очевидных закономерностей, подмеченных на этом частном примере.

Рассмотрим, например, сеть из станций, занумерованных цифрами 1, 2 и 3 и обслуживаемых в соответствии с приведенным ниже графиком. График составлен для восьмичасового интервала и повторяется через каждые восемь часов.

Маршруты заданы так: от станции 1 к станции 2, от станции 2 к станции 3 и от станции 3 к станции 1; длительность проезда по этим маршрутам равна 2, 1, и 2 час соответственно. Это позволяет построить следующее полное расписание движения (в час):

Отсюда можно установить путем «наблюдения и догадки» или методом «проб и ошибок», что это расписание может быть выполнено при наличии, как минимум, четырех транспортных единиц. Возможно, что, задав вопрос о том, как был получен такой результату и обобщив его, мы найдем ключ к построению удачной модели нашей задачи. Но если это не удастся сделать, то пример позволит нам сделать определенные высказывания относительно лежащих в его основе предположений:

а) расписание должно удовлетворять требованию: не допускаются отклонения от указанных моментов отправления;

б) длительность рейса включает также время погрузки и разгрузки транспортных средств;

в) длительности рейса сохраняются неизменными: возможности аварий и опозданий исключаются, никакая неопределенность в явной форме не рассматривается;

г) число прибытий и отправлений на каждой станции постоянно в течение любого цикла расписания.

Могут быть сделаны и другие предположения, но и перечисленные указывают, какого типа задача перед нами. Если этих предположений недостаточно для достижения желаемого результата, мы можем видоизменить или ослабить некоторые из них. В этом смысле предположения, с которых исследователь начинает свое описание задачи, фактически выявляются лишь после того, как он проделает свою работу.

Задача состоит в отыскании набора предположений, которые позволили бы построить «трактуемую» модель; обычно это удается сделать лишь после ряда попыток.

5. Ввести некоторые символы. В качестве следующего шага целесообразно будет перевести численный пример на язык символов. По ряду причин это часто трудно сделать. Желательно ввести символы, которые легко интерпретировать, и дать четкое определение каждого из них. Начинающему

исследователю не всегда удается сделать это, но беспечность в этом пункте может в дальнейшем привести к серьезным последствиям. Предположим, например, что мы выбрали достаточно удобные обозначения с двумя индексами. Пусть

— время прибытия на станцию

— время отправления со станции

Теперь мы подошли к основному моменту исследования. Что делать далее? Мы предлагаем при отсутствии сразу ведущих к цели «озарений» просто записать в символических обозначениях некоторые очевидные вещи, которые непосредственно усматриваются из численного примера. Наша гипотеза состоит в том, что выражение таких очевидностей в символическом виде может многое подсказать в отношении дальнейших шагов по разработке модели.

6. Записать очевидное. Мы имеем здесь в виду законы сохранения, соотношения затраты — выпуск, идеи, выраженные в предположениях, или последствия тривиально простых стратегий. В примере с определением парка машин мы просто пытаемся выразить основной закон сохранения, который утверждает, что имеющиеся средства транспорта тратят свое время либо на преодоление расстояния между станциями, либо на простой в ожидании отправления. Если в каждый период действия расписания в нашем распоряжении находятся k машин, мы имеем машино-часов, где Т — длина периода. Это число машино-часов затрачивается либо на простой (пусть I — полное число машино-часов простоя), либо на рейс (пусть R — полное число рейсовых машино-часов). Таким образом, закон сохранения принимает вид

Вполне вероятно, что даже такая простая формула может кое-что подсказать нам. Возможно, мы заметим в этом случае, что R задано характером графика движения, так что для минимизации k надо минимизировать Что можно было бы предпринять, чтобы как-то повлиять на время простоя? Поскольку простои возникают тогда, когда машины стоят на станции в ожидании отправления по графику, на

время простоя должен оказывать влияние порядок, в котором прибывающие машины назначаются к отправлению. На станции 1 мы могли бы следующим образом увязать времена прибытия и отправления (в час):

При таком графике полное время простоя составит 5 машино-часов.

Перед тем как двигаться дальше, стоит отметить очень важное свойство этой системы. Пока выдерживаются времена отправления каждой машины, ничто происходящее на одной станции не может повлиять на время простоя на других станциях. Это означает, что система может быть «разрезана» в том смысле, что мы можем по отдельности минимизировать время простоя на каждой станции вместо того, чтобы рассматривать всю систему в целом. В символической записи это означает, что время простоя на станции не зависит от времени простоя на станции так что полное время простоя определяется соотношением

Действительная цель системного анализа состоит не просто в том, чтобы изучать все более и более сложные задачи, а в отыскании способов «разрезания» сложных задач на более простые так, чтобы решения этих простых задач могли затем быть объединены каким-то простым способом в решение сложной задачи.

Используя наш численный пример, можно попробовать по-другому подобрать времена прибытия и отправления. Заметим, что, если в какой-то момент будет назначено больше отправлений, чем имеется прибытий, оставшиеся отправления должны быть произведены за счет машин, заимствованных из предыдущего периода. Выписав все возможные варианты сочетания времен отправления и прибытия, легко заметить, что при варианте, не требующем заимствования машин из предыдущего периода, время простоя равно 5 машино-часов; при варианте, требующем заимствования одной машины, время простоя равно 13 час; при подборке,

требующей заимствования двух машин, оно равно 21 час и т. д. Таким образом, сокращение времени простоя связано с уменьшением числа машин, занимаемых из предыдущего периода.

Выразим это наблюдение в символической форме:

Здесь — число машин, заимствованных из одного периода действия расписания для использования их в следующем его периоде на станции Начиная с этого момента задача «разрешена» в том смысле, что минимальный парк машин получается при минимизации величин Дальнейшее изучение численного примера показывает, что величины минимизируются, когда прибывающие машины назначаются к отправлению по правилу FIFO (first-in — first-out, т. е. «первым приехал — первым уехал»). (Могут быть выбраны и другие столь же хорошие стратегии, но ни одна из них не будет лучше стратегии FIFO.)

Теперь осталось только подсчитать минимальные размеры парка машин. Вернемся вновь к численному примеру, чтобы подсчитать соответствующее расписанию число рейсовых машино-часов. Используя наши обозначения, мы можем записать результаты в виде

так что

Таким образом, мы можем дать следующую рекомендацию: «Отыщите минимальное число машин, которые надо держать на каждой станции, используя в качестве стратегии назначений правило FIFO. Прибавьте к сумме этих минимумов число машин, находящихся в пути в конце периода действия расписания. Получившийся результат укажет минимальный размер парка машин».

Если мы не добились успеха, следующий шаг мог бы состоять в возвращении к численному примеру или к исходным предположениям; следовало бы рассмотреть возможность их упрощения, а затем сделать новую попытку. В случае

же успеха мы можем двигаться дальше по пути обобщения или усложнения модели.

7. Если получена «трактуемая» модель, постарайтесь ее обогатить, в противном же случае — упростить. В нашем примере может оказаться желательным рассмотреть различные типы средств передвижения, продолжительности рейсов, являющиеся случайными переменными, графики движения, меняющиеся от периода к периоду, аварии и время обслуживания транспортных средств и т. д.

Вообще говоря, упрощение может быть достигнуто за счет

рассмотрения переменных величин как постоянных;

исключения переменных;

использования линейных соотношений;

добавления более строгих предположений и ограничений; пренебрежения случайным характером тех или иных переменных.

Обогащение, напротив, подразумевает введение прямо противоположных изменений.

Другие источники мастерства в моделировании

Восприимчивость к некоторым другим идеям также, по-видимому, важна для развития способности к моделированию. Например, очевидна важность свободного владения математикой. Одним из оснований для изучения специальных разделов высшей математики, которые, возможно, и окажутся «бесполезными», является достижение более уверенного и свободного владения менее сложными разделами математики, которые, вероятно, часто будут применяться. Полезно оценить различные цели, которым может послужить создание моделей. Примеры использования моделей — получение количественных прогнозов, получение качественных прогнозов, применение в таких задачах, как планирование сбора данных, планирование исследований, использование их как средства повышения чувствительности восприятия, средства для структурирования знаний и т. д. приводят к расширению точки зрения на типы моделей, которые стоит развивать, и на различные направления, в которых может идти их развитие.

Подобным же образом полезно и развитие понимания некоторых характеристик моделей. Кроме грубого описания модели путем отнесения ее к классу «простых» или «сложных», полезно рассматривать:

а) «Увязываемость»: сколько ранее известных теорем и результатов, имеющих отношение к данной проблеме, можно извлечь из моделей?

б) Ясность: насколько очевидна интерпретация модели? Насколько приемлема она на интуитивном уровне?

в) Устойчивость: в какой степени модель чувствительна к изменениям положенных в ее основу предположений?

г) Плодотворность: как велико многообразие дедуктивных следствий, вытекающих из модели?

д) Простота обобщения: с какими трудностями связаны попытки обогащения и усовершенствования модели в различных направлениях?

Ценность такого рода гипотез проверяется тем, увеличат ли они чье-либо мастерство в построении моделей. Однако, пытаясь их применить, важно предпринимать усилия по построению моделей, не обращая внимания на очевидные сомнения в получении разумных результатов. Задачи, возникающие в результате развернутого обсуждения некой частной логической структуры, не обязательно дадут толчок для выработки подхода к решению проблем, выходящих за рамки обсуждаемого вопроса. Аналогично упражнения, требующие подстановки числовых значений в ранее развитые модели, могут помочь освоиться с моделями, но не помогают развить способность к созданию моделей. Для этого надо обратиться к реальным ситуациям управления.